Bezier曲線上の各点における接線ベクトルqと，その各点から任意の点zへのベクトルpとの内積が0となる媒介変数tを探す

Bezier曲線上の各点における接線ベクトル\(\vec{q}\)と，その各点から任意の点\(z\)へのベクトル\(\vec{p}\)との内積が\(0\)となる媒介変数\(t\)を探す

準備1

$$\begin{eqnarray} (1-t)^3&=&1-3t+3t^2-t^3 \\(1-t)^2t&=&t-2t^2+t^3 \\(1-t)t^2&=&t^2-t^3 \\(1-t)^2&=&1-2t+t^2 \\(1-t)t&=&t-t^2 \end{eqnarray}$$

準備2

$$\begin{eqnarray} \\P_{\mathrm{original}0}&=&(x_0, y_0)\;\cdots\;通過点 \\P_{\mathrm{original}1}&=&(x_1, y_1)\;\cdots\;制御点 \\P_{\mathrm{original}2}&=&(x_2, y_2)\;\cdots\;制御点 \\P_{\mathrm{original}3}&=&(x_3, y_3)\;\cdots\;通過点 \\Z&=&(z_x,z_y)\;\cdots\;任意の点 \end{eqnarray}$$ \(Z\)を原点\(0,0\)に移動させるように各点を平行移動する．平行移動しても求める\(t\)は変わらない． $$\begin{eqnarray} \\P_0&=&(x_0-z_x, y_0-z_y)=(a, p)\;\cdots\;Zを原点に移動させるように平行移動した通過点 \\P_1&=&(x_1-z_x, y_1-z_y)=(b, q)\;\cdots\;Zを原点に移動させるように平行移動した制御点 \\P_2&=&(x_2-z_x, y_2-z_y)=(c, r)\;\cdots\;Zを原点に移動させるように平行移動した制御点 \\P_3&=&(x_3-z_x, y_3-z_y)=(d, s)\;\cdots\;Zを原点に移動させるように平行移動した通過点 \end{eqnarray}$$

3次のベジェ曲線(媒介変数\(t\)表示)

$$\begin{eqnarray} \\\mathrm{Bezier}(t|P_0,P_1,P_2,P_3)&=&\left(X(t|a,b,c,d),Y(t|p,q,r,s)\right)\;t\in[0, 1]\;\cdots\;3次のベジェ曲線 \\X(t|a,b,c,d)&=&a(1-t)^3+3b(1-t)^2t+3c(1-t)t^2+d\;t^3 \\&=&a(1-3t+3t^2-t^3)+3b(t-2t^2+t^3)+3c(t^2-t^3)+dt^3\;\cdots\;準備\;参照 \\&=&a-3at+3at^2-at^3+3bt-6bt^2+3bt^3+3ct^2-3ct^3+dt^3 \\&=&a-3at+3bt+3at^2-6bt^2+3ct^2-at^3+3bt^3-3ct^3+dt^3 \\&=&a+(-3a+3b)t+(3a-6b+3c)t^2+(-a+3b-3c+d)t^3 \\&=&A+3Bt+3Ct^2+Dt^3 \;\cdots\;A=a, B=-a+b, C=a-2b+c, D=-a+3b-3c+d \\Y(t|p,q,r,s)&=&p(1-t)^3+3q(1-t)^2t+3r(1-t)t^2+st^3 \\&=&a+(-3p+3q)t+(3p-6q+3r)t^2+(-p+3q-3r+s)t^3 \\&=&P+3Qt+3Rt^2+St^3 \;\cdots\;P=p, Q=-p+q, R=p-2q+r, S=-p+3q-3r+s \end{eqnarray}$$

3次のベジェ曲線の\(X(t), Y(t)\)の微分

$$\begin{eqnarray} \\\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}X(t) &=&3B+6Ct+3Dt^2 \\\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}Y(t) &=&3Q+6Rt+3St^2 \end{eqnarray}$$ 任意の点\(Z(z_x,z_y)\)とBezier曲線上の点\(\mathrm{Bezier}(t|P_{\mathrm{original}0},P_{\mathrm{original}1},P_{\mathrm{original}2},P_{\mathrm{original}3})\)とのベクトル $$\begin{eqnarray} \vec{p}&=&\left(X(t|P_{\mathrm{original}0},P_{\mathrm{original}1},P_{\mathrm{original}2},P_{\mathrm{original}3})-z_x, Y(t|P_{\mathrm{original}0},P_{\mathrm{original}1},P_{\mathrm{original}2},P_{\mathrm{original}3})-z_y\right) \end{eqnarray}$$ 平行移動した\(P_0=(a,p),P_1=(b,q),P_2=(c,r),P_3=(d,s)\)を用いると任意の点\(Z(z_x,z_y)\)は原点\((0,0)\)になるので以下のように表せる． $$\begin{eqnarray} \vec{p}&=&\left(X(t|a,b,c,d), Y(t|p,q,r,s)\right) \\&=&\left(A+3Bt+3Ct^2+Dt^3, P+3Qt+3Rt^2+St^3\right) \end{eqnarray}$$ またこの時のBezier曲線上の点の接線は以下となる． $$\begin{eqnarray} \vec{q}&=&\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}X(t|a,b,c,d),\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}Y(t|p,q,r,s)\right) \\&=&\left(3B+6Ct+3Dt^2,3Q+6Rt+3St^2\right) \end{eqnarray}$$ この両ベクトルが直角をなす時，つまり内積が\(0\)となる時の\(t\)を求める． $$\begin{eqnarray} \vec{p}\cdot\vec{q}&=&|\vec{p}||\vec{q}|\cos{\left(\frac{\pi}{2}\right)}=|\vec{p}||\vec{q}|\cdot0=0 \;\cdots\;\thetaは\vec{p}と\vec{q}のなす角で直角\frac{\pi}{2}とするので\cos{\left(\frac{\pi}{2}\right)}=0．よって内積全体も0． \\0&=&\vec{p}\cdot\vec{q}=p_x q_x+p_y q_y\;\cdots\;内積の成分表示 \\&=&X(t|a,b,c,d) \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}X(t|a,b,c,d)\right) +Y(t|p,q,r,s)\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}Y(t|p,q,r,s)\right) \\&=&\left(A+3Bt+3Ct^2+Dt^3\right)\left(3B+6Ct+3Dt^2\right)+\left(P+3Qt+3Rt^2+St^3\right)\left(3Q+6Rt+3St^2\right) \\&=&A\left(3B+6Ct+3Dt^2\right) +3Bt\left(3B+6Ct+3Dt^2\right) +3Ct^2\left(3B+6Ct+3Dt^2\right) +Dt^3\left(3B+6Ct+3Dt^2\right) \\&&+P\left(3Q+6Rt+3St^2\right) +3Qt\left(3Q+6Rt+3St^2\right) +3Rt^2\left(3Q+6Rt+3St^2\right) +St^3\left(3Q+6Rt+3St^2\right) \\&=&3AB +6ACt +3AD t^2 +9B^2t +18BCt^2 +9BDt^3 +9BCt^2 +18C^2t^3 +9CDt^4 +3BDt^3 +6CDt^4 +3D^2t^5 \\&&+3PQ +6PRt +3PS t^2 +9Q^2t +18QRt^2 +9QSt^3 +9QRt^2 +18R^2t^3 +9RSt^4 +3QSt^3 +6RSt^4 +3S^2t^5 \\&=&3AB +3(2AC+3B^2)t +3(AD+9BC)t^2 +3(4BD+6C^2)t^3 +3\cdot5CDt^4 +3D^2t^5 \\&&+3PQ +3(2PR+3Q^2)t +3(PS+9QR)t^2 +3(4QS+6R^2)t^3 +3\cdot5RSt^4 +3S^2t^5 \\&=&3\left(AB +(2AC+3B^2)t +(AD+9BC)t^2 +(4BD+6C^2)t^3 +5CD t^4 +D^2 t^5\right) \\&&+3\left(PQ +(2PR+3Q^2)t +(PS+9QR)t^2 +(4QS+6R^2)t^3 +5RSt^4 +S^2t^5\right) \\0&=&AB +(2AC+3B^2)t +(AD+9BC)t^2 +(4BD+6C^2)t^3 +5CDt^4 +D^2t^5 \\&&+PQ +(2PR+3Q^2)t +(PS+9QR)t^2 +(4QS+6R^2)t^3 +5RSt^4 +S^2t^5\;\cdots\;両辺3で割った．左辺は0なので変わらず． \\&=&(AB+PQ) +(2AC+3B^2+2PR+3Q^2)t +(AD+9BC+PS+9QR)t^2 +(4BD+6C^2+4QS+6R^2)t^3 +(5CD+5RS)t^4 +(D^2+S^2)t^5 \\&=&\alpha_0 +\alpha_1t +\alpha_2t^2 +\alpha_3t^3 +\alpha_4t^4 +\alpha_5t^5 \\&&\;\cdots\;\alpha_0=AB+PQ \\&&\;\cdots\;\alpha_1=2AC+3B^2+2PR+3Q^2 \\&&\;\cdots\;\alpha_2=AD+9BC+PS+9QR \\&&\;\cdots\;\alpha_3=4BD+6C^2+4QS+6R^2 \\&&\;\cdots\;\alpha_4=5CD+5RS \\&&\;\cdots\;\alpha_5=D^2+S^2 \\&&\;\cdots\;A=a, B=-a+b, C=a-2b+c, D=-a+3b-3c+d \\&&\;\cdots\;P=p, Q=-p+q, R=p-2q+r, S=-p+3q-3r+s \end{eqnarray}$$
\(t\)を求めるには この5次方程式を解けばよいが，5次ということで数値計算で解く等が必要．
解は5つあるわけだが，その内実数であるものを選ぶ．
また，\(t\in[0, 1]\)であるので，\(t\lt0\)なら\(t=0\)，\(t\gt1\)なら\(t=1\)とする．
この式はBezier曲線と任意点との距離の凾数を微分して得る方程式に等しい．

任意の点とBezier曲線とで最小となる長さ(距離)を求める

任意の点\(Z\)とBezier曲線\(\mathrm{Bezier}(t)\)とで最小となる長さ\(L\)(距離)を求める

3次のベジェ曲線(媒介変数\(t\)表示)

任意の点\(Z\)とBezier曲線\(\mathrm{Bezier}(t)\)との長さ\(L\)

$$\begin{eqnarray} \mathrm{Anchor}_0&=&(a, p)\;\cdots\;通過点 \\\mathrm{Handle}_0&=&(b, q)\;\cdots\;制御点 \\\mathrm{Handle}_1&=&(c, r)\;\cdots\;制御点 \\\mathrm{Anchor}_1&=&(d, s)\;\cdots\;通過点 \\\mathrm{Bezier}(t|\mathrm{Anchor}_0,\mathrm{Handle}_0,\mathrm{Handle}_1,\mathrm{Anchor}_1)&=&\left(X(t|a,b,c,d),Y(t|p,q,r,s)\right)\; t\in[0,1] \\&&\;\cdots\;3次のベジェ曲線 \end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} \\X(t|a,b,c,d)&=&a(1-t)^3+3b(1-t)^2t+3c(1-t)t^2+d\;t^3 \\&=&a(1-3t+3t^2-t^3)+3b(t-2t^2+t^3)+3c(t^2-t^3)+d\;t^3 \\&=&a+3(-a+b)t+3(a-2b+c)t^2+(-a+3b-3c+d)t^3 \\&=&A+3Bt+3Ct^2+Dt^3 \;\cdots\;A=a, B=-a+b, C=a-2b+c, D=-a+3b-3c+d \\&=&X(t|A,B,C,D) \\Y(t|p,q,r,s)&=&p(1-t)^3+3q(1-t)^2t+3r(1-t)t^2+st^3 \\&=&a+3(-p+q)t+3(p-2q+r)t^2+(-p+3q-3r+s)t^3 \\&=&P+3Qt+3Rt^2+St^3 \;\cdots\;P=p, Q=-p+q, R=p-2q+r, S=-p+3q-3r+s \\&=&Y(t|P,Q,R,S) \end{eqnarray}$$

3次のベジェ曲線の\(X(t), Y(t)\)の微分

$$\begin{eqnarray} \\\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}X(t) &=&3B+6Ct+3Dt^2 \\&=&3\left(B+2Ct+Dt^2\right) \\\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}Y(t) &=&3Q+6Rt+3St^2 \\&=&3\left(Q+2Rt+St^2\right) \end{eqnarray}$$

任意の点\(Z\)からベジェ曲線の\(X(t), Y(t)\)の距離

$$\begin{eqnarray} \\Z&=&(z_x, z_y)\;\cdots\;任意の点 \\L&=&\sqrt{\left(X(t|a,b,c,d)-z_x\right)^2+\left(Y(t|p,q,r,s)-z_y\right)^2}\;\cdots\;任意の点zとBezier曲線との距離 \end{eqnarray}$$ \(Z=(0,0)\)になるように\(z_x,z_y\)だけ，\(a,b,c,d,p,q,r,s\)を平行移動する．距離は変わらないので\(L\)． $$\begin{eqnarray} \\L&=&\sqrt{X^2(t|a-z_x,b-z_x,c-z_x,d-z_x)+Y^2(t|p-z_y,q-z_y,r-z_y,s-z_y)} \end{eqnarray}$$ 平行移動後の係数を改めて\(a^\prime=a-z_x,b^\prime=b-z_x,c^\prime=c-z_x,d^\prime=d-z_x,p^\prime=p-z_y,q^\prime=q-z_y,r^\prime~r-z_y,s=s^\prime-z_y\)と定義し直して計算を続ける． $$\begin{eqnarray} \\L&=&\sqrt{\left(X(t|a^\prime,b^\prime,c^\prime,d^\prime)\right)^2+\left(Y(t|p^\prime,q^\prime,r^\prime,s^\prime)\right)^2} \\&=&\sqrt{\left(X(t|A^\prime,B^\prime,C^\prime,D^\prime)\right)^2+\left(Y(t|P^\prime,Q^\prime,R^\prime,S^\prime)\right)^2} \\&&\;\cdots\; A^\prime=a^\prime ,B^\prime=-a^\prime+b^\prime ,C^\prime=a^\prime-2b^\prime+c^\prime ,D^\prime=-a^\prime+3b^\prime-3c^\prime+d^\prime \\&&\;\cdots\; P^\prime=p^\prime ,Q^\prime=-p^\prime+q^\prime ,R^\prime=p^\prime-2q^\prime+r^\prime ,S^\prime=-p^\prime+3q^\prime-3r^\prime+s^\prime \end{eqnarray}$$

\(L\)を極値とする\(t\)を求める

$$\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}L&=&0\;\cdots\;Lの微分が0となるtが，Lの極値．その中で最小の距離Lとなるものを探す． \end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}L&=&\frac{1}{2}\left(X^2(t)+Y^2(t)\right)^{-\frac{1}{2}} \left\{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(X^2(t)+Y^2(t)\right) \right\} \\&=&\frac{1}{2}\left(X^2(t)+Y^2(t)\right)^{-\frac{1}{2}} \left\{ \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}X^2(t)\right) +\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}Y^2(t)\right) \right\} \\&=&\frac{1}{2}\left(X^2(t)+Y^2(t)\right)^{-\frac{1}{2}} \left\{ 2X(t)\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}X(t)\right) +2Y(t)\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}Y(t)\right) \right\} \\&=&\frac{X(t)\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}X(t)\right) +Y(t)\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}Y(t)\right)}{\sqrt{X^2(t)+Y^2(t)}} \;\cdots\;分母は常に0以上なので，0となる場合を除けば，分子だけ考えればよい． \end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} \\0&=&X(t)\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}X(t)\right) +Y(t)\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}Y(t)\right) \\&=& \left(A^\prime+3B^\prime t+3C^\prime t^2+D^\prime t^3\right) \cdot 3\left(B^\prime+2C^\prime t+D^\prime t^2\right) +\left(P^\prime+3Q^\prime t+3R^\prime t^2+S^\prime t^3\right) \cdot 3\left(Q^\prime+2R^\prime t+S^\prime t^2\right) \\&=&3\left\{ \left(A^\prime+3B^\prime t+3C^\prime t^2+D^\prime t^3\right) \left(B^\prime+2C^\prime t+D^\prime t^2\right) +\left(P^\prime+3Q^\prime t+3R^\prime t^2+S^\prime t^3\right) \left(Q^\prime+2R^\prime t+S^\prime t^2\right) \right\} \\0&=&\left(A^\prime+3B^\prime t+3C^\prime t^2+D^\prime t^3\right) \left(B^\prime+2C^\prime t+D^\prime t^2\right) +\left(P^\prime+3Q^\prime t+3R^\prime t^2+S^\prime t^3\right) \left(Q^\prime+2R^\prime t+S^\prime t^2\right)\;\cdots\;両辺3で割った．左辺は0なので割っても変わらない． \\&=& A^\prime \left(B^\prime+2C^\prime t+D^\prime t^2\right) +3B^\prime t\left(B^\prime+2C^\prime t+D^\prime t^2\right) +3C^\prime t^2\left(B^\prime+2C^\prime t+D^\prime t^2\right) +D^\prime t^3\left(B^\prime+2C^\prime t+D^\prime t^2\right) \\&&+P^\prime \left(Q^\prime+2R^\prime t+S^\prime t^2\right) +3Q^\prime t\left(Q^\prime+2R^\prime t+S^\prime t^2\right) +3R^\prime t^2\left(Q^\prime+2R^\prime t+S^\prime t^2\right) +S^\prime t^3\left(Q^\prime+2R^\prime t+S^\prime t^2\right) \\&=& A^\prime B^\prime+2A^\prime C^\prime t+A^\prime D^\prime t^2 +3{B^{\prime}}^2 t+6B^\prime C^\prime t^2+3B^\prime D^\prime t^3 +3B^\prime C^\prime t^2+ 6{C^{\prime}}^2 t^3+ 3C^\prime D^\prime t^4 +B^\prime D^\prime t^3+2C^\prime D^\prime t^4+{D^{\prime}}^2 t^5 \\&& +P^\prime Q^\prime+2P^\prime R^\prime t+P^\prime S^\prime t^2 +3{Q^{\prime}}^2 t+6Q^\prime R^\prime t^2+3Q^\prime S^\prime t^3 +3Q^\prime R^\prime t^2+ 6{R^{\prime}}^2 t^3+ 3R^\prime S^\prime t^4 +Q^\prime S^\prime t^3+2R^\prime S^\prime t^4+{S^{\prime}}^2 t^5 \\&=& A^\prime B^\prime +\left(2A^\prime C^\prime+3{B^{\prime}}^2\right)t +\left(A^\prime D^\prime+9B^\prime C^\prime\right)t^2 +\left(4B^\prime D^\prime+ 6{C^{\prime}}^2 \right)t^3 +5C^\prime D^\prime t^4 +{D^{\prime}}^2 t^5 \\&& +P^\prime Q^\prime +\left(2P^\prime R^\prime+3{Q^{\prime}}^2\right)t +\left(P^\prime S^\prime+9Q^\prime R^\prime\right)t^2 +\left(4Q^\prime S^\prime+ 6{R^{\prime}}^2\right)t^3 +5R^\prime S^\prime t^4 +{S^{\prime}}^2 t^5 \\&=& A^{\prime\prime} +B^{\prime\prime}t +C^{\prime\prime}t^2 +D^{\prime\prime}t^3 +E^{\prime\prime}t^4 +F^{\prime\prime}t^5 \\&& +P^{\prime\prime} +Q^{\prime\prime}t +R^{\prime\prime}t^2 +S^{\prime\prime}t^3 +T^{\prime\prime}t^4 +U^{\prime\prime}t^5 \\&&\;\cdots\;A^{\prime\prime}=A^\prime B^\prime ,B^{\prime\prime}=2A^\prime C^\prime+3{B^{\prime}}^2 ,C^{\prime\prime}=A^\prime D^\prime+9B^\prime C^\prime ,D^{\prime\prime}=4B^\prime D^\prime+ 6{C^{\prime}}^2 ,E^{\prime\prime}=5C^\prime D^\prime ,F^{\prime\prime}={D^{\prime}}^2 \\&&\;\cdots\;P^{\prime\prime}=P^\prime Q^\prime ,Q^{\prime\prime}=2P^\prime R^\prime+3{Q^{\prime}}^2 ,R^{\prime\prime}=P^\prime S^\prime+9Q^\prime R^\prime ,S^{\prime\prime}=4Q^\prime S^\prime+ 6{R^{\prime}}^2 ,T^{\prime\prime}=5R^\prime S^\prime ,U^{\prime\prime}={S^{\prime}}^2 \\&=&\left(A^{\prime\prime}+P^{\prime\prime}\right) +\left(B^{\prime\prime}+Q^{\prime\prime}\right)t +\left(C^{\prime\prime}+R^{\prime\prime}\right)t^2 +\left(D^{\prime\prime}+S^{\prime\prime}\right)t^3 +\left(E^{\prime\prime}+T^{\prime\prime}\right)t^4 +\left(F^{\prime\prime}+U^{\prime\prime}\right)t^5 \\&=&\alpha_0+\alpha_1 t+\alpha_2 t^2+\alpha_3 t^3+\alpha_4 t^4+\alpha_5 t^5 \\&&\;\cdots\;\alpha_0=A^{\prime\prime}+P^{\prime\prime}=A^\prime B^\prime+P^\prime Q^\prime \\&&\;\cdots\;\alpha_1=B^{\prime\prime}+Q^{\prime\prime} =2A^\prime C^\prime+3{B^{\prime}}^2 +2P^\prime R^\prime+3{Q^{\prime}}^2 \\&&\;\cdots\;\alpha_2=C^{\prime\prime}+R^{\prime\prime} =A^\prime D^\prime+9B^\prime C^\prime+P^\prime S^\prime+9Q^\prime R^\prime \\&&\;\cdots\;\alpha_3=D^{\prime\prime}+S^{\prime\prime} =4B^\prime D^\prime+ 6{C^{\prime}}^2 +4Q^\prime S^\prime+ 6{R^{\prime}}^2 \\&&\;\cdots\;\alpha_4=E^{\prime\prime}+T^{\prime\prime} =5C^\prime D^\prime+5R^\prime S^\prime \\&&\;\cdots\;\alpha_5=F^{\prime\prime}+U^{\prime\prime}\ ={D^{\prime}}^2+{S^{\prime}}^2 \\\; \\&&\;\cdots\; A^\prime=a^\prime ,\;B^\prime=-a^\prime+b^\prime ,\;C^\prime=a^\prime-2b^\prime+c^\prime ,\;D^\prime=-a^\prime+3b^\prime-3c^\prime+d^\prime \\&&\;\cdots\; P^\prime=p^\prime ,\;Q^\prime=-p^\prime+q^\prime ,\;R^\prime=p^\prime-2q^\prime+r^\prime ,\;S^\prime=-p^\prime+3q^\prime-3r^\prime+s^\prime \\\; \\&&\;\cdots\;a^\prime=a-z_x,\;b^\prime=b-z_x,\;c^\prime=c-z_x,\;d^\prime=d-z_x \\&&\;\cdots\;p^\prime=p-z_y,\;q^\prime=q-z_y,\;r^\prime~r-z_y,\;s=s^\prime-z_y \end{eqnarray}$$
\(t\)を求めるには この5次方程式を解けばよいが，5次ということで数値計算で解く等が必要．
解は5つあるわけだが，その内実数であるものを選ぶ．
また，\(t\in[0, 1]\)であるので，\(t\lt0\)なら\(t=0\)，\(t\gt1\)なら\(t=1\)とする．
この式は任意点からBezier曲線上の各点へ引いた線分の中で，接線とが直角に交わる時の点を求める方程式に等しい．

最小となる\(L\)を求める

得られた\(t\)は\(L\)を極値とするものなので，その中でも\(L\)が最小となるものを採用する．