Bezier曲線上の各点における接線ベクトルqと，その各点から任意の点zへのベクトルpとの内積が0となる媒介変数tを探す

Bezier曲線上の各点における接線ベクトル\(\vec{q}\)と，その各点から任意の点\(z\)へのベクトル\(\vec{p}\)との内積が\(0\)となる媒介変数\(t\)を探す

準備1

$$\begin{eqnarray} (1-t)^3&=&1-3t+3t^2-t^3 \\(1-t)^2t&=&t-2t^2+t^3 \\(1-t)t^2&=&t^2-t^3 \\(1-t)^2&=&1-2t+t^2 \\(1-t)t&=&t-t^2 \end{eqnarray}$$

準備2

$$\begin{eqnarray} \\P_{\mathrm{original}0}&=&(x_0, y_0)\;\cdots\;通過点 \\P_{\mathrm{original}1}&=&(x_1, y_1)\;\cdots\;制御点 \\P_{\mathrm{original}2}&=&(x_2, y_2)\;\cdots\;制御点 \\P_{\mathrm{original}3}&=&(x_3, y_3)\;\cdots\;通過点 \\Z&=&(z_x,z_y)\;\cdots\;任意の点 \end{eqnarray}$$ \(Z\)を原点\(0,0\)に移動させるように各点を平行移動する．平行移動しても求める\(t\)は変わらない． $$\begin{eqnarray} \\P_0&=&(x_0-z_x, y_0-z_y)=(a, p)\;\cdots\;Zを原点に移動させるように平行移動した通過点 \\P_1&=&(x_1-z_x, y_1-z_y)=(b, q)\;\cdots\;Zを原点に移動させるように平行移動した制御点 \\P_2&=&(x_2-z_x, y_2-z_y)=(c, r)\;\cdots\;Zを原点に移動させるように平行移動した制御点 \\P_3&=&(x_3-z_x, y_3-z_y)=(d, s)\;\cdots\;Zを原点に移動させるように平行移動した通過点 \end{eqnarray}$$

3次のベジェ曲線(媒介変数\(t\)表示)

$$\begin{eqnarray} \\\mathrm{Bezier}(t|P_0,P_1,P_2,P_3)&=&\left(X(t|a,b,c,d),Y(t|p,q,r,s)\right)\;t\in[0, 1]\;\cdots\;3次のベジェ曲線 \\X(t|a,b,c,d)&=&a(1-t)^3+3b(1-t)^2t+3c(1-t)t^2+d\;t^3 \\&=&a(1-3t+3t^2-t^3)+3b(t-2t^2+t^3)+3c(t^2-t^3)+dt^3\;\cdots\;準備\;参照 \\&=&a-3at+3at^2-at^3+3bt-6bt^2+3bt^3+3ct^2-3ct^3+dt^3 \\&=&a-3at+3bt+3at^2-6bt^2+3ct^2-at^3+3bt^3-3ct^3+dt^3 \\&=&a+(-3a+3b)t+(3a-6b+3c)t^2+(-a+3b-3c+d)t^3 \\&=&A+3Bt+3Ct^2+Dt^3 \;\cdots\;A=a, B=-a+b, C=a-2b+c, D=-a+3b-3c+d \\Y(t|p,q,r,s)&=&p(1-t)^3+3q(1-t)^2t+3r(1-t)t^2+st^3 \\&=&a+(-3p+3q)t+(3p-6q+3r)t^2+(-p+3q-3r+s)t^3 \\&=&P+3Qt+3Rt^2+St^3 \;\cdots\;P=p, Q=-p+q, R=p-2q+r, S=-p+3q-3r+s \end{eqnarray}$$

3次のベジェ曲線の\(X(t), Y(t)\)の微分

$$\begin{eqnarray} \\\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}X(t) &=&3B+6Ct+3Dt^2 \\\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}Y(t) &=&3Q+6Rt+3St^2 \end{eqnarray}$$ 任意の点\(Z(z_x,z_y)\)とBezier曲線上の点\(\mathrm{Bezier}(t|P_{\mathrm{original}0},P_{\mathrm{original}1},P_{\mathrm{original}2},P_{\mathrm{original}3})\)とのベクトル $$\begin{eqnarray} \vec{p}&=&\left(X(t|P_{\mathrm{original}0},P_{\mathrm{original}1},P_{\mathrm{original}2},P_{\mathrm{original}3})-z_x, Y(t|P_{\mathrm{original}0},P_{\mathrm{original}1},P_{\mathrm{original}2},P_{\mathrm{original}3})-z_y\right) \end{eqnarray}$$ 平行移動した\(P_0=(a,p),P_1=(b,q),P_2=(c,r),P_3=(d,s)\)を用いると任意の点\(Z(z_x,z_y)\)は原点\((0,0)\)になるので以下のように表せる． $$\begin{eqnarray} \vec{p}&=&\left(X(t|a,b,c,d), Y(t|p,q,r,s)\right) \\&=&\left(A+3Bt+3Ct^2+Dt^3, P+3Qt+3Rt^2+St^3\right) \end{eqnarray}$$ またこの時のBezier曲線上の点の接線は以下となる． $$\begin{eqnarray} \vec{q}&=&\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}X(t|a,b,c,d),\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}Y(t|p,q,r,s)\right) \\&=&\left(3B+6Ct+3Dt^2,3Q+6Rt+3St^2\right) \end{eqnarray}$$ この両ベクトルが直角をなす時，つまり内積が\(0\)となる時の\(t\)を求める． $$\begin{eqnarray} \vec{p}\cdot\vec{q}&=&|\vec{p}||\vec{q}|\cos{\left(\frac{\pi}{2}\right)}=|\vec{p}||\vec{q}|\cdot0=0 \;\cdots\;\thetaは\vec{p}と\vec{q}のなす角で直角\frac{\pi}{2}とするので\cos{\left(\frac{\pi}{2}\right)}=0．よって内積全体も0． \\0&=&\vec{p}\cdot\vec{q}=p_x q_x+p_y q_y\;\cdots\;内積の成分表示 \\&=&X(t|a,b,c,d) \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}X(t|a,b,c,d)\right) +Y(t|p,q,r,s)\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}Y(t|p,q,r,s)\right) \\&=&\left(A+3Bt+3Ct^2+Dt^3\right)\left(3B+6Ct+3Dt^2\right)+\left(P+3Qt+3Rt^2+St^3\right)\left(3Q+6Rt+3St^2\right) \\&=&A\left(3B+6Ct+3Dt^2\right) +3Bt\left(3B+6Ct+3Dt^2\right) +3Ct^2\left(3B+6Ct+3Dt^2\right) +Dt^3\left(3B+6Ct+3Dt^2\right) \\&&+P\left(3Q+6Rt+3St^2\right) +3Qt\left(3Q+6Rt+3St^2\right) +3Rt^2\left(3Q+6Rt+3St^2\right) +St^3\left(3Q+6Rt+3St^2\right) \\&=&3AB +6ACt +3AD t^2 +9B^2t +18BCt^2 +9BDt^3 +9BCt^2 +18C^2t^3 +9CDt^4 +3BDt^3 +6CDt^4 +3D^2t^5 \\&&+3PQ +6PRt +3PS t^2 +9Q^2t +18QRt^2 +9QSt^3 +9QRt^2 +18R^2t^3 +9RSt^4 +3QSt^3 +6RSt^4 +3S^2t^5 \\&=&3AB +3(2AC+3B^2)t +3(AD+9BC)t^2 +3(4BD+6C^2)t^3 +3\cdot5CDt^4 +3D^2t^5 \\&&+3PQ +3(2PR+3Q^2)t +3(PS+9QR)t^2 +3(4QS+6R^2)t^3 +3\cdot5RSt^4 +3S^2t^5 \\&=&3\left(AB +(2AC+3B^2)t +(AD+9BC)t^2 +(4BD+6C^2)t^3 +5CD t^4 +D^2 t^5\right) \\&&+3\left(PQ +(2PR+3Q^2)t +(PS+9QR)t^2 +(4QS+6R^2)t^3 +5RSt^4 +S^2t^5\right) \\0&=&AB +(2AC+3B^2)t +(AD+9BC)t^2 +(4BD+6C^2)t^3 +5CDt^4 +D^2t^5 \\&&+PQ +(2PR+3Q^2)t +(PS+9QR)t^2 +(4QS+6R^2)t^3 +5RSt^4 +S^2t^5\;\cdots\;両辺3で割った．左辺は0なので変わらず． \\&=&(AB+PQ) +(2AC+3B^2+2PR+3Q^2)t +(AD+9BC+PS+9QR)t^2 +(4BD+6C^2+4QS+6R^2)t^3 +(5CD+5RS)t^4 +(D^2+S^2)t^5 \\&=&\alpha_0 +\alpha_1t +\alpha_2t^2 +\alpha_3t^3 +\alpha_4t^4 +\alpha_5t^5 \\&&\;\cdots\;\alpha_0=AB+PQ \\&&\;\cdots\;\alpha_1=2AC+3B^2+2PR+3Q^2 \\&&\;\cdots\;\alpha_2=AD+9BC+PS+9QR \\&&\;\cdots\;\alpha_3=4BD+6C^2+4QS+6R^2 \\&&\;\cdots\;\alpha_4=5CD+5RS \\&&\;\cdots\;\alpha_5=D^2+S^2 \\&&\;\cdots\;A=a, B=-a+b, C=a-2b+c, D=-a+3b-3c+d \\&&\;\cdots\;P=p, Q=-p+q, R=p-2q+r, S=-p+3q-3r+s \end{eqnarray}$$
\(t\)を求めるには この5次方程式を解けばよいが，5次ということで数値計算で解く等が必要．
解は5つあるわけだが，その内実数であるものを選ぶ．
また，\(t\in[0, 1]\)であるので，\(t\lt0\)なら\(t=0\)，\(t\gt1\)なら\(t=1\)とする．
この式はBezier曲線と任意点との距離の凾数を微分して得る方程式に等しい．