式展開: 4月 2021

状態空間表現，バネマスダンパー系，対角正準形式

状態空間表現

{\begin{array}{rclrc} \frac{d}{d t} x & = & A x & + & B u \dots A : 状 態 行 列, B : 入 力 行 列, x : 状 態 ベ ク ト ル, u : 入 力 ベ ク ト ル \\ y & = & C x & + & D u \dots C : 出 力 行 列, D : 直 達 行 列, y : 出 力 ベ ク ト ル \end{array}

バネマスダンパー系(入力なし)

{\begin{array}{rcl} \frac{d}{d t} [\begin{array}{c} x \\ v \end{array}] & = & [\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - \frac{k}{m} & - \frac{c}{m} \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ v \end{array}] \dots k : バ ネ, m : マ ス, c : ダ ン パ ー, x : 位 置, v = \frac{d x}{d t} : 速 度 \\ = & [\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - ω_{0}^{2} & - 2 γ \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ v \end{array}] \dots γ = \frac{c}{2 m}, ω_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}} \\ [\begin{array}{c} y \end{array}] & = & [\begin{array}{c} 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ v \end{array}] \end{array}

対角正準形式

{\begin{array}{rclr} \frac{d}{d t} x^{'} & = & \bar{A} & x^{'} \\ y & = & \bar{C} & x^{'} \end{array} \dots 対 角 正 準 形 式

{\begin{array}{rcl} \frac{d}{d t} [\begin{array}{c} \frac{x}{2} + \frac{v + γ x}{2 ξ} \\ \frac{x}{2} - \frac{v + γ x}{2 ξ} \end{array}] & = & [\begin{array}{c} - γ + ξ & 0 \\ 0 & - γ - ξ \end{array}] [\begin{array}{c} \frac{x}{2} + \frac{v + γ x}{2 ξ} \\ \frac{x}{2} - \frac{v + γ x}{2 ξ} \end{array}] \\ y & = & [\begin{array}{c} 1 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} \frac{x}{2} + \frac{v + γ x}{2 ξ} \\ \frac{x}{2} - \frac{v + γ x}{2 ξ} \end{array}] \end{array}

状態空間表現，バネマスダンパー系，状態ベクトルの変換

状態空間表現

{\begin{array}{rclrc} \frac{d}{d t} x & = & A x & + & B u \dots A : 状 態 行 列, B : 入 力 行 列, x : 状 態 ベ ク ト ル, u : 入 力 ベ ク ト ル \\ y & = & C x & + & D u \dots C : 出 力 行 列, D : 直 達 行 列, y : 出 力 ベ ク ト ル \end{array}

バネマスダンパー系(入力なし)

{\begin{array}{rcl} \frac{d}{d t} [\begin{array}{c} x \\ v \end{array}] & = & [\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - \frac{k}{m} & - \frac{c}{m} \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ v \end{array}] \dots k : バ ネ, m : マ ス, c : ダ ン パ ー, x : 位 置, v = \frac{d x}{d t} : 速 度 \\ = & [\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - ω_{0}^{2} & - 2 γ \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ v \end{array}] \dots γ = \frac{c}{2 m}, ω_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}} \\ [\begin{array}{c} y \end{array}] & = & [\begin{array}{c} 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ v \end{array}] \end{array}

状態ベクトルの変換

\begin{array}{rcl} x^{'} = T^{- 1} x & = & \frac{1}{- 2 ξ} [\begin{array}{c} - γ - ξ & - 1 \\ γ - ξ & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ v \end{array}] \\ \dots T^{- 1} = \frac{1}{- 2 ξ} [\begin{array}{c} - γ - ξ & - 1 \\ γ - ξ & 1 \end{array}] \\ \dots ξ = \sqrt{γ^{2} - ω_{0}^{2}} \\ = & \frac{1}{- 2 ξ} [\begin{array}{c} (- γ - ξ) \cdot x - v \\ (γ - ξ) \cdot x + v \end{array}] \\ = & [\begin{array}{c} \frac{- γ x - ξ x - v}{- 2 ξ} \\ \frac{γ x - ξ x + v}{- 2 ξ} \end{array}] \\ = & [\begin{array}{c} \frac{γ x + ξ x + v}{2 ξ} \\ \frac{- γ x + ξ x - v}{2 ξ} \end{array}] \\ = & [\begin{array}{c} \frac{x}{2} + \frac{v + γ x}{2 ξ} \\ \frac{x}{2} - \frac{v + γ x}{2 ξ} \end{array}] \end{array}

\begin{array}{rcl} x^{'} (0) & = & [\begin{array}{c} \frac{x_{0}}{2} + \frac{v_{0} + γ x_{0}}{2 ξ} \\ \frac{x_{0}}{2} - \frac{v_{0} + γ x_{0}}{2 ξ} \end{array}] \dots 要 素 が 微 分 方 程 式 と し て 解 い た 際 の 初 期 値 C_{1}, C_{2} に 等 し い \end{array}

$T$ で戻して確認

\begin{array}{rcl} T x^{'} & = & [\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - γ + ξ & - γ - ξ \end{array}] [\begin{array}{c} \frac{x}{2} + \frac{v + γ x}{2 ξ} \\ \frac{x}{2} - \frac{v + γ x}{2 ξ} \end{array}] \\ = & [\begin{array}{c} 1 \cdot (\frac{x}{2} + \frac{v + γ x}{2 ξ}) + 1 \cdot (\frac{x}{2} - \frac{v + γ x}{2 ξ}) \\ (- γ + ξ) \cdot (\frac{x}{2} + \frac{v + γ x}{2 ξ}) + (- γ - ξ) \cdot (\frac{x}{2} - \frac{v + γ x}{2 ξ}) \end{array}] \\ = & [\begin{array}{c} \frac{x}{2} + \frac{v + γ x}{2 ξ} + \frac{x}{2} - \frac{v + γ x}{2 ξ} \\ \frac{(- γ + ξ) x}{2} \frac{ξ}{ξ} + \frac{(- γ + ξ) (v + γ x)}{2 ξ} + \frac{(- γ - ξ) x}{2} \frac{ξ}{ξ} - \frac{(- γ - ξ) (v + γ x)}{2 ξ} \end{array}] \\ = & [\begin{array}{c} \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \\ \frac{- γ ξ x + ξ^{2} x - γ v + ξ v - γ^{2} x + γ ξ x}{2 ξ} + \frac{- γ ξ x - ξ^{2} x + γ v + ξ v + γ^{2} x + γ ξ x}{2 ξ} \end{array}] \\ = & [\begin{array}{c} x \\ \frac{ξ v}{2 ξ} + \frac{ξ v}{2 ξ} \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ v \end{array}] = x \end{array}

\begin{array}{rcl} T x^{'} & = & T T^{- 1} x \\ = & [\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - γ + ξ & - γ - ξ \end{array}] \frac{1}{- 2 ξ} [\begin{array}{c} - γ - ξ & - 1 \\ γ - ξ & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ v \end{array}] \\ = & \frac{1}{- 2 ξ} [\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - γ + ξ & - γ - ξ \end{array}] [\begin{array}{c} - γ - ξ & - 1 \\ γ - ξ & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ v \end{array}] \\ = & [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ v \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ v \end{array}] = x \end{array}

状態空間表現，バネマスダンパー系，状態行列の対角化

状態空間表現

{\begin{array}{rclrc} \frac{d}{d t} x & = & A x & + & B u \dots A : 状 態 行 列, B : 入 力 行 列, x : 状 態 ベ ク ト ル, u : 入 力 ベ ク ト ル \\ y & = & C x & + & D u \dots C : 出 力 行 列, D : 直 達 行 列, y : 出 力 ベ ク ト ル \end{array}

バネマスダンパー系(入力なし)

{\begin{array}{rcl} \frac{d}{d t} [\begin{array}{c} x \\ v \end{array}] & = & [\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - \frac{k}{m} & - \frac{c}{m} \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ v \end{array}] \dots k : バ ネ, m : マ ス, c : ダ ン パ ー, x : 位 置, v = \frac{d x}{d t} : 速 度 \\ = & [\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - ω_{0}^{2} & - 2 γ \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ v \end{array}] \dots γ = \frac{c}{2 m}, ω_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}} \\ [\begin{array}{c} y \end{array}] & = & [\begin{array}{c} 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ v \end{array}] \end{array}

状態行列の対角化(基底の変換)とそれに伴う出力行列の変換

\begin{array}{rcl} \bar{A} = T^{- 1} A T & = & \frac{1}{- 2 ξ} [\begin{array}{c} - γ - ξ & - 1 \\ γ - ξ & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - ω_{0}^{2} & - 2 γ \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - γ + ξ & - γ - ξ \end{array}] \\ \dots T = [\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - γ + ξ & - γ - ξ \end{array}] \\ \dots T^{- 1} = \frac{1}{- 2 ξ} [\begin{array}{c} - γ - ξ & - 1 \\ γ - ξ & 1 \end{array}] \\ \dots ξ = \sqrt{γ^{2} - ω_{0}^{2}}, ξ^{2} = γ^{2} - ω_{0}^{2}, ω_{0}^{2} = γ^{2} - ξ^{2} \\ = & \frac{1}{- 2 ξ} [\begin{array}{c} - (γ + ξ) & - 1 \\ γ - ξ & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - (γ^{2} - ξ^{2}) & - 2 γ \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - γ + ξ & - (γ + ξ) \end{array}] \\ = & \frac{1}{- 2 ξ} [\begin{array}{c} - (γ + ξ) & - 1 \\ γ - ξ & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 + 1 \cdot (- γ + ξ) & 0 \cdot 1 + 1 \cdot - (γ + ξ) \\ - (γ^{2} - ξ^{2}) \cdot 1 + (- 2 γ) \cdot (- γ + ξ) & - (γ^{2} - ξ^{2}) \cdot 1 + (- 2 γ) \cdot - (γ + ξ) \end{array}] \\ = & \frac{1}{- 2 ξ} [\begin{array}{c} - (γ + ξ) & - 1 \\ γ - ξ & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} - γ + ξ & - (γ + ξ) \\ - γ^{2} + ξ^{2} + 2 γ^{2} - 2 γ ξ & - γ^{2} + ξ^{2} + 2 γ^{2} + 2 γ ξ \end{array}] \\ = & \frac{1}{- 2 ξ} [\begin{array}{c} - (γ + ξ) & - 1 \\ γ - ξ & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} - γ + ξ & - (γ + ξ) \\ ξ^{2} + γ^{2} - 2 γ ξ & ξ^{2} + γ^{2} + 2 γ ξ \end{array}] \\ = & \frac{1}{- 2 ξ} [\begin{array}{c} - (γ + ξ) & - 1 \\ γ - ξ & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} - γ + ξ & - (γ + ξ) \\ {(γ - ξ)}^{2} & {(γ + ξ)}^{2} \end{array}] \\ = & \frac{1}{- 2 ξ} [\begin{array}{c} - (γ + ξ) \cdot (- γ + ξ) + (- 1) \cdot {(γ - ξ)}^{2} & - (γ + ξ) \cdot {- (γ + ξ)} + (- 1) \cdot {(γ + ξ)}^{2} \\ (γ - ξ) \cdot (- γ + ξ) + (1) \cdot {(γ - ξ)}^{2} & (γ - ξ) \cdot {- (γ + ξ)} + (1) \cdot {(γ + ξ)}^{2} \end{array}] \\ = & \frac{1}{- 2 ξ} [\begin{array}{c} - (ξ^{2} - γ^{2}) - {(γ - ξ)}^{2} & {(γ + ξ)}^{2} - {(γ + ξ)}^{2} \\ - {(γ - ξ)}^{2} + {(γ - ξ)}^{2} & - (γ^{2} - ξ^{2}) + {(γ + ξ)}^{2} \end{array}] \\ = & \frac{1}{- 2 ξ} [\begin{array}{c} - ξ^{2} + γ^{2} - (γ^{2} - 2 γ ξ + ξ^{2}) & 0 \\ 0 & - γ^{2} + ξ^{2} + (γ^{2} + 2 γ ξ + ξ^{2}) \end{array}] \\ = & \frac{1}{- 2 ξ} [\begin{array}{c} - ξ^{2} + γ^{2} - γ^{2} + 2 γ ξ - ξ^{2} & 0 \\ 0 & - γ^{2} + ξ^{2} + γ^{2} + 2 γ ξ + ξ^{2} \end{array}] \\ = & \frac{1}{- 2 ξ} [\begin{array}{c} 2 γ ξ - 2 ξ^{2} & 0 \\ 0 & 2 γ ξ + 2 ξ^{2} \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{2 γ ξ - 2 ξ^{2}}{- 2 ξ} & 0 \\ 0 & \frac{2 γ ξ + 2 ξ^{2}}{- 2 ξ} \end{array}] \\ = & [\begin{array}{c} - γ + ξ & 0 \\ 0 & - γ - ξ \end{array}] \\ = & [\begin{array}{c} λ_{1} & 0 \\ 0 & λ_{2} \end{array}] \\ \bar{C} = C T & = & [\begin{array}{c} 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - γ + ξ & - γ - ξ \end{array}] \\ \dots T = [\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - γ + ξ & - γ - ξ \end{array}] \\ = & [\begin{array}{c} 1 \cdot 1 + 0 \cdot (- γ + ξ) & 1 \cdot 1 + 0 \cdot (- γ - ξ) \end{array}] \\ = & [\begin{array}{c} 1 & 1 \end{array}] \end{array}

状態空間表現，バネマスダンパー系，状態行列の基底の変換行列

状態空間表現

{\begin{array}{rclrc} \frac{d}{d t} x & = & A x & + & B u \dots A : 状 態 行 列, B : 入 力 行 列, x : 状 態 ベ ク ト ル, u : 入 力 ベ ク ト ル \\ y & = & C x & + & D u \dots C : 出 力 行 列, D : 直 達 行 列, y : 出 力 ベ ク ト ル \end{array}

バネマスダンパー系(入力なし)

{\begin{array}{rcl} \frac{d}{d t} [\begin{array}{c} x \\ v \end{array}] & = & [\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - \frac{k}{m} & - \frac{c}{m} \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ v \end{array}] \dots k : バ ネ, m : マ ス, c : ダ ン パ ー, x : 位 置, v = \frac{d x}{d t} : 速 度 \\ = & [\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - ω_{0}^{2} & - 2 γ \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ v \end{array}] \dots γ = \frac{c}{2 m}, ω_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}} \\ [\begin{array}{c} y \end{array}] & = & [\begin{array}{c} 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ v \end{array}] \end{array}

基底の変換行列 $[\begin{matrix} v_{1} & v_{2} \end{matrix}]$

\begin{array}{rcl} T & = & [\begin{array}{c} v_{1} & v_{2} \end{array}] \\ = & [\begin{array}{c} [\begin{matrix} v_{11} \\ v_{12} \end{matrix}] & [\begin{matrix} v_{21} \\ v_{22} \end{matrix}] \end{array}] \\ = & [\begin{array}{c} v_{11} & v_{21} \\ v_{12} & v_{22} \end{array}] \\ = & [\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - γ + ξ & - γ - ξ \end{array}] \\ \dots v_{1} = [\begin{array}{c} v_{11} \\ v_{12} \end{array}] = t [\begin{array}{c} 1 \\ - γ + ξ \end{array}] \\ \dots v_{2} = [\begin{array}{c} v_{21} \\ v_{22} \end{array}] = t [\begin{array}{c} 1 \\ - γ - ξ \end{array}] \\ \dots ξ = \sqrt{γ^{2} - ω_{0}^{2}}, \end{array}

基底の変換行列の逆行列

\begin{array}{rcl} T^{- 1} & = & \frac{1}{| \begin{array}{c} T \end{array} |} [\begin{array}{c} v_{22} & - v_{21} \\ - v_{12} & v_{11} \end{array}] \\ \dots A = [\begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array}], A^{- 1} = \frac{1}{| A |} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}] \\ = & \frac{1}{1 \cdot (- γ - ξ) - 1 \cdot (- γ + ξ)} [\begin{array}{c} - γ - ξ & - 1 \\ - (- γ + ξ) & 1 \end{array}] \\ = & \frac{1}{- γ - ξ + γ - ξ} [\begin{array}{c} - γ - ξ & - 1 \\ γ - ξ & 1 \end{array}] \\ = & \frac{1}{- 2 ξ} [\begin{array}{c} - γ - ξ & - 1 \\ γ - ξ & 1 \end{array}] \end{array}

状態空間表現，対角正準形式

状態空間表現

{\begin{array}{rclrc} \frac{d}{d t} x & = & A x & + & B u \\ y & = & C x & + & D u \end{array}

対角正準形式

状態ベクトル

x

が正則行列

T

と

x^{'}

を用いて表せるとする．

\begin{array}{rcl} x & = & T x^{'} \end{array}

これを代入すると状態空間表現は以下のようになる．

{\begin{array}{rclrc} \frac{d}{d t} T x^{'} & = & A T x^{'} & + & B u \\ y & = & C T x^{'} & + & D u \end{array}

この時，一つ目の式に対して

T

の逆行列である

T^{- 1}

を左から掛けると以下のようになる．

{\begin{array}{rclrclr} \frac{d}{d t} T^{- 1} T x^{'} & = & T^{- 1} A T & x^{'} & + & T^{- 1} & B u \\ y & = & C T & x^{'} & + & D u \end{array}

T^{- 1} T = I

なので以下のようになる．

{\begin{array}{rclrclr} \frac{d}{d t} x^{'} & = & T^{- 1} A T & x^{'} & + & T^{- 1} & B u \\ y & = & C T & x^{'} & + & D u \end{array}

各行列部を

\bar{A}, \bar{B}, \bar{C}

で置き直すことで以下のようになる．

{\begin{array}{rclrclr} \frac{d}{d t} x^{'} & = & \bar{A} & x^{'} & + & \bar{B} u \dots \bar{A} = T^{- 1} A T, \bar{B} = T^{- 1} & B \\ y & = & \bar{C} & x^{'} & + & D u \dots \bar{C} = C T \end{array}

この時に

T

として

A

の固有ベクトル(基底)を並べた行列(変換行列)を用いれば

T^{- 1} A T = \bar{A}

は対角化され,対角行列となり，このような状態空間表現を対角正準形と呼ぶ．

\begin{array}{rcl} T & = & [\begin{array}{c} v_{1} & v_{2} & \dots & v_{n} \end{array}] \end{array}

対角正準形では状態ベクトル

x

は状態ベクトル

x^{'}

へと変換されている．

\begin{array}{rcl} x & = & T x^{'} \\ T^{- 1} x & = & T^{- 1} T x^{'} \\ x^{'} & = & T^{- 1} x \end{array}

状態空間表現，バネマスダンパー系(入力なし)

状態空間表現

{\begin{array}{rclrc} \frac{d}{d t} x & = & A x & + & B u \dots A : 状 態 行 列, B : 入 力 行 列, x : 状 態 ベ ク ト ル, u : 入 力 ベ ク ト ル \\ y & = & C x & + & D u \dots C : 出 力 行 列, D : 直 達 行 列, y : 出 力 ベ ク ト ル \end{array}

{\begin{array}{rclrc} \frac{d}{d t} [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] & = & [\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}] [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] & + & [\begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{matrix}] [\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \end{matrix}] \dots 状 態 ベ ク ト ル が 2 次 の 場 合 \\ [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \end{array}] & = & [\begin{array}{c} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{array}] [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] & + & [\begin{matrix} d_{11} & d_{12} \\ d_{21} & d_{22} \end{matrix}] [\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \end{matrix}] \end{array}

バネマスダンパー系

\begin{array}{rcl} m \ddot{x} + c \dot{x} + k x & = & 0 \dots k : バ ネ, m : マ ス, c : ダ ン パ ー, x : 位 置, v = \frac{d x}{d t} : 速 度 \\ \frac{d^{2} x}{d^{2} t} + \frac{c}{m} \frac{d x}{d t} + \frac{k}{m} x & = & 0 \end{array}

\begin{array}{rcl} \frac{d^{2} x}{d^{2} t} & = & - \frac{c}{m} \frac{d x}{d t} - \frac{k}{m} x \\ \frac{d v}{d t} & = & - \frac{c}{m} v - \frac{k}{m} x \\ \dots v = \frac{d x}{d t} \\ \dots \frac{d^{2} x}{d^{2} t} = \frac{d}{d t} \frac{d}{d t} x = \frac{d}{d t} v \end{array}

{\begin{array}{rcl} \frac{d}{d t} [\begin{array}{c} x \\ v \end{array}] & = & [\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - \frac{k}{m} & - \frac{c}{m} \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ v \end{array}] \dots k : バ ネ, m : マ ス, c : ダ ン パ ー \\ [\begin{array}{c} y \end{array}] & = & [\begin{array}{c} 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ v \end{array}] \end{array}

入力行列

B

と直達行列

D

はともに

0

とする(入力なし)．

状態空間表現，バネマスダンパー系，状態行列の固有値

状態空間表現

{\begin{array}{rclrc} \frac{d}{d t} x & = & A x & + & B u \dots A : 状 態 行 列, B : 入 力 行 列, x : 状 態 ベ ク ト ル, u : 入 力 ベ ク ト ル \\ y & = & C x & + & D u \dots C : 出 力 行 列, D : 直 達 行 列, y : 出 力 ベ ク ト ル \end{array}

バネマスダンパー系(入力なし)

{\begin{array}{rcl} \frac{d}{d t} [\begin{array}{c} x \\ v \end{array}] & = & [\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - \frac{k}{m} & - \frac{c}{m} \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ v \end{array}] \dots k : バ ネ, m : マ ス, c : ダ ン パ ー, x : 位 置, v = \frac{d x}{d t} : 速 度 \\ [\begin{array}{c} y \end{array}] & = & [\begin{array}{c} 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ v \end{array}] \end{array}

状態行列の固有値

\begin{array}{rcl} | λ I - A | & = & 0 \\ | \begin{array}{c} λ - 0 & 1 \\ - \frac{k}{m} & λ - (- \frac{c}{m}) \end{array} | & = & λ {λ - (- \frac{c}{m})} - (- \frac{k}{m}) \\ = & λ (λ + \frac{c}{m}) + \frac{k}{m} \\ = & λ^{2} + \frac{c}{m} λ + \frac{k}{m} \\ λ^{2} + \frac{c}{m} λ + \frac{k}{m} & = & 0 \\ λ_{1, 2} & = & \frac{- \frac{c}{m} \pm \sqrt{{(\frac{c}{m})}^{2} - 4 \frac{k}{m}}}{2} \\ = & - \frac{c}{2 m} \pm \sqrt{\frac{c^{2}}{4 m^{2}} - \frac{k}{m}} \\ = & - γ \pm \sqrt{γ^{2} - ω_{0}^{2}} \dots γ = \frac{c}{2 m}, ω_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}} \\ = & - γ \pm \frac{ω_{0}}{ω_{0}} \sqrt{γ^{2} - ω_{0}^{2}} \\ = & - γ \pm ω_{0} \sqrt{\frac{1}{ω_{0}^{2}} (γ^{2} - ω_{0}^{2})} \\ = & - γ \pm ω_{0} \sqrt{\frac{γ^{2}}{ω_{0}^{2}} - \frac{ω_{0}^{2}}{ω_{0}^{2}}} \\ = & - γ \pm ω_{0} \sqrt{\frac{γ^{2}}{ω_{0}^{2}} - 1} \\ = & - γ \pm ω_{0} \sqrt{{(\frac{γ}{ω_{0}})}^{2} - 1} \\ = & - γ \pm ω_{0} \sqrt{ζ^{2} - 1} \dots ζ = \frac{γ}{ω_{0}} \\ = & - γ \pm ξ \dots ξ = ω_{0} \sqrt{ζ^{2} - 1} \end{array}

状態空間表現，バネマスダンパー系，状態行列の固有ベクトル

状態空間表現

{\begin{array}{rclrc} \frac{d}{d t} x & = & A x & + & B u \dots A : 状 態 行 列, B : 入 力 行 列, x : 状 態 ベ ク ト ル, u : 入 力 ベ ク ト ル \\ y & = & C x & + & D u \dots C : 出 力 行 列, D : 直 達 行 列, y : 出 力 ベ ク ト ル \end{array}

バネマスダンパー系(入力なし)

{\begin{array}{rcl} \frac{d}{d t} [\begin{array}{c} x \\ v \end{array}] & = & [\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - \frac{k}{m} & - \frac{c}{m} \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ v \end{array}] \dots k : バ ネ, m : マ ス, c : ダ ン パ ー, x : 位 置, v = \frac{d x}{d t} : 速 度 \\ = & [\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - ω_{0}^{2} & - 2 γ \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ v \end{array}] \dots γ = \frac{c}{2 m}, ω_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}} \\ [\begin{array}{c} y \end{array}] & = & [\begin{array}{c} 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ v \end{array}] \end{array}

固有値 $λ_{1, 2}$

\begin{array}{rclr} λ_{1, 2} & = & - γ \pm \sqrt{γ^{2} - ω_{0}^{2}} & \dots γ = \frac{c}{2 m}, ω_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}} \\ = & - γ \pm ω_{0} \sqrt{ζ^{2} - 1} & \dots ζ = \frac{γ}{ω_{0}} \\ = & - γ \pm ξ & \dots ξ = ω_{0} \sqrt{ζ^{2} - 1} = \sqrt{γ^{2} - ω_{0}^{2}}, \end{array}

固有値 $λ_{1}$ に対応する固有ベクトル $v_{1}$

\begin{array}{rcl} (λ_{1} I - A) v_{1} & = & 0 \\ ([\begin{array}{c} λ_{1} & 0 \\ 0 & λ_{1} \end{array}] - [\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - ω_{0}^{2} & - 2 γ \end{array}]) v_{1} & = & 0 \\ [\begin{array}{c} λ_{1} & - 1 \\ ω_{0}^{2} & λ_{1} + 2 γ \end{array}] v_{1} & = & 0 \\ [\begin{array}{c} (- γ + ξ) & - 1 \\ ω_{0}^{2} & (- γ + ξ) + 2 γ \end{array}] v_{1} & = & 0 \dots λ_{1} = - γ + ξ \\ [\begin{array}{c} - γ + ξ & - 1 \\ ω_{0}^{2} & γ + ξ \end{array}] v_{1} & = & 0 \end{array}

\begin{array}{r} {\begin{array}{c} (- γ + ξ) & v_{11} & - & v_{12} & = & 0 \\ ω_{0}^{2} & v_{11} & + & (γ + ξ) & v_{12} & = & 0 \end{array} \end{array}

\begin{array}{rcl} v_{11} & = & t \\ (- γ + ξ) t - v_{12} & = & 0 \\ - v_{12} & = & - (- γ + ξ) t \\ v_{12} & = & (- γ + ξ) t \end{array}

\begin{array}{r} v_{1} = [\begin{array}{c} v_{11} \\ v_{12} \end{array}] = t [\begin{array}{c} 1 \\ - γ + ξ \end{array}] \end{array}

2番目の式で確認

\begin{array}{rcl} ω_{0}^{2} v_{11} + (γ + ξ) v_{12} & = & 0 \\ ω_{0}^{2} t + (γ + ξ) v_{12} & = & 0 \dots v_{11} = t \\ (γ + ξ) v_{12} & = & - ω_{0}^{2} t \\ v_{12} & = & \frac{- ω_{0}^{2}}{γ + ξ} t \\ = & \frac{- (γ^{2} - ξ^{2})}{γ + ξ} t \\ \dots ξ = \sqrt{γ^{2} - ω_{0}^{2}}, ξ^{2} = γ^{2} - ω_{0}^{2}, ω_{0}^{2} = γ^{2} - ξ^{2} \\ = & \frac{- (γ + ξ) (γ - ξ)}{γ + ξ} t \\ = & - (γ - ξ) t \\ = & (- γ + ξ) t \end{array}

固有値 $λ_{2}$ に対応する固有ベクトル $v_{2}$

\begin{array}{rcl} (λ_{2} I - A) v_{2} & = & 0 \\ ([\begin{array}{c} λ_{2} & 0 \\ 0 & λ_{2} \end{array}] - [\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - ω_{0}^{2} & - 2 γ \end{array}]) v_{2} & = & 0 \\ [\begin{array}{c} λ_{2} & - 1 \\ ω_{0}^{2} & λ_{2} + 2 γ \end{array}] v_{2} & = & 0 \\ [\begin{array}{c} - γ - ξ & - 1 \\ ω_{0}^{2} & (- γ - ξ) + 2 γ \end{array}] v_{2} & = & 0 \dots λ_{2} = - γ - ξ \\ [\begin{array}{c} - γ + ξ & - 1 \\ ω_{0}^{2} & γ - ξ \end{array}] v_{2} & = & 0 \end{array}

\begin{array}{r} {\begin{array}{c} (- γ - ξ) & v_{21} & - & v_{22} & = 0 \\ ω_{0}^{2} & v_{21} & + & (γ - ξ) & v_{22} & = 0 \end{array} \end{array}

\begin{array}{rcl} v_{21} & = & t \\ (- γ - ξ) t - v_{22} & = & 0 \\ - v_{22} & = & - (- γ - ξ) t \\ v_{22} & = & (- γ - ξ) t \end{array}

\begin{array}{r} v_{2} = [\begin{array}{c} v_{21} \\ v_{22} \end{array}] = t [\begin{array}{c} 1 \\ - γ - ξ \end{array}] \end{array}

2番目の式で確認

\begin{array}{rcl} ω_{0}^{2} v_{21} + (γ - ξ) v_{22} & = & 0 \\ ω_{0}^{2} t + (γ - ξ) v_{22} & = & 0 \dots v_{21} = t \\ (γ - ξ) v_{22} & = & - ω_{0}^{2} t \\ v_{22} & = & \frac{- ω_{0}^{2}}{γ - ξ} t \\ = & \frac{- (γ^{2} - ξ^{2})}{γ - ξ} t \\ \dots ξ = \sqrt{γ^{2} - ω_{0}^{2}}, ξ^{2} = γ^{2} - ω_{0}^{2}, ω_{0}^{2} = γ^{2} - ξ^{2} \\ = & \frac{- (γ + ξ) (γ - ξ)}{γ - ξ} t \\ = & - (γ + ξ) t \\ = & (- γ - ξ) t \end{array}

e^xとマクローリン展開と双曲線凾数

$e^{x}$ とマクローリン展開と双曲線凾数

\begin{array}{rcl} e^{x} & = & 1 + x + \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{3!} x^{3} + \frac{1}{4!} x^{4} + \frac{1}{5!} x^{5} + \frac{1}{6!} x^{6} + \frac{1}{7!} x^{7} + \frac{1}{8!} x^{8} + \dots \\ = & (1 + \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{4!} x^{4} + \frac{1}{6!} x^{6} + \frac{1}{8!} x^{8} + \dots) + (x + \frac{1}{3!} x^{3} + \frac{1}{5!} x^{5} + \frac{1}{7!} x^{7} + \dots) \\ = & \cosh (x) + \sinh (x) \dots x が 複 素 数 で な い = 実 数 の 場 合 \\ \dots \cosh (x) = 1 + \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{4!} x^{4} + \frac{1}{6!} x^{6} + \frac{1}{8!} x^{8} + \dots \\ \dots \sinh (x) = x + \frac{1}{3!} x^{3} + \frac{1}{5!} x^{5} + \frac{1}{7!} x^{7} + \dots \\ = & \frac{e^{x} + e^{- x}}{2} + \frac{e^{x} - e^{- x}}{2} = \frac{e^{x} + e^{- x} + e^{x} - e^{- x}}{2} = \frac{2 e^{x}}{2} \\ = & e^{x} \end{array}

バネマスダンパー系，過減衰の式からの他の式の導出

バネマスダンパー系

運動方程式

\begin{array}{rclrclr} m \frac{d^{2} x}{d^{2} t} & + & c \frac{d x}{d t} & + & k x & = & 0 \dots m : マ ス, c : ダ ン パ ー, バ ネ \\ \frac{d^{2} x}{d^{2} t} & + & \frac{c}{m} \frac{d x}{d t} & + & \frac{k}{m} x & = & 0 \\ \frac{d^{2} x}{d^{2} t} & + & 2 γ \frac{d x}{d t} & + & ω_{0}^{2} x & = & 0 \dots γ = \frac{c}{2 m}, ω_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}} \end{array}

単振動，振動減衰，臨界減衰，過減衰

γ = \frac{c}{2 m}, ω_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}}, x_{0} = x (0), v_{0} = {\frac{d x (t)}{d t} |}_{t = 0}

	$γ$	$ζ = \frac{γ}{ω_{0}}$	$ξ = ω_{0} \sqrt{ζ^{2} - 1}$	$e^{- γ t} [x_{0} \cosh (ξ t) + \frac{v_{0} + γ x_{0}}{ξ} \sinh (ξ t)]$	$x (t)$
単振動	$0$	$0$	$ω_{0} i$	$e^{- 0 t} [x_{0} \cosh (ω_{0} i t) + \frac{v_{0} + 0 x_{0}}{ω_{0} i} \sinh (ω_{0} i t)]$	$x_{0} \cos (ω_{0} t) + \frac{v_{0}}{ω_{0}} \sin (ω_{0} t)$
振動減衰	$0 < γ < ω_{0}$	$0 < ζ < 1$	$ω i$ $ただし 0 < ω < 1$	$e^{- γ t} [x_{0} \cosh (ω i t) + \frac{v_{0} + γ x_{0}}{ω i} \sinh (ω i t)]$	$e^{- γ t} [x_{0} \cos (ω i t) + \frac{v_{0} + γ x_{0}}{ω} \sin (ω t)]$
臨界減衰	$ω_{0}$	$1$	$0$	$e^{- γ t} [x_{0} (1 + \frac{1}{2!} {(ξ t)}^{2} + \dots) + \frac{v_{0} + γ x_{0}}{ξ} (ξ t + \frac{1}{3!} {(ξ t)}^{3} + \dots)]$	$e^{- γ t} [x_{0} + (v_{0} + γ x_{0}) t]$
過減衰	$ω_{0} < γ$	$1 < ζ$	$ω$ $ただし 1 < ω$	$e^{- γ t} [x_{0} \cosh (ω t) + \frac{v_{0} + γ x_{0}}{ω} \sinh (ω t)]$	$e^{- γ t} [x_{0} \cosh (ω t) + \frac{v_{0} + γ x_{0}}{ω} \sinh (ω t)]$

過減衰の式

\begin{array}{rcl} x (t) & = & e^{- γ t} [x_{0} \cosh (ξ t) + \frac{v_{0} + γ x_{0}}{ξ} \sinh (ξ t)] \dots (導 出) \end{array}

$ω_{0} < γ$

\begin{array}{rcl} x (t) & = & {e^{- γ t} [x_{0} \cosh (ξ t) + \frac{v_{0} + γ x_{0}}{ξ} \sinh (ξ t)] |}_{1 < γ, ξ = ω} \\ \dots ω_{0} < γ, 1 < ζ, ξ = ω_{0} \sqrt{ζ^{2} - 1} = ω \\ \dots ω = ω_{0} \sqrt{| ζ^{2} - 1 |} \\ = & e^{- γ t} [x_{0} \cosh (ω t) + \frac{v_{0} + γ x_{0}}{ω} \sinh (ω t)] \end{array}

$0 < γ < ω_{0}$

\begin{array}{rcl} x (t) & = & {e^{- γ t} [x_{0} \cosh (ξ t) + \frac{v_{0} + γ x_{0}}{ξ} \sinh (ξ t)] |}_{0 < γ < 1, ξ = ω i} \\ \dots 0 < γ < ω_{0}, 0 < ζ < 1, ξ = ω_{0} \sqrt{ζ^{2} - 1} = ω i \\ \dots ω = ω_{0} \sqrt{| ζ^{2} - 1 |} \\ = & e^{- γ t} [x_{0} \cosh (ω i t) + \frac{v_{0} + γ x_{0}}{ω i} \sinh (ω i t)] \\ \dots \cosh (i x) = \cos (x), \sinh (i x) = i \sin (x) \\ = & e^{- γ t} [x_{0} \cos (ω t) + \frac{v_{0} + γ x_{0}}{ω i} i \sin (ω t)] \\ = & e^{- γ t} [x_{0} \cos (ω t) + \frac{v_{0} + γ x_{0}}{ω} \sin (ω t)] \end{array}

$γ = 0$

\begin{array}{rcl} x (t) & = & {e^{- γ t} [x_{0} \cosh (ξ t) + \frac{v_{0} + γ x_{0}}{ξ} \sinh (ξ t)] |}_{γ = 0, ξ = ω_{0} i} \\ \dots γ = 0, ζ = 0, ξ = ω_{0} \sqrt{0 - 1} = ω_{0} i \\ \dots ω = ω_{0} \sqrt{| ζ^{2} - 1 |} \\ = & e^{- 0 t} [x_{0} \cosh (ω_{0} i t) + \frac{v_{0} + 0 x_{0}}{ω_{0} i} \sinh (ω_{0} i t)] \\ = & x_{0} \cos (ω_{0} t) + \frac{v_{0}}{ω_{0} i} i \sin (ω_{0} t) \\ \dots \cosh (i x) = \cos (x), \sinh (i x) = i \sin (x) \\ \dots e^{0} = 1 \\ = & x_{0} \cos (ω_{0} t) + \frac{v_{0}}{ω_{0}} \sin (ω_{0} t) \end{array}

$γ \to ω_{0}$

\begin{array}{rcl} x (t) & = & lim_{γ \to ω_{0}, ξ \to 0} e^{- γ t} [x_{0} \cosh (ξ t) + \frac{v_{0} + γ x_{0}}{ξ} \sinh (ξ t)] \\ \dots γ \to ω_{0}, ζ \to 1, ξ \to 0 \\ = & lim_{γ \to ω_{0}, ξ \to 0} e^{- γ t} [x_{0} (1 + \frac{1}{2!} {(ξ t)}^{2} + \dots) + \frac{v_{0} + γ x_{0}}{ξ} (ξ t + \frac{1}{3!} {(ξ t)}^{3} + \dots)] \\ \dots \cosh (ξ t) = \frac{1}{0!} {(ξ t)}^{0} + \frac{1}{2!} {(ξ t)}^{2} + \dots, \sinh (ξ t) = \frac{1}{1!} {(ξ t)}^{1} + \frac{1}{3!} {(ξ t)}^{3} + \dots \\ = & lim_{γ \to ω_{0}, ξ \to 0} e^{- γ t} [x_{0} (1 + \frac{1}{2!} {(ξ t)}^{2} + \dots) + (v_{0} + γ x_{0}) (t + \frac{1}{3!} ξ^{2} t^{3} + \dots)] \\ = & e^{- ω_{0} t} [x_{0} \cdot (1) + (v_{0} + ω_{0} x_{0}) \cdot (t)] \\ = & e^{- ω_{0} t} [x_{0} + (v_{0} + ω_{0} x_{0}) t] \\ = & e^{- γ t} [x_{0} + (v_{0} + γ x_{0}) t] \end{array}

sinh(x)のマクローリン展開

a点まわりのテイラー展開

\begin{array}{rcl} f (x) & = & \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)} (a)}{x!} (x - a)^{k} \dots a 点 ま わ り の テ イ ラ ー 展 開 \\ = & \frac{1}{0!} f^{(0)} (a) (x - a)^{0} + \frac{1}{1!} f^{(1)} (a) (x - a)^{1} + \frac{1}{2!} f^{(2)} (a) (x - a)^{2} + \dots \\ \dots f^{(n)} (x) : f (x) の n 階 微 分 \end{array}

マクローリン展開(0点まわりのテイラー展開)

\begin{array}{rcl} f (x) & = & {\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)} (a)}{x!} (x - a)^{k} |}_{a = 0} \\ = & \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)} (0)}{x!} (x - 0)^{k} \\ = & \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)} (0)}{x!} (x)^{k} \\ = & \frac{1}{0!} f^{(0)} (0) x^{0} + \frac{1}{1!} f^{(1)} (0) x + \frac{1}{2!} f^{(2)} (0) x^{2} + \dots \end{array}

$f (x) = \sinh (x)$ のマクローリン展開(0点まわりのテイラー展開)

\begin{array}{rclrc} \sinh (x) & = & \frac{1}{0!} f^{(0)} (0) x^{0} & + \frac{1}{1!} f^{(1)} (0) x & + \frac{1}{2!} f^{(2)} (0) x^{2} + \dots \\ = & \frac{1}{0!} {\sinh (0)} x^{0} & + \frac{1}{1!} {\cosh (0)} x & + \frac{1}{2!} {\sinh (0)} x^{2} \\ + \frac{1}{3!} {\cosh (0)} x^{3} & + \frac{1}{4!} {\sinh (0)} x^{4} & + \frac{1}{5!} {\cosh (0)} x^{5} \\ + \frac{1}{6!} {\sinh (0)} x^{6} & + \frac{1}{7!} {\cosh (0)} x^{7} & + \frac{1}{8!} {\sinh (0)} x^{8} + \dots \dots \frac{d}{d x} \cosh (x) = \sinh (x), \frac{d}{d x} \sinh (x) = \cosh (x) \\ = & \frac{1}{0!} \cdot 0 \cdot x^{0} & + \frac{1}{1!} \cdot 1 \cdot x & + \frac{1}{2!} \cdot 0 \cdot x^{2} \\ + \frac{1}{3!} \cdot 1 \cdot x^{3} & + \frac{1}{4!} \cdot 0 \cdot x^{4} & + \frac{1}{5!} \cdot 1 \cdot x^{5} \\ + \frac{1}{6!} \cdot 0 \cdot x^{6} & + \frac{1}{7!} \cdot 1 \cdot x^{7} & + \frac{1}{8!} \cdot 0 \cdot x^{8} + \dots \dots \cosh (0) = \frac{e^{0} + e^{- 0}}{2} = \frac{1 + 1}{2} = 1, \sinh (0) = \frac{e^{0} - e^{- 0}}{2} = \frac{1 - 1}{2} = 0 \\ = & \frac{1}{1!} x^{1} + \frac{1}{3!} x^{3} & + \frac{1}{5!} x^{5} + \frac{1}{7!} x^{7} + \dots \\ = & x + \frac{1}{3!} x^{3} + \frac{1}{5!} x^{5} & + \frac{1}{7!} x^{7} + \dots \end{array}

cosh(x)のマクローリン展開

a点まわりのテイラー展開

\begin{array}{rcl} f (x) & = & \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)} (a)}{x!} (x - a)^{k} \dots a 点 ま わ り の テ イ ラ ー 展 開 \\ = & \frac{1}{0!} f^{(0)} (a) (x - a)^{0} + \frac{1}{1!} f^{(1)} (a) (x - a)^{1} + \frac{1}{2!} f^{(2)} (a) (x - a)^{2} + \dots \\ \dots f^{(n)} (x) : f (x) の n 階 微 分 \end{array}

マクローリン展開(0点まわりのテイラー展開)

\begin{array}{rcl} f (x) & = & {\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)} (a)}{x!} (x - a)^{k} |}_{a = 0} \\ = & \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)} (0)}{x!} (x - 0)^{k} \\ = & \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)} (0)}{x!} (x)^{k} \\ = & \frac{1}{0!} f^{(0)} (0) x^{0} + \frac{1}{1!} f^{(1)} (0) x + \frac{1}{2!} f^{(2)} (0) x^{2} + \dots \end{array}

$f (x) = \cosh (x)$ のマクローリン展開(0点まわりのテイラー展開)

\begin{array}{rclrc} \cosh (x) & = & \frac{1}{0!} f^{(0)} (0) x^{0} & + \frac{1}{1!} f^{(1)} (0) x & + \frac{1}{2!} f^{(2)} (0) x^{2} + \dots \\ = & \frac{1}{0!} {\cosh (0)} x^{0} & + \frac{1}{1!} {\sinh (0)} x & + \frac{1}{2!} {\cosh (0)} x^{2} \\ + \frac{1}{3!} {\sinh (0)} x^{3} & + \frac{1}{4!} {\cosh (0)} x^{4} & + \frac{1}{5!} {\sinh (0)} x^{5} \\ + \frac{1}{6!} {\cosh (0)} x^{6} & + \frac{1}{7!} {\sinh (0)} x^{7} & + \frac{1}{8!} {\cosh (0)} x^{8} + \dots \dots \frac{d}{d x} \cosh (x) = \sinh (x), \frac{d}{d x} \sinh (x) = \cosh (x) \\ = & \frac{1}{0!} \cdot 1 \cdot x^{0} & + \frac{1}{1!} \cdot 0 \cdot x & + \frac{1}{2!} \cdot 1 \cdot x^{2} \\ + \frac{1}{3!} \cdot 0 \cdot x^{3} & + \frac{1}{4!} \cdot 1 \cdot x^{4} & + \frac{1}{5!} \cdot 0 \cdot x^{5} \\ + \frac{1}{6!} \cdot 1 \cdot x^{6} & + \frac{1}{7!} \cdot 0 \cdot x^{7} & + \frac{1}{8!} \cdot 1 \cdot x^{8} + \dots \dots \cosh (0) = \frac{e^{0} + e^{- 0}}{2} = \frac{1 + 1}{2} = 1, \sinh (0) = \frac{e^{0} - e^{- 0}}{2} = \frac{1 - 1}{2} = 0 \\ = & \frac{1}{0!} x^{0} + \frac{1}{2!} x^{2} & + \frac{1}{4!} x^{4} + \frac{1}{6!} x^{6} & + \frac{1}{8!} x^{8} + \dots \\ = & 1 + \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{4!} x^{4} & + \frac{1}{6!} x^{6} + \frac{1}{8!} x^{8} + \dots \end{array}

cosh, sinhの微分

$\cosh (x)$ の微分

\begin{array}{rcl} \frac{d}{d x} \cosh (x) & = & \frac{d}{d x} \frac{e^{x} + e^{- x}}{2} \\ = & \frac{1}{2} (\frac{d}{d x} e^{x} + \frac{d}{d x} e^{- x}) \\ \dots \frac{d}{d x} C f (x) = C \frac{d}{d x} f (x) \\ \dots \frac{d}{d x} (f (x) + g (x)) = \frac{d}{d x} f (x) + \frac{d}{d x} g (x) \\ = & \frac{1}{2} (\frac{d}{d x} e^{x} + \frac{d}{d x} e^{- x}) \\ = & \frac{1}{2} {e^{x} + (- 1) e^{- x}} \\ = & \frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x}) \\ = & \sinh (x) \end{array}

$\sinh (x)$ の微分

\begin{array}{rcl} \frac{d}{d x} \sinh (x) & = & \frac{d}{d x} \frac{e^{x} - e^{- x}}{2} \\ = & \frac{1}{2} (\frac{d}{d x} e^{x} - \frac{d}{d x} e^{- x}) \\ \dots \frac{d}{d x} C f (x) = C \frac{d}{d x} f (x) \\ \dots \frac{d}{d x} (f (x) + g (x)) = \frac{d}{d x} f (x) + \frac{d}{d x} g (x) \\ = & \frac{1}{2} (\frac{d}{d x} e^{x} - \frac{d}{d x} e^{- x}) \\ = & \frac{1}{2} {e^{x} - (- 1) e^{- x}} \\ = & \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x}) \\ = & \cosh (x) \end{array}

cosh(i x), sinh(i x) (純虚数に対するcosh, sinh)

$\cosh (i x)$

\begin{array}{rcl} \cosh (x) & = & \frac{e^{x} + e^{- x}}{2} \\ \cosh (i x) & = & \frac{e^{i x} + e^{- i x}}{2} \\ = & \frac{{\cos (x) + i \sin (x)} + {\cos (- x) + i \sin (- x)}}{2} \\ \dots e^{i x} = \cos (x) + i \sin (x) \\ = & \frac{{\cos (x) + i \sin (x)} + {\cos (x) - i \sin (x)}}{2} \\ \dots \cos (- x) = \cos (x), \sin (- x) = - \sin (- x) \\ = & \frac{\cos (x) + i \sin (x) + \cos (x) - i \sin (x)}{2} \\ = & \frac{\cos (x) + \cos (x)}{2} \\ = & \frac{2 \cos (x)}{2} \\ = & \cos (x) \end{array}

$\sinh (i x)$

\begin{array}{rcl} \sinh (x) & = & \frac{e^{x} - e^{- x}}{2} \\ \sinh (i x) & = & \frac{e^{i x} - e^{- i x}}{2} \\ = & \frac{{\cos (x) + i \sin (x)} - {\cos (- x) + i \sin (- x)}}{2} \\ \dots e^{i x} = \cos (x) + i \sin (x) \\ = & \frac{{\cos (x) + i \sin (x)} - {\cos (x) - i \sin (x)}}{2} \\ \dots \cos (- x) = \cos (x), \sin (- x) = - \sin (- x) \\ = & \frac{\cos (x) + i \sin (x) - \cos (x) + i \sin (x)}{2} \\ = & \frac{i \sin (x) + i \sin (x)}{2} \\ = & \frac{2 i \sin (x)}{2} \\ = & i \sin (x) \end{array}

$c o s (i x), s i n (i x)$ (純虚数に対する $\cos, \sin$ )

c o s (i x), s i n (i x)

(純虚数に対する

\cos, \sin

)

e^(ix)のマクローリン展開

$e^{i x}$ のマクローリン展開(0点まわりのテイラー展開)

\begin{array}{rcl} e^{i x} & = & 1 + (i x) + \frac{1}{2!} (i x)^{2} + \frac{1}{3!} (i x)^{3} + \frac{1}{4!} (i x)^{4} + \frac{1}{5!} (i x)^{5} + \frac{1}{6!} (i x)^{6} + \frac{1}{7!} (i x)^{7} + \frac{1}{8!} (i x)^{8} + \dots \\ \dots e^{x} = 1 + x + \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{3!} x^{3} + \frac{1}{4!} x^{4} + \frac{1}{5!} x^{5} + \frac{1}{6!} x^{6} + \frac{1}{7!} x^{7} + \frac{1}{8!} x^{8} + \dots \\ = & 1 + i x + \frac{1}{2!} i^{2} x^{2} + \frac{1}{3!} i^{3} x^{3} + \frac{1}{4!} i^{4} x^{4} + \frac{1}{5!} i^{5} x^{5} + \frac{1}{6!} i^{6} x^{6} + \frac{1}{7!} i^{7} x^{7} + \frac{1}{8!} i^{8} x^{8} + \dots \\ = & 1 + i x + \frac{1}{2!} (- 1) x^{2} + \frac{1}{3!} (- i) x^{3} + \frac{1}{4!} x^{4} + \frac{1}{5!} i x^{5} + \frac{1}{6!} (- 1) x^{6} + \frac{1}{7!} (- i) x^{7} + \frac{1}{8!} x^{8} + \dots \\ = & 1 + i x - \frac{1}{2!} x^{2} - i \frac{1}{3!} x^{3} + \frac{1}{4!} x^{4} + i \frac{1}{5!} x^{5} - \frac{1}{6!} x^{6} - i \frac{1}{7!} x^{7} + \frac{1}{8!} x^{8} + \dots \\ = & 1 - \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{4!} x^{4} - \frac{1}{6!} x^{6} + \frac{1}{8!} x^{8} + \dots + i (x - \frac{1}{3!} x^{3} + \frac{1}{5!} x^{5} - \frac{1}{7!} x^{7} + \dots) \\ = & \cos (x) + i \sin (x) \\ \dots \cos (x) = 1 - \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{4!} x^{4} - \frac{1}{6!} x^{6} + \frac{1}{8!} x^{8} + \dots \\ \dots \sin (x) = x - \frac{1}{3!} x^{3} + \frac{1}{5!} x^{5} - \frac{1}{7!} x^{7} + \dots \end{array}

eを底とした指数凾数のマクローリン展開

a点まわりのテイラー展開

\begin{array}{rcl} f (x) & = & \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)} (a)}{x!} (x - a)^{k} \dots a 点 ま わ り の テ イ ラ ー 展 開 \\ = & \frac{1}{0!} f^{(0)} (a) (x - a)^{0} + \frac{1}{1!} f^{(1)} (a) (x - a)^{1} + \frac{1}{2!} f^{(2)} (a) (x - a)^{2} + \dots \\ \dots f^{(n)} (x) : f (x) の n 階 微 分 \end{array}

マクローリン展開(0点まわりのテイラー展開)

\begin{array}{rcl} f (x) & = & {\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)} (a)}{x!} (x - a)^{k} |}_{a = 0} \\ = & \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)} (0)}{x!} (x - 0)^{k} \\ = & \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)} (0)}{x!} (x)^{k} \\ = & \frac{1}{0!} f^{(0)} (0) x^{0} + \frac{1}{1!} f^{(1)} (0) x + \frac{1}{2!} f^{(2)} (0) x^{2} + \dots \end{array}

$f (x) = e^{x}$ のマクローリン展開(0点まわりのテイラー展開)

\begin{array}{rclrc} e^{x} & = & \frac{1}{0!} f^{(0)} (0) x^{0} & + \frac{1}{1!} f^{(1)} (0) x & + \frac{1}{2!} f^{(2)} (0) x^{2} + \dots \\ = & \frac{1}{0!} (e^{0}) x^{0} & + \frac{1}{1!} (e^{0}) x & + \frac{1}{2!} (e^{0}) x^{2} \\ + \frac{1}{3!} (e^{0}) x^{3} & + \frac{1}{4!} (e^{0}) x^{4} & + \frac{1}{5!} (e^{0}) x^{5} \\ + \frac{1}{6!} (e^{0}) x^{6} & + \frac{1}{7!} (e^{0}) x^{7} & + \frac{1}{8!} (e^{0}) x^{8} + \dots \\ = & \frac{1}{0!} \cdot 1 \cdot x^{0} & + \frac{1}{1!} \cdot 1 \cdot x & + \frac{1}{2!} \cdot 1 \cdot x^{2} \\ + \frac{1}{3!} \cdot 1 \cdot x^{3} & + \frac{1}{4!} \cdot 1 \cdot x^{4} & + \frac{1}{5!} \cdot 1 \cdot x^{5} \\ + \frac{1}{6!} \cdot 1 \cdot x^{6} & + \frac{1}{7!} \cdot 1 \cdot x^{7} & + \frac{1}{8!} \cdot 1 \cdot x^{8} + \dots \\ = & \frac{1}{0!} x^{0} + \frac{1}{1!} x^{1} & + \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{3!} x^{3} & + \frac{1}{4!} x^{4} + \frac{1}{5!} x^{5} + \frac{1}{6!} x^{6} + \frac{1}{7!} x^{7} + \frac{1}{8!} x^{8} + \dots \\ = & 1 + x + \frac{1}{2!} x^{2} & + \frac{1}{3!} x^{3} + \frac{1}{4!} x^{4} & + \frac{1}{5!} x^{5} + \frac{1}{6!} x^{6} + \frac{1}{7!} x^{7} + \frac{1}{8!} x^{8} + \dots \end{array}

sin(x)のマクローリン展開

a点まわりのテイラー展開

\begin{array}{rcl} f (x) & = & \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)} (a)}{x!} (x - a)^{k} \dots a 点 ま わ り の テ イ ラ ー 展 開 \\ = & \frac{1}{0!} f^{(0)} (a) (x - a)^{0} + \frac{1}{1!} f^{(1)} (a) (x - a)^{1} + \frac{1}{2!} f^{(2)} (a) (x - a)^{2} + \dots \\ \dots f^{(n)} (x) : f (x) の n 階 微 分 \end{array}

マクローリン展開(0点まわりのテイラー展開)

\begin{array}{rcl} f (x) & = & {\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)} (a)}{x!} (x - a)^{k} |}_{a = 0} \\ = & \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)} (0)}{x!} (x - 0)^{k} \\ = & \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)} (0)}{x!} (x)^{k} \\ = & \frac{1}{0!} f^{(0)} (0) x^{0} + \frac{1}{1!} f^{(1)} (0) x + \frac{1}{2!} f^{(2)} (0) x^{2} + \dots \end{array}

$f (x) = \sin (x)$ のマクローリン展開(0点まわりのテイラー展開)

\begin{array}{rclrc} \sin (x) & = & \frac{1}{0!} f^{(0)} (0) x^{0} & + \frac{1}{1!} f^{(1)} (0) x & + \frac{1}{2!} f^{(2)} (0) x^{2} + \dots \\ = & \frac{1}{0!} {\sin (0)} x^{0} & + \frac{1}{1!} {\cos (0)} x & + \frac{1}{2!} {- \sin (0)} x^{2} \\ + \frac{1}{3!} {- \cos (0)} x^{3} & + \frac{1}{4!} {\sin (0)} x^{4} & + \frac{1}{5!} {\cos (0)} x^{5} \\ + \frac{1}{6!} {- \sin (0)} x^{6} & + \frac{1}{7!} {- \cos (0)} x^{7} & + \frac{1}{8!} {\sin (0)} x^{8} + \dots \\ = & \frac{1}{0!} \cdot 0 \cdot x^{0} & + \frac{1}{1!} \cdot 1 \cdot x & + \frac{1}{2!} \cdot 0 \cdot x^{2} \\ + \frac{1}{3!} \cdot - 1 \cdot x^{3} & + \frac{1}{4!} \cdot 0 \cdot x^{4} & + \frac{1}{5!} \cdot 1 \cdot x^{5} \\ + \frac{1}{6!} \cdot 0 \cdot x^{6} & + \frac{1}{7!} \cdot - 1 \cdot x^{7} & + \frac{1}{8!} \cdot 0 \cdot x^{8} + \dots \\ = & \frac{1}{1!} x^{1} - \frac{1}{3!} x^{3} + \frac{1}{5!} x^{5} & - \frac{1}{7!} x^{7} + \dots \\ = & x - \frac{1}{3!} x^{3} + \frac{1}{5!} x^{5} & - \frac{1}{7!} x^{7} + \dots \end{array}

cos(x)のマクローリン展開

a点まわりのテイラー展開

\begin{array}{rcl} f (x) & = & \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)} (a)}{x!} (x - a)^{k} \dots a 点 ま わ り の テ イ ラ ー 展 開 \\ = & \frac{1}{0!} f^{(0)} (a) (x - a)^{0} + \frac{1}{1!} f^{(1)} (a) (x - a)^{1} + \frac{1}{2!} f^{(2)} (a) (x - a)^{2} + \dots \\ \dots f^{(n)} (x) : f (x) の n 階 微 分 \end{array}

マクローリン展開(0点まわりのテイラー展開)

\begin{array}{rcl} f (x) & = & {\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)} (a)}{x!} (x - a)^{k} |}_{a = 0} \\ = & \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)} (0)}{x!} (x - 0)^{k} \\ = & \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)} (0)}{x!} (x)^{k} \\ = & \frac{1}{0!} f^{(0)} (0) x^{0} + \frac{1}{1!} f^{(1)} (0) x + \frac{1}{2!} f^{(2)} (0) x^{2} + \dots \end{array}

$f (x) = \cos (x)$ のマクローリン展開(0点まわりのテイラー展開)

\begin{array}{rclrc} \cos (x) & = & \frac{1}{0!} f^{(0)} (0) x^{0} & + \frac{1}{1!} f^{(1)} (0) x & + \frac{1}{2!} f^{(2)} (0) x^{2} + \dots \\ = & \frac{1}{0!} {\cos (0)} x^{0} & + \frac{1}{1!} {- \sin (0)} x & + \frac{1}{2!} {- \cos (0)} x^{2} \\ + \frac{1}{3!} {\sin (0)} x^{3} & + \frac{1}{4!} {\cos (0)} x^{4} & + \frac{1}{5!} {\sin (0)} x^{5} \\ + \frac{1}{6!} {- \cos (0)} x^{6} & + \frac{1}{7!} {\sin (0)} x^{7} & + \frac{1}{8!} {\cos (0)} x^{8} + \dots \\ = & \frac{1}{0!} \cdot 1 \cdot x^{0} & + \frac{1}{1!} \cdot 0 \cdot x & + \frac{1}{2!} \cdot - 1 \cdot x^{2} \\ + \frac{1}{3!} \cdot 0 \cdot x^{3} & + \frac{1}{4!} \cdot 1 \cdot x^{4} & + \frac{1}{5!} \cdot 0 \cdot x^{5} \\ + \frac{1}{6!} \cdot - 1 \cdot x^{6} & + \frac{1}{7!} \cdot 0 \cdot x^{7} & + \frac{1}{8!} \cdot 1 \cdot x^{8} + \dots \\ = & \frac{1}{0!} x^{0} - \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{4!} x^{4} & - \frac{1}{6!} x^{6} + \frac{1}{8!} x^{8} + \dots \\ = & 1 - \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{4!} x^{4} & - \frac{1}{6!} x^{6} + \frac{1}{8!} x^{8} + \dots \end{array}

二階微分のラプラス変換

ラプラス変換

\begin{array}{rcl} L [f (t)] & = & \int_{0}^{\infty} f (t) e^{- s t} d t \end{array}

二階微分のラプラス変換

\begin{array}{rcl} f (t) & = & \frac{d^{2} g (t)}{d^{2} t} \\ L [f (t)] & = & \int_{0}^{\infty} f (t) e^{- s t} d t \\ = & \int_{0}^{\infty} \frac{d^{2} g (t)}{d^{2} t} e^{- s t} d t \\ = & {[\frac{d g (t)}{d t} e^{- s t}]}_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} \frac{d g (t)}{d t} (- s) e^{- s t} d t \\ \dots \int_{a}^{b} f^{'} (t) g (t) d t = {[f (t) g (t)]}_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f (t) g^{'} (t) d t (f^{'} : f の 微 分, g^{'} : g の 部 分) \\ = & [\frac{d g (\infty)}{d t} e^{- s \infty} - {{\frac{d g (t)}{d t} |}_{t = 0}} e^{- s 0}] - (- s) \int_{0}^{\infty} \frac{d g (t)}{d t} e^{- s t} d t \\ = & [0 - g^{'} (0)] + s \int_{0}^{\infty} \frac{d g (t)}{d t} e^{- s t} d t \\ \dots {\frac{d g (t)}{d t} |}_{t = 0} = g^{'} (0) \\ = & s \int_{0}^{\infty} \frac{d g (t)}{d t} e^{- s t} d t - g^{'} (0) \\ = & s {s L [g (t)] - g (0)} - g^{'} (0) \\ \dots \int_{0}^{\infty} \frac{d g (t)}{d t} e^{- s t} d t = L [\frac{d g (t)}{d t}] = s L [g (t)] - g (0) \\ = & s^{2} L [g (t)] - s g (0) - g^{'} (0) \end{array}

バネマスダンパー系，γ,ω0による比較

バネマスダンパー系

$γ, ω_{0}$ による比較

\begin{array}{rclrclr} \ddot{x} (t) & + & \frac{c}{m} \dot{x} (t) & + & \frac{k}{m} x (t) & = & 0 \\ \frac{d^{2}}{d^{2} t} x (t) & + & \frac{c}{m} \frac{d}{d t} x (t) & + & \frac{k}{m} x (t) & = & 0 \end{array}

\begin{array}{rcl} γ & = & \frac{c}{2 m} \\ ω_{0}^{2} & = & \frac{k}{m} \\ ω^{2} & = & | γ^{2} - ω_{0}^{2} | \\ = & | \frac{ω_{0}^{2}}{ω_{0}^{2}} (γ^{2} - ω_{0}^{2}) | \\ = & ω_{0}^{2} | {(\frac{γ}{ω_{0}})}^{2} - 1 | \\ = & ω_{0}^{2} | ζ^{2} - 1 | \dots ζ = \frac{γ}{ω_{0}} \\ ω & = & \sqrt{ω_{0}^{2} | ζ^{2} - 1 |} \\ = & ω_{0} \sqrt{| ζ^{2} - 1 |} \end{array}

\begin{array}{rclrclrc} x (t) & = & x_{0} \cos (ω_{0} t) & + \frac{v_{0}}{ω_{0}} \sin (ω_{0} t) & \dots γ = 0 & 単 振 動 & ζ = 0 \\ = & e^{- γ t} & [x_{0} \cos (ω t) & + \frac{v_{0} + γ x_{0}}{ω} \sin (ω t)] & \dots 0 < γ < ω_{0} & 減 衰 振 動 & 0 < ζ < 1 \\ = & e^{- γ t} & [x_{0} & + (v_{0} + γ x_{0}) t] & \dots γ = ω_{0} & 臨 界 減 衰 & ζ = 1 \\ = & e^{- γ t} & [x_{0} \cosh (ω t) & + \frac{v_{0} + γ x_{0}}{ω} \sinh (ω t)] & \dots ω_{0} < γ & 過 減 衰 & 1 < ζ \end{array}

バネマスダンパー系，臨界減衰(γ=ω0)の場合

バネマスダンパー系

$γ = ω_{0}$

\begin{array}{rcl} λ_{1, 2} & = & {- γ \pm \sqrt{γ^{2} - ω_{0}^{2}} |}_{γ = ω_{0}} \dots λ_{1, 2} = - γ \pm \sqrt{γ^{2} - ω_{0}^{2}} \\ = & - ω_{0} \pm \sqrt{ω_{0}^{2} - ω_{0}^{2}} \\ = & - ω_{0} \end{array}

\begin{array}{rclr} x (t) & = & C (t) e^{- ω_{0} t} \dots 定 数 変 化 法 \\ \dot{x} & = & C^{'} (t) e^{- ω_{0} t} - ω_{0} C (t) e^{- ω_{0} t} & \dots (f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'} \\ \ddot{x} & = & {C^{″} (t) e^{- ω_{0} t} - ω_{0} C^{'} (t) e^{- ω_{0} t}} + {- ω_{0} C (t)^{'} e^{- ω_{0} t} + ω_{0}^{2} C (t) e^{- ω_{0} t}} & \dots (f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'} \\ = & C^{″} (t) e^{- ω_{0} t} - 2 ω_{0} C^{'} (t) e^{- ω_{0} t} + ω_{0}^{2} C (t) e^{- ω_{0} t} \end{array}

\begin{array}{rcl} {\ddot{x} + 2 γ \dot{x} + ω_{0}^{2} x |}_{γ = ω_{0}} & = & 0 \\ \ddot{x} + 2 ω_{0} \dot{x} + ω_{0}^{2} x & = & 0 \\ [C^{″} (t) e^{- ω_{0} t} - 2 ω_{0} C^{'} (t) e^{- ω_{0} t} + ω_{0}^{2} C (t) e^{- ω_{0} t}] + 2 ω_{0} [C^{'} (t) e^{- ω_{0} t} - ω_{0} C (t) e^{- ω_{0} t}] + ω_{0}^{2} C (t) e^{- ω_{0} t} & = & 0 \\ C^{″} (t) e^{- ω_{0} t} - 2 ω_{0} C^{'} (t) e^{- ω_{0} t} + ω_{0}^{2} C (t) e^{- ω_{0} t} + 2 ω_{0} C^{'} (t) e^{- ω_{0} t} - 2 ω_{0}^{2} C (t) e^{- ω_{0} t} + ω_{0}^{2} C (t) e^{- ω_{0} t} & = & 0 \\ C^{″} (t) e^{- ω_{0} t} & = & 0 \\ C^{″} (t) & = & 0 \dots e^{- ω_{0} t} > 0 \end{array}

\begin{array}{rcl} C^{″} (t) & = & 0 \\ C^{'} (t) & = & C_{1} \\ C (t) & = & C_{1} t + C_{2} \\ x (t) & = & (C_{1} t + C_{2}) e^{- ω_{0} t} \end{array}

\begin{array}{rcl} x (0) & = & {(C_{1} t + C_{2}) e^{- ω_{0} t} |}_{t = 0} \\ = & (C_{1} 0 + C_{2}) e^{- ω_{0} 0} \\ = & C_{2} \cdot 1 = C_{2} \\ C_{2} & = & x (0) = x_{0} \\ x^{'} (0) & = & {{C_{1} e^{- ω_{0} t} - ω_{0} (C_{1} t + C_{2}) e^{- ω_{0} t}} |}_{t = 0, C_{2} = x_{0}} \\ = & C_{1} e^{- ω_{0} 0} - ω_{0} (C_{1} 0 + x_{0}) e^{- ω_{0} 0} \\ = & C_{1} \cdot 1 - ω_{0} (x_{0}) \cdot 1 \\ = & C_{1} - ω_{0} x_{0} \\ C_{1} & = & x^{'} (0) + ω_{0} x_{0} = v_{0} + ω_{0} x_{0} \end{array}

\begin{array}{rcl} x (t) & = & C (t) e^{- ω_{0} t} \\ = & (C_{1} t + C_{2}) e^{- ω_{0} t} \\ = & {(v_{0} + ω_{0} x_{0}) t + x_{0}} e^{- ω_{0} t} \\ = & {(v_{0} + γ x_{0}) t + x_{0}} e^{- γ t} \dots ω_{0} = γ \\ = & e^{- γ t} {x_{0} + (v_{0} + γ x_{0}) t} \\ = & x_{0} e^{- γ t} (1 + γ t) + v_{0} e^{- γ t} (t) \dots 初 期 位 置 x_{0} に よ る 臨 界 減 衰, 初 期 速 度 v_{0} に よ る 臨 界 減 衰 \end{array}

バネマスダンパー系，過減衰(ω0<γ)の場合

バネマスダンパー系

$ω_{0} < γ$

\begin{array}{rcl} λ_{1, 2} & = & - γ \pm \sqrt{γ^{2} - ω_{0}^{2}} \dots λ_{1, 2} = - γ \pm \sqrt{γ^{2} - ω_{0}^{2}} \\ = & - γ \pm \sqrt{ω^{2}} \dots ω^{2} = | γ^{2} - ω_{0}^{2} |, γ^{2} - ω_{0}^{2} = ω^{2} \\ = & - γ \pm ω \end{array}

\begin{array}{rcl} C_{1, 2} & = & {\frac{x_{0}}{2} \pm \frac{v_{0} + γ x_{0}}{2 \sqrt{γ^{2} - ω_{0}^{2}}} |}_{γ > ω_{0}} \dots C_{1, 2} = \frac{x_{0}}{2} \pm \frac{v_{0} + γ x_{0}}{2 \sqrt{γ^{2} - ω_{0}^{2}}} \\ = & \frac{x_{0}}{2} \pm \frac{v_{0} + γ x_{0}}{2 \sqrt{ω^{2}}} \\ = & \frac{x_{0}}{2} \pm \frac{v_{0} + γ x_{0}}{2 ω} \dots た だ し ω \neq 0 \end{array}

\begin{array}{rcl} x (t) & = & C_{1} e^{λ_{1} t} + C_{2} e^{λ_{2} t} \\ = & C_{1} e^{(- γ + ω) t} + C_{2} e^{(- γ - ω) t} \\ = & C_{1} e^{- γ t} e^{ω t} + C_{2} e^{- γ t} e^{- ω t} \\ = & e^{- γ t} {C_{1} e^{ω t} + C_{2} e^{- ω t}} \\ = & e^{- γ t} [{\frac{x_{0}}{2} + \frac{v_{0} + γ x_{0}}{2 ω}} e^{ω t} + {\frac{x_{0}}{2} - \frac{v_{0} + γ x_{0}}{2 ω}} e^{- ω t}] \\ = & e^{- γ t} {\frac{x_{0}}{2} e^{ω t} + \frac{v_{0} + γ x_{0}}{2 ω} e^{ω t} + \frac{x_{0}}{2} e^{- ω t} - \frac{v_{0} + γ x_{0}}{2 ω} e^{- ω t}} \\ = & e^{- γ t} {\frac{x_{0}}{2} (e^{ω t} + e^{- ω t}) + \frac{v_{0} + γ x_{0}}{2 ω} (e^{ω t} - e^{- ω t})} \\ = & e^{- γ t} {x_{0} \frac{e^{ω t} + e^{- ω t}}{2} + \frac{v_{0} + γ x_{0}}{ω} \frac{e^{ω t} - e^{- ω t}}{2}} \\ = & e^{- γ t} {x_{0} \cosh (ω t) + \frac{v_{0} + γ x_{0}}{ω} \sinh (ω t)} \\ \dots \cosh (ω t) = \frac{e^{ω t} + e^{- ω t}}{2}, \sinh (ω t) = \frac{e^{ω t} - e^{- ω t}}{2} \\ = & x_{0} e^{- γ t} {\cosh (ω t) + \frac{γ}{ω} \sinh (ω t)} + v_{0} e^{- γ t} {\frac{1}{ω} \sinh (ω t)} \dots 初 期 位 置 x_{0} に よ る 過 減 衰, 初 期 速 度 v_{0} に よ る 過 減 衰 \\ = & x_{0} e^{- γ t} {\cosh (ω t) + \frac{ζ}{\sqrt{ζ^{2} - 1}} \sinh (ω t)} + v_{0} e^{- γ t} {\frac{1}{ω} \sinh (ω t)} \\ \dots \frac{γ}{ω} = \frac{γ}{\sqrt{| γ^{2} - ω_{0}^{2} |}} = \frac{γ}{\sqrt{\frac{ω_{0}^{2}}{ω_{0}^{2}} | γ^{2} - ω_{0}^{2} |}} = \frac{γ}{\sqrt{ω_{0}^{2} | \frac{γ^{2}}{ω_{0}^{2}} - \frac{ω_{0}^{2}}{ω_{0}^{2}} |}} = \frac{γ}{ω_{0} \sqrt{| ζ^{2} - 1 |}} = \frac{ζ}{\sqrt{| ζ^{2} - 1 |}} \\ \dots ω = \sqrt{| γ^{2} - ω_{0}^{2} |}, ζ = \frac{γ}{ω_{0}} \end{array}

バネマスダンパー系，減衰振動(0<γ<ω0)の場合

バネマスダンパー系

$0 < γ < ω_{0}$

\begin{array}{rcl} λ_{1, 2} & = & {- γ \pm \sqrt{γ^{2} - ω_{0}^{2}} |}_{0 < γ < ω_{0}} \dots λ_{1, 2} = - γ \pm \sqrt{γ^{2} - ω_{0}^{2}} \\ = & - γ \pm \sqrt{γ^{2} - ω_{0}^{2}} \\ = & - γ \pm \sqrt{- ω^{2}} \dots ω^{2} = | γ^{2} - ω_{0}^{2} |, γ^{2} - ω_{0}^{2} = - ω^{2} \\ = & - γ \pm ω \sqrt{- 1} \\ = & - γ \pm ω i \end{array}

\begin{array}{rcl} C_{1, 2} & = & {\frac{x_{0}}{2} \pm \frac{v_{0} + γ x_{0}}{2 \sqrt{γ^{2} - ω_{0}^{2}}} |}_{0 < γ < ω_{0}} \dots C_{1, 2} = \frac{x_{0}}{2} \pm \frac{v_{0} + γ x_{0}}{2 \sqrt{γ^{2} - ω_{0}^{2}}} \\ = & \frac{x_{0}}{2} \pm \frac{v_{0} + γ x_{0}}{2 ω \sqrt{- 1}} \\ = & \frac{x_{0}}{2} \pm \frac{v_{0} + γ x_{0}}{2 ω i} \frac{i}{i} \\ = & \frac{x_{0}}{2} \pm \frac{v_{0} + γ x_{0}}{2 ω \cdot (- 1)} i \\ = & \frac{x_{0}}{2} \mp \frac{v_{0} + γ x_{0}}{2 ω} i \dots た だ し ω \neq 0 \end{array}

\begin{array}{rcl} x (t) & = & C_{1} e^{λ_{1} t} + C_{2} e^{λ_{2} t} \\ = & C_{1} e^{(- γ + ω i) t} + C_{2} e^{(- γ - ω i) t} \\ = & C_{1} e^{- γ t} e^{ω i t} + C_{2} e^{- γ t} e^{- ω i t} \\ = & e^{- γ t} {C_{1} e^{ω i t} + C_{2} e^{- ω i t}} \\ {C_{1} e^{ω i t} + C_{2} e^{- ω i t}} & = & {\frac{x_{0}}{2} - \frac{v_{0} + γ x_{0}}{2 ω} i} e^{ω i t} + {\frac{x_{0}}{2} + \frac{v_{0} + γ x_{0}}{2 ω} i} e^{- ω i t} \\ = & {\frac{x_{0}}{2} - \frac{v_{0} + γ x_{0}}{2 ω} i} {\cos (ω t) + i \sin (ω t)} \\ + {\frac{x_{0}}{2} + \frac{v_{0} + γ x_{0}}{2 ω} i} {\cos (- ω t) + i \sin (- ω t)} \dots e^{i x} = \cos (x) + i \sin (x) \\ = & {\frac{x_{0}}{2} - \frac{v_{0} + γ x_{0}}{2 ω} i} {\cos (ω t) + i \sin (ω t)} \\ + {\frac{x_{0}}{2} + \frac{v_{0} + γ x_{0}}{2 ω} i} {\cos (ω t) - i \sin (ω t)} \\ \dots \cos (- θ) = \cos (θ), \sin (- θ) = - \sin (θ) \\ = & {\frac{x_{0}}{2} - \frac{v_{0} + γ x_{0}}{2 ω} i} \cos (ω t) + i {\frac{x_{0}}{2} - \frac{v_{0} + γ x_{0}}{2 ω} i} \sin (ω t) \\ + {\frac{x_{0}}{2} + \frac{v_{0} + γ x_{0}}{2 ω} i} \cos (ω t) - i {\frac{x_{0}}{2} + \frac{v_{0} + γ x_{0}}{2 ω} i} \sin (ω t) \\ = & {\frac{x_{0}}{2} - \frac{v_{0} + γ x_{0}}{2 ω} i} \cos (ω t) + {\frac{x_{0}}{2} i + \frac{v_{0} + γ x_{0}}{2 ω}} \sin (ω t) \\ + {\frac{x_{0}}{2} + \frac{v_{0} + γ x_{0}}{2 ω} i} \cos (ω t) - {\frac{x_{0}}{2} i - \frac{v_{0} + γ x_{0}}{2 ω}} \sin (ω t) \\ \dots i \cdot i = - 1 \\ = & {\frac{x_{0}}{2} - \frac{v_{0} + γ x_{0}}{2 ω} i + \frac{x_{0}}{2} + \frac{v_{0} + γ x_{0}}{2 ω} i} \cos (ω t) \\ + {\frac{x_{0}}{2} i + \frac{v_{0} + γ x_{0}}{2 ω} - \frac{x_{0}}{2} i + \frac{v_{0} + γ x_{0}}{2 ω}} \sin (ω t) \\ = & {\frac{x_{0}}{2} + \frac{x_{0}}{2}} \cos (ω t) + {\frac{v_{0} + γ x_{0}}{2 ω} + \frac{v_{0} + γ x_{0}}{2 ω}} \sin (ω t) \\ = & x_{0} \cos (ω t) + \frac{v_{0} + γ x_{0}}{ω} \sin (ω t) \end{array}

\begin{array}{rcl} x (t) & = & e^{- γ t} {C_{1} e^{ω i t} + C_{2} e^{- ω i t}} \\ = & e^{- γ t} {x_{0} \cos (ω t) + \frac{v_{0} + γ x_{0}}{ω} \sin (ω t)} \\ = & x_{0} e^{- γ t} {\cos (ω t) + \frac{γ}{ω} \sin (ω t)} + v_{0} e^{- γ t} {\frac{1}{ω} \sin (ω t)} \dots 初 期 位 置 に よ る 減 衰 振 動, 初 期 速 度 に よ る 減 衰 振 動 \\ = & x_{0} e^{- γ t} {\cos (ω t) + \frac{ζ}{\sqrt{ζ^{2} - 1}} \sin (ω t)} + v_{0} e^{- γ t} {\frac{1}{ω} \sin (ω t)} \\ \dots \frac{γ}{ω} = \frac{γ}{\sqrt{| γ^{2} - ω_{0}^{2} |}} = \frac{γ}{\sqrt{\frac{ω_{0}^{2}}{ω_{0}^{2}} | γ^{2} - ω_{0}^{2} |}} = \frac{γ}{\sqrt{ω_{0}^{2} | \frac{γ^{2}}{ω_{0}^{2}} - \frac{ω_{0}^{2}}{ω_{0}^{2}} |}} = \frac{γ}{ω_{0} \sqrt{| ζ^{2} - 1 |}} = \frac{ζ}{\sqrt{| ζ^{2} - 1 |}} \\ \dots ω = \sqrt{| γ^{2} - ω_{0}^{2} |}, ζ = \frac{γ}{ω_{0}} \end{array}

バネマスダンパー系，単振動(γ=0 / バネマス系)の場合

バネマスダンパー系

$γ = 0$

\begin{array}{rcl} λ_{1, 2} & = & {- γ \pm \sqrt{γ^{2} - ω_{0}^{2}} |}_{γ = 0} \dots λ_{1, 2} = - γ \pm \sqrt{γ^{2} - ω_{0}^{2}} \\ = & - 0 \pm \sqrt{0^{2} - ω_{0}^{2}} \\ = & \pm \sqrt{- ω_{0}^{2}} \\ = & \pm ω_{0} \sqrt{- 1} \\ = & \pm ω_{0} i \end{array}

\begin{array}{rcl} C_{1, 2} & = & {\frac{x_{0}}{2} \pm \frac{v_{0} + γ x_{0}}{2 \sqrt{γ^{2} - ω_{0}^{2}}} |}_{γ = 0} \dots C_{1, 2} = \frac{x_{0}}{2} \pm \frac{v_{0} + γ x_{0}}{2 \sqrt{γ^{2} - ω_{0}^{2}}} \\ = & \frac{x_{0}}{2} \pm \frac{v_{0} + 0 x_{0}}{2 \sqrt{0^{2} - ω_{0}^{2}}} \\ = & \frac{x_{0}}{2} \pm \frac{v_{0}}{2 ω_{0} \sqrt{- 1}} \\ = & \frac{x_{0}}{2} \pm \frac{v_{0}}{2 ω_{0} i} \frac{i}{i} \\ = & \frac{x_{0}}{2} \pm \frac{v_{0}}{2 ω_{0} \cdot (- 1)} i \\ = & \frac{x_{0}}{2} \mp \frac{v_{0}}{2 ω_{0}} i \dots た だ し ω_{0} \neq 0 \end{array}

\begin{array}{rcl} x (t) & = & C_{1} e^{λ_{1} t} + C_{2} e^{λ_{2} t} \\ = & {\frac{x_{0}}{2} - \frac{v_{0}}{2 ω_{0}} i} e^{ω_{0} i t} + {\frac{x_{0}}{2} + \frac{v_{0}}{2 ω_{0}} i} e^{- ω_{0} i t} \\ = & {\frac{x_{0}}{2} - \frac{v_{0}}{2 ω_{0}} i} {\cos (ω_{0} t) + i \sin (ω_{0} t)} \\ + {\frac{x_{0}}{2} + \frac{v_{0}}{2 ω_{0}} i} {\cos (- ω_{0} t) + i \sin (- ω_{0} t)} \dots e^{i x} = \cos (x) + i \sin (x) \\ = & {\frac{x_{0}}{2} - \frac{v_{0}}{2 ω_{0}} i} {\cos (ω_{0} t) + i \sin (ω_{0} t)} \\ + {\frac{x_{0}}{2} + \frac{v_{0}}{2 ω_{0}} i} {\cos (ω_{0} t) - i \sin (ω_{0} t)} \\ \dots \cos (- θ) = \cos (θ), \sin (- θ) = - \sin (θ) \\ = & {\frac{x_{0}}{2} - \frac{v_{0}}{2 ω_{0}} i} \cos (ω_{0} t) + i {\frac{x_{0}}{2} - \frac{v_{0}}{2 ω_{0}} i} \sin (ω_{0} t) \\ + {\frac{x_{0}}{2} + \frac{v_{0}}{2 ω_{0}} i} \cos (ω_{0} t) - i {\frac{x_{0}}{2} + \frac{v_{0}}{2 ω_{0}} i} \sin (ω_{0} t) \\ = & {\frac{x_{0}}{2} - \frac{v_{0}}{2 ω_{0}} i} \cos (ω_{0} t) + {\frac{x_{0}}{2} i + \frac{v_{0}}{2 ω_{0}}} \sin (ω_{0} t) \\ + {\frac{x_{0}}{2} + \frac{v_{0}}{2 ω_{0}} i} \cos (ω_{0} t) - {\frac{x_{0}}{2} i - \frac{v_{0}}{2 ω_{0}}} \sin (ω_{0} t) \\ \dots i \cdot i = - 1 \\ = & {\frac{x_{0}}{2} - \frac{v_{0}}{2 ω_{0}} i + \frac{x_{0}}{2} + \frac{v_{0}}{2 ω_{0}} i} \cos (ω_{0} t) \\ + {\frac{x_{0}}{2} i + \frac{v_{0}}{2 ω_{0}} - \frac{x_{0}}{2} i + \frac{v_{0}}{2 ω_{0}}} \sin (ω_{0} t) \\ = & {\frac{x_{0}}{2} + \frac{x_{0}}{2}} \cos (ω t) + {\frac{v_{0}}{2 ω_{0}} + \frac{v_{0}}{2 ω_{0}}} \sin (ω t) \\ = & x_{0} \cos (ω_{0} t) + \frac{v_{0}}{ω_{0}} \sin (ω_{0} t) \\ = & x_{0} \cos (ω_{0} t) + v_{0} \frac{1}{ω_{0}} \sin (ω_{0} t) \dots 初 期 位 置 に よ る 単 振 動, 初 期 速 度 に よ る 単 振 動 \end{array}

バネマスダンパー系，C1, C2 を求める

バネマスダンパー系

$C_{1}, C_{2} を求める$

\begin{array}{r} \frac{s x_{0} + v_{0} + \frac{c}{m} x_{0}}{s^{2} + s \frac{c}{m} + \frac{k}{m}} = \frac{(C_{1} + C_{2}) s - (C_{1} λ_{2} + C_{2} λ_{1})}{(s - λ_{1}) (s - λ_{2})} \end{array}

\begin{array}{rcl} s x_{0} + v_{0} + \frac{c}{m} x_{0} & = & (C_{1} + C_{2}) s - (C_{1} λ_{2} + C_{2} λ_{1}) \dots 分 子 に つ い て 考 え る \end{array}

{\begin{array}{rcl} C_{1} + C_{2} & = & x_{0} \\ - (C_{1} λ_{2} + C_{2} λ_{1}) & = & v_{0} + \frac{c}{m} x_{0} \\ = & v_{0} + 2 γ x_{0} \end{array} \dots s の 係 数 を 比 較 し 連 立 さ せ る

\begin{array}{rcl} C_{1} & = & x_{0} - C_{2} \\ - (C_{1} λ_{2} + C_{2} λ_{1}) & = & v_{0} + 2 γ x_{0} \\ C_{1} λ_{2} + C_{2} λ_{1} & = & - (v_{0} + 2 γ x_{0}) \\ (x_{0} - C_{2}) λ_{2} + C_{2} λ_{1} & = & - v_{0} - 2 γ x_{0} \\ x_{0} λ_{2} - C_{2} λ_{2} + C_{2} λ_{1} & = & - v_{0} - 2 γ x_{0} \\ C_{2} (λ_{1} - λ_{2}) & = & - v_{0} - 2 γ x_{0} - λ_{2} x_{0} \\ C_{2} (λ_{1} - λ_{2}) & = & - v_{0} - x_{0} (2 γ + λ_{2}) \\ C_{2} & = & \frac{- v_{0} - x_{0} (2 γ + λ_{2})}{λ_{1} - λ_{2}} \\ = & - \frac{v_{0} + x_{0} {2 γ + (- γ - \sqrt{γ^{2} - ω_{0}^{2}})}}{(- γ + \sqrt{γ^{2} - ω_{0}^{2}}) - (- γ - \sqrt{γ^{2} - ω_{0}^{2}})} \\ = & - \frac{v_{0} + x_{0} (γ - \sqrt{γ^{2} - ω_{0}^{2}})}{2 \sqrt{γ^{2} - ω_{0}^{2}}} \\ = & - \frac{v_{0} + γ x_{0} - x_{0} \sqrt{γ^{2} - ω_{0}^{2}}}{2 \sqrt{γ^{2} - ω_{0}^{2}}} \\ = & - \frac{v_{0} + γ x_{0}}{2 \sqrt{γ^{2} - ω_{0}^{2}}} + \frac{x_{0} \sqrt{γ^{2} - ω_{0}^{2}}}{2 \sqrt{γ^{2} - ω_{0}^{2}}} \\ = & - \frac{v_{0} + γ x_{0}}{2 \sqrt{γ^{2} - ω_{0}^{2}}} + \frac{x_{0}}{2} \\ = & \frac{x_{0}}{2} - \frac{v_{0} + γ x_{0}}{2 \sqrt{γ^{2} - ω_{0}^{2}}} \\ C_{1} & = & x_{0} - C_{2} \\ = & x_{0} - {\frac{x_{0}}{2} - \frac{v_{0} + γ x_{0}}{2 \sqrt{γ^{2} - ω_{0}^{2}}}} \\ = & \frac{x_{0}}{2} + \frac{v_{0} + γ x_{0}}{2 \sqrt{γ^{2} - ω_{0}^{2}}} \end{array}

\begin{array}{rcl} C_{1, 2} & = & \frac{x_{0}}{2} \pm \frac{v_{0} + γ x_{0}}{2 \sqrt{γ^{2} - ω_{0}^{2}}} \dots た だ し γ \neq ω_{0} \end{array}

バネマスダンパー系，λ1,λ2を求める

バネマスダンパー系

$λ_{1, 2} を求める$

\begin{array}{r} \frac{s x_{0} + v_{0} + \frac{c}{m} x_{0}}{s^{2} + s \frac{c}{m} + \frac{k}{m}} = \frac{(C_{1} + C_{2}) s - (C_{1} λ_{2} + C_{2} λ_{1})}{(s - λ_{1}) (s - λ_{2})} \end{array}

\begin{array}{rcl} s^{2} + s \frac{c}{m} + \frac{k}{m} & = & (s - λ_{1}) (s - λ_{2}) \dots 分 母 に つ い て 考 え る \\ λ_{1, 2} & = & \frac{- \frac{c}{m} \pm \sqrt{{(\frac{c}{m})}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \frac{k}{m}}}{2 \cdot 1} \\ = & - \frac{c}{2 m} \pm \frac{1}{2} \sqrt{{(\frac{c}{m})}^{2} - 4 \frac{k}{m}} \\ = & - \frac{c}{2 m} \pm \sqrt{\frac{1}{4} ({(\frac{c}{m})}^{2} - 4 \frac{k}{m})} \\ = & - \frac{c}{2 m} \pm \sqrt{{(\frac{c}{2 m})}^{2} - \frac{k}{m}} \\ = & - γ \pm \sqrt{γ^{2} - ω_{0}^{2}} \\ \dots γ = \frac{c}{2 m}, ω_{0}^{2} = \frac{k}{m} \end{array}

バネマスダンパー系，運動方程式，ラプラス変換，逆ラプラス変換，入力なし

バネマスダンパー系

運動方程式

\begin{array}{rclrclr} \ddot{x} & + & \frac{c}{m} \dot{x} & + & \frac{k}{m} x & = & 0 \\ \frac{d^{2} x}{d^{2} t} & + & \frac{c}{m} \frac{d x}{d t} & + & \frac{k}{m} x & = & 0 \end{array}

ラプラス変換と計算

\begin{array}{rclrcl} L [\frac{d^{2} x}{d^{2} t} & + & \frac{c}{m} \frac{d x}{d t} & + & \frac{k}{m} x] & = 0 \\ L [\frac{d^{2} x}{d^{2} t}] & + & L [\frac{c}{m} \frac{d x}{d t}] & + & L [\frac{k}{m} x] & = 0 \dots L [a g (t) + b h (t)] = a L [g (t)] + b L [h (t)] \\ s^{2} X - s x_{0} - v_{0} & + & \frac{c}{m} (s X - x_{0}) & + & \frac{k}{m} X & = 0 \\ \dots L [x] = X \\ \dots L [\frac{d x}{d t}] = s^{2} X - x_{0}, x_{0} = x (0) \\ \dots L [\frac{d^{2} x}{d^{2} t}] = s^{2} X - s x_{0} - v_{0}, v_{0} = x^{'} (0) \\ s^{2} X - s x_{0} - v_{0} & + & s \frac{c}{m} X - \frac{c}{m} x_{0} & + & \frac{k}{m} X & = 0 \end{array}

\begin{array}{rcl} s^{2} X + s \frac{c}{m} X + \frac{k}{m} X & = & s x_{0} + v_{0} + \frac{c}{m} x_{0} \\ (s^{2} + s \frac{c}{m} + \frac{k}{m}) X & = & s x_{0} + v_{0} + \frac{c}{m} x_{0} \\ X & = & \frac{s x_{0} + v_{0} + \frac{c}{m} x_{0}}{s^{2} + s \frac{c}{m} + \frac{k}{m}} \\ = & \frac{s x_{0} + v_{0} + \frac{c}{m} x_{0}}{(s - λ_{1}) (s - λ_{2})} \dots λ_{1, 2} = s^{2} + s \frac{c}{m} + \frac{k}{m} の 解 \\ = & \frac{C_{1}}{s - λ_{1}} + \frac{C_{2}}{s - λ_{2}} \\ = & \frac{C_{1} (s - λ_{2}) + C_{2} (s - λ_{1})}{(s - λ_{1}) (s - λ_{2})} \\ = & \frac{(C_{1} + C_{2}) s - (C_{1} λ_{2} + C_{2} λ_{1})}{(s - λ_{1}) (s - λ_{2})} \end{array}

逆ラプラス変換

\begin{array}{rcl} L^{- 1} [X] & = & L^{- 1} [C_{1} \frac{1}{s - λ_{1}} + C_{2} \frac{1}{s - λ_{2}}] \\ = & C_{1} L^{- 1} [\frac{1}{s - λ_{1}}] + C_{2} L^{- 1} [\frac{1}{s - λ_{2}}] \\ x (t) & = & C_{1} e^{λ_{1} t} + C_{2} e^{λ_{2} t} \\ \dots L^{- 1} [X] = x (t) \\ \dots L^{- 1} [\frac{1}{s + a}] = e^{- a t} \end{array}

eを底とした指数凾数(at乗)のラプラス変換

ラプラス変換

\begin{array}{rcl} L [f (t)] & = & \int_{0}^{\infty} f (t) e^{- s t} d t \end{array}

$e^{- a t}$ のラプラス変換

\begin{array}{rcl} f (t) & = & e^{a t} \\ L [f (t)] & = & \int_{0}^{\infty} f (t) e^{- s t} d t \\ = & \int_{0}^{\infty} e^{a t} e^{- s t} d t \\ = & \int_{0}^{\infty} e^{- (s - a) t} d t \\ \dots u = - (s - a) t, t : 0 \to \infty, u : 0 \to - \infty \\ \dots \frac{d u}{d t} = - (s - a), d t = \frac{- 1}{s - a} d u \\ = & \int_{0}^{- \infty} e^{u} \frac{- 1}{s - a} d u \\ = & \frac{- 1}{s - a} \int_{0}^{- \infty} e^{u} d u \\ = & \frac{- 1}{s - a} {[e^{u}]}_{0}^{- \infty} \\ = & \frac{- 1}{s - a} [e^{- \infty} - e^{0}] \\ = & \frac{- 1}{s - a} [0 - 1] \\ = & \frac{- 1}{s - a} (- 1) \\ = & \frac{1}{s - a} \end{array}

sin凾数のラプラス変換

ラプラス変換

\begin{array}{rcl} L [f (t)] & = & \int_{0}^{\infty} f (t) e^{- s t} d t \end{array}

$\sin (ω t)$ のラプラス変換

\begin{array}{rcl} f (t) & = & \sin (ω t) \\ L [f (t)] & = & \int_{0}^{\infty} \sin (ω t) e^{- s t} d t \\ = & {[\sin (ω t) \cdot \frac{- 1}{s} e^{- s t}]}_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} ω \cos (ω t) \cdot \frac{- 1}{s} e^{- s t} d t \\ \dots \int_{a}^{b} f^{'} (t) g (t) d t = {[f (t) g (t)]}_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f (t) g^{'} (t) d t (f^{'} : f の 微 分, g^{'} : g の 部 分) \\ \dots \int e^{a t} d t = \frac{1}{a} e^{a t} + C, \frac{d}{d t} \sin (ω t) = ω \cos (ω t) \\ = & [\sin (ω \infty) \cdot \frac{- 1}{s} e^{- s \infty} - \sin (ω 0) \cdot \frac{- 1}{s} e^{- s 0}] - (\frac{- ω}{s}) \int_{0}^{\infty} \cos (ω t) e^{- s t} d t \\ = & [0 - 0] + \frac{ω}{s} \int_{0}^{\infty} \cos (ω t) e^{- s t} d t \\ \dots e^{- \infty} = 0, \sin (0) = 0 \\ = & \frac{ω}{s} \int_{0}^{\infty} \cos (ω t) e^{- s t} d t \\ = & \frac{ω}{s} [{[\cos (ω t) \cdot \frac{- 1}{s} e^{- s t}]}_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} - ω \sin (ω t) \cdot \frac{- 1}{s} e^{- s t} d t] \\ \dots \int_{a}^{b} f^{'} (t) g (t) d t = {[f (t) g (t)]}_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f (t) g^{'} (t) d t (f^{'} : f の 微 分, g^{'} : g の 微 分) \\ \dots \int e^{a t} d t = \frac{1}{a} e^{a t} + C, \frac{d}{d t} \cos (ω t) = - ω \sin (ω t) \\ = & \frac{ω}{s} [[\cos (ω \infty) \cdot \frac{- 1}{s} e^{- s \infty} - \cos (ω 0) \cdot \frac{- 1}{s} e^{- s 0}] - \frac{ω}{s} \int_{0}^{\infty} \sin (ω t) e^{- s t} d t] \\ = & \frac{ω}{s} [[0 - 1 \cdot \frac{- 1}{s} \cdot 1] - \frac{ω}{s} \int_{0}^{\infty} \sin (ω t) e^{- s t} d t] \\ \dots e^{- \infty} = 0, \cos (0) = 1, e^{0} = 1 \\ = & \frac{ω}{s} [\frac{1}{s} - \frac{ω}{s} \int_{0}^{\infty} \sin (ω t) e^{- s t} d t] \\ = & \frac{ω}{s^{2}} - \frac{ω^{2}}{s^{2}} \int_{0}^{\infty} \sin (ω t) e^{- s t} d t \\ = & \frac{ω}{s^{2}} - \frac{ω^{2}}{s^{2}} L [f (t)] \\ L [f (t)] + \frac{ω^{2}}{s^{2}} L [f (t)] & = & \frac{ω}{s^{2}} \\ L [f (t)] (1 + \frac{ω^{2}}{s^{2}}) & = & \frac{ω}{s^{2}} \\ L [f (t)] & = & \frac{ω}{s^{2}} \frac{1}{1 + \frac{ω^{2}}{s^{2}}} \\ = & \frac{ω}{s^{2} (1 + \frac{ω^{2}}{s^{2}})} \\ = & \frac{ω}{s^{2} + ω^{2}} \end{array}

冪凾数のラプラス変換

ラプラス変換

\begin{array}{rcl} L [f (t)] & = & \int_{0}^{\infty} f (t) e^{- s t} d t \end{array}

$t^{n}$ のラプラス変換

\begin{array}{rcl} f (t) & = & t^{n} \\ L [f (t)] & = & \int_{0}^{\infty} t^{n} e^{- s t} d t \\ = & {[t^{n} \cdot \frac{- 1}{s} e^{- s t}]}_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} n t^{n - 1} \cdot \frac{- 1}{s} e^{- s t} d t \\ \dots \int_{a}^{b} f^{'} (t) g (t) d t = {[f (t) g (t)]}_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f (t) g^{'} (t) d t (f^{'} : f の 微 分, g^{'} : g の 部 分) \\ \dots \int e^{a t} d t = \frac{1}{a} e^{a t} + C \\ \dots \frac{d}{d t} t^{n} = n t^{n - 1} \\ = & [\infty^{n} \cdot \frac{- 1}{s} e^{- s \infty} - 0^{n} \cdot \frac{- 1}{s} e^{- s 0}] - (\frac{- n}{s}) \int_{0}^{\infty} t^{n - 1} e^{- s t} d t \\ = & [0 - 0] + \frac{n}{s} \int_{0}^{\infty} t^{n - 1} e^{- s t} d t \\ \dots e^{- \infty} = 0, \sin (0) = 0 \\ = & \frac{n}{s} \int_{0}^{\infty} t^{n - 1} e^{- s t} d t \\ = & \frac{n}{s} \frac{n - 1}{s} \int_{0}^{\infty} t^{n - 2} e^{- s t} d t \\ ⋮ \\ = & \frac{n}{s} \frac{n - 1}{s} \dots \frac{2}{s} \int_{0}^{\infty} t e^{- s t} d t \\ = & \frac{n}{s} \frac{n - 1}{s} \dots \frac{2}{s} \frac{1}{s} \int_{0}^{\infty} e^{- s t} d t \\ = & \frac{n}{s} \frac{n - 1}{s} \dots \frac{2}{s} \frac{1}{s} {[\frac{- 1}{s} e^{- s t}]}_{0}^{\infty} \\ = & \frac{n!}{s^{n}} \frac{- 1}{s} [e^{- s \infty} - e^{- s 0}] \\ \dots n (n - 1) \dots 2 1 = n! \\ = & \frac{n!}{s^{n}} \frac{- 1}{s} [0 - 1] \\ \dots e^{- \infty} = 0, e^{0} = 1 \\ = & \frac{n!}{s^{n}} \frac{- 1}{s} (- 1) \\ = & \frac{n!}{s^{n + 1}} \end{array}

積分のラプラス変換

ラプラス変換

\begin{array}{rcl} L [f (t)] & = & \int_{0}^{\infty} f (t) e^{- s t} d t \end{array}

$\int_{0}^{t} g (u) d u$ のラプラス変換

\begin{array}{rcl} f (t) & = & \int_{0}^{t} g (u) d u \\ L [f (t)] & = & \int_{0}^{\infty} {\int_{0}^{t} g (u) d u} e^{- s t} d t \\ = & {[{\int_{0}^{t} g (u) d u} \frac{- 1}{s} e^{- s t}]}_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} g (t) \cdot \frac{- 1}{s} e^{- s t} d t \\ \dots \int_{a}^{b} f^{'} (t) g (t) d t = {[f (t) g (t)]}_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f (t) g^{'} (t) d t (f^{'} : f の 微 分, g^{'} : g の 部 分) \\ \dots \int e^{a t} d t = \frac{1}{a} e^{a t} + C \\ \dots \frac{d}{d t} \int_{0}^{t} g (u) d t = \frac{d}{d t} [G (t) - G (0)] = \frac{d}{d t} G (t) - \frac{d}{d t} G (0) = g (t) - 0 = g (t) \\ = & [{\int_{0}^{\infty} g (u) d u} \frac{- 1}{s} e^{- s \infty} - {\int_{0}^{0} g (u) d u} \frac{- 1}{s} e^{- s 0}] + \frac{1}{s} \int_{0}^{\infty} g (t) e^{- s t} d t \\ \dots e^{- \infty} = 0, \int_{t}^{t} f (x) d x = [F (t) - F (t)] = 0 \\ = & [0 - 0] + \frac{1}{s} \int_{0}^{\infty} g (t) e^{- s t} d t \\ = & \frac{1}{s} L [g (t)] \end{array}

微分のラプラス変換

ラプラス変換

\begin{array}{rcl} L [f (t)] & = & \int_{0}^{\infty} f (t) e^{- s t} d t \end{array}

$\frac{d f}{d t}$ のラプラス変換

\begin{array}{rcl} f (t) & = & \frac{d g (t)}{d t} \\ L [g (t)] & = & \int_{0}^{\infty} \frac{d g (t)}{d t} e^{- s t} d t \\ = & {[g (t) e^{- s t}]}_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} \frac{d g (t)}{d t} (- s) e^{- s t} d t \\ \dots \int_{a}^{b} f^{'} (t) g (t) d t = {[f (t) g (t)]}_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f (t) g^{'} (t) d t (f^{'} : f の 微 分, g^{'} : g の 部 分) \\ \dots \frac{d}{d t} e^{a t} = a e^{a t} \\ = & [g (\infty) e^{- s \infty} - g (0) e^{- s 0}] - (- s) \int_{0}^{\infty} \frac{d g (t)}{d t} e^{- s t} d t \\ = & [0 - g (0) \cdot 1] - (- s) \int_{0}^{\infty} \frac{d g (t)}{d t} e^{- s t} d t \\ \dots e^{- \infty} = 0, e^{0} = 1 \\ = & - g (0) + s \int_{0}^{\infty} \frac{d g (t)}{d t} e^{- s t} d t \\ = & - g (0) + s L [g (t)] \\ = & s L [g (t)] - g (0) \end{array}

線形結合のラプラス変換

ラプラス変換

\begin{array}{rcl} L [f (t)] & = & \int_{0}^{\infty} f (t) e^{- s t} d t \end{array}

$a g (t) + b h (t)$ のラプラス変換

\begin{array}{rcl} f (t) & = & a g (t) + b h (t) \dots a, b : t に よ ら な い (定 数) \\ L [f (t)] & = & \int_{0}^{\infty} {a g (t) + b h (t)} e^{- s t} d t \\ = & \int_{0}^{\infty} {a g (t) e^{- s t} + b h (t) e^{- s t}} d t \\ = & \int_{0}^{\infty} a g (t) e^{- s t} d t + \int_{0}^{\infty} b h (t) e^{- s t} d t \\ = & a \int_{0}^{\infty} g (t) e^{- s t} d t + b \int_{0}^{\infty} h (t) e^{- s t} d t \\ = & a L [g (t)] + b L [h (t)] \end{array}

定積分の微分

\begin{array}{rcl} \frac{d}{d t} \int_{0}^{t} g (x) d x & = & \frac{d}{d t} {[G (x)]}_{0}^{t} \\ = & \frac{d}{d t} [G (t) - G (0)] \\ = & \frac{d}{d t} G (t) - \frac{d}{d t} G (0) \\ = & g (t) - 0 \dots 0 を 代 入 し た G (0) は 定 数 で あ り ， 定 数 の 微 分 は 0 \\ = & g (t) \end{array}

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状態空間表現

バネマスダンパー系(入力なし)

対角正準形式

状態空間表現

バネマスダンパー系(入力なし)

状態ベクトルの変換

状態空間表現

バネマスダンパー系(入力なし)

状態行列の対角化(基底の変換)とそれに伴う出力行列の変換

状態空間表現

バネマスダンパー系(入力なし)

基底の変換行列[v1v2]

基底の変換行列の逆行列

状態空間表現

対角正準形式

状態空間表現

バネマスダンパー系

状態空間表現

バネマスダンパー系(入力なし)

状態行列の固有値

状態空間表現

バネマスダンパー系(入力なし)

固有値λ1,2

固有値λ1に対応する固有ベクトルv1

固有値λ2に対応する固有ベクトルv2

exとマクローリン展開と双曲線凾数

バネマスダンパー系

運動方程式

単振動，振動減衰，臨界減衰，過減衰

過減衰の式

ω0<γ

0<γ<ω0

γ=0

γ→ω0

a点まわりのテイラー展開

マクローリン展開(0点まわりのテイラー展開)

f(x)=sinh⁡(x)のマクローリン展開(0点まわりのテイラー展開)

a点まわりのテイラー展開

マクローリン展開(0点まわりのテイラー展開)

f(x)=cosh⁡(x)のマクローリン展開(0点まわりのテイラー展開)

cosh⁡(x)の微分

sinh⁡(x)の微分

cosh⁡(ix)

sinh⁡(ix)

cos(ix),sin(ix) (純虚数に対するcos,sin)

eixのマクローリン展開(0点まわりのテイラー展開)

a点まわりのテイラー展開

マクローリン展開(0点まわりのテイラー展開)

f(x)=exのマクローリン展開(0点まわりのテイラー展開)

a点まわりのテイラー展開

マクローリン展開(0点まわりのテイラー展開)

f(x)=sin⁡(x)のマクローリン展開(0点まわりのテイラー展開)

a点まわりのテイラー展開

マクローリン展開(0点まわりのテイラー展開)

f(x)=cos⁡(x)のマクローリン展開(0点まわりのテイラー展開)

ラプラス変換

二階微分のラプラス変換

バネマスダンパー系

γ,ω0による比較

バネマスダンパー系

γ=ω0

バネマスダンパー系

ω0<γ

バネマスダンパー系

0<γ<ω0

バネマスダンパー系

γ=0

バネマスダンパー系

を求めるC1,C2を求める

バネマスダンパー系

を求めるλ1,2を求める

バネマスダンパー系

運動方程式

ラプラス変換と計算

逆ラプラス変換

ラプラス変換

e−atのラプラス変換

ラプラス変換

sin⁡(ωt)のラプラス変換

ラプラス変換

基底の変換行列 $[\begin{matrix} v_{1} & v_{2} \end{matrix}]$

固有値 $λ_{1, 2}$

固有値 $λ_{1}$ に対応する固有ベクトル $v_{1}$

固有値 $λ_{2}$ に対応する固有ベクトル $v_{2}$

$e^{x}$ とマクローリン展開と双曲線凾数

$ω_{0} < γ$

$0 < γ < ω_{0}$

$γ = 0$

$γ \to ω_{0}$

$f (x) = \sinh (x)$ のマクローリン展開(0点まわりのテイラー展開)

$f (x) = \cosh (x)$ のマクローリン展開(0点まわりのテイラー展開)

$\cosh (x)$ の微分

$\sinh (x)$ の微分

$\cosh (i x)$

$\sinh (i x)$

$c o s (i x), s i n (i x)$ (純虚数に対する $\cos, \sin$ )

$e^{i x}$ のマクローリン展開(0点まわりのテイラー展開)

$f (x) = e^{x}$ のマクローリン展開(0点まわりのテイラー展開)

$f (x) = \sin (x)$ のマクローリン展開(0点まわりのテイラー展開)

$f (x) = \cos (x)$ のマクローリン展開(0点まわりのテイラー展開)

$γ, ω_{0}$ による比較

$γ = ω_{0}$

$ω_{0} < γ$

$0 < γ < ω_{0}$

$γ = 0$

$C_{1}, C_{2} を求める$

$λ_{1, 2} を求める$

$e^{- a t}$ のラプラス変換

$\sin (ω t)$ のラプラス変換

$t^{n}$ のラプラス変換

$\int_{0}^{t} g (u) d u$ のラプラス変換

$\frac{d f}{d t}$ のラプラス変換

$a g (t) + b h (t)$ のラプラス変換