Bezier曲線上の各点における接線ベクトルqと，その各点から任意の点zへのベクトルpとの内積が0となる媒介変数tを探す

Bezier曲線上の各点における接線ベクトル$\overrightarrow{q}$と，その各点から任意の点$z$へのベクトル$\overrightarrow{p}$との内積が$0$となる媒介変数$t$を探す

準備1

$$\begin{array}{rcl}(1-t{)}^3& =& 1-3t+3t^2-t^3\\ (1-t{)}^{2}t& =& t-2t^2+t^3\\ (1-t)t^2& =& t^2-t^3\\ (1-t{)}^2& =& 1-2t+t^2\\ (1-t)t& =& t-t^2\end{array}$$

準備2

$$\begin{array}{r}\\ P_{\mathrm{original}0}& =& (x_0,y_0)\cdots \mathrm{通}\mathrm{過}\mathrm{点}\\ P_{\mathrm{original}1}& =& (x_1,y_1)\cdots \mathrm{制}\mathrm{御}\mathrm{点}\\ P_{\mathrm{original}2}& =& (x_2,y_2)\cdots \mathrm{制}\mathrm{御}\mathrm{点}\\ P_{\mathrm{original}3}& =& (x_3,y_3)\cdots \mathrm{通}\mathrm{過}\mathrm{点}\\ Z& =& (z_x,z_y)\cdots \mathrm{任}\mathrm{意}\mathrm{の}\mathrm{点}\end{array}$$ $Z$を原点$0,0$に移動させるように各点を平行移動する．平行移動しても求める$t$は変わらない． $$\begin{array}{r}\\ P_0& =& (x_0-z_x,y_0-z_y)=(a,p)\cdots Z\mathrm{を}\mathrm{原}\mathrm{点}\mathrm{に}\mathrm{移}\mathrm{動}\mathrm{さ}\mathrm{せ}\mathrm{る}\mathrm{よ}\mathrm{う}\mathrm{に}\mathrm{平}\mathrm{行}\mathrm{移}\mathrm{動}\mathrm{し}\mathrm{た}\mathrm{通}\mathrm{過}\mathrm{点}\\ P_1& =& (x_1-z_x,y_1-z_y)=(b,q)\cdots Z\mathrm{を}\mathrm{原}\mathrm{点}\mathrm{に}\mathrm{移}\mathrm{動}\mathrm{さ}\mathrm{せ}\mathrm{る}\mathrm{よ}\mathrm{う}\mathrm{に}\mathrm{平}\mathrm{行}\mathrm{移}\mathrm{動}\mathrm{し}\mathrm{た}\mathrm{制}\mathrm{御}\mathrm{点}\\ P_2& =& (x_2-z_x,y_2-z_y)=(c,r)\cdots Z\mathrm{を}\mathrm{原}\mathrm{点}\mathrm{に}\mathrm{移}\mathrm{動}\mathrm{さ}\mathrm{せ}\mathrm{る}\mathrm{よ}\mathrm{う}\mathrm{に}\mathrm{平}\mathrm{行}\mathrm{移}\mathrm{動}\mathrm{し}\mathrm{た}\mathrm{制}\mathrm{御}\mathrm{点}\\ P_3& =& (x_3-z_x,y_3-z_y)=(d,s)\cdots Z\mathrm{を}\mathrm{原}\mathrm{点}\mathrm{に}\mathrm{移}\mathrm{動}\mathrm{さ}\mathrm{せ}\mathrm{る}\mathrm{よ}\mathrm{う}\mathrm{に}\mathrm{平}\mathrm{行}\mathrm{移}\mathrm{動}\mathrm{し}\mathrm{た}\mathrm{通}\mathrm{過}\mathrm{点}\end{array}$$

3次のベジェ曲線(媒介変数$t$表示)

$$\begin{array}{r}\\ \mathrm{Bezier}(t|P_0,P_1,P_2,P_3)& =& (X(t|a,b,c,d),Y(t|p,q,r,s))t\in [0,1]\cdots 3\mathrm{次}\mathrm{の}\mathrm{ベ}\mathrm{ジ}\mathrm{ェ}\mathrm{曲}\mathrm{線}\\ X(t|a,b,c,d)& =& a(1-t{)}^3+3b(1-t{)}^{2}t+3c(1-t)t^2+d{t}^3\\ & =& a(1-3t+3t^2-t^3)+3b(t-2t^2+t^3)+3c(t^2-t^3)+d{t}^3\cdots \mathrm{準}\mathrm{備}\mathrm{参}\mathrm{照}\\ & =& a-3at+3a{t}^2-a{t}^3+3bt-6b{t}^2+3b{t}^3+3c{t}^2-3c{t}^3+d{t}^3\\ & =& a-3at+3bt+3a{t}^2-6b{t}^2+3c{t}^2-a{t}^3+3b{t}^3-3c{t}^3+d{t}^3\\ & =& a+(-3a+3b)t+(3a-6b+3c)t^2+(-a+3b-3c+d)t^3\\ & =& A+3Bt+3C{t}^2+D{t}^3\cdots A=a,B=-a+b,C=a-2b+c,D=-a+3b-3c+d\\ Y(t|p,q,r,s)& =& p(1-t{)}^3+3q(1-t{)}^{2}t+3r(1-t)t^2+s{t}^3\\ & =& a+(-3p+3q)t+(3p-6q+3r)t^2+(-p+3q-3r+s)t^3\\ & =& P+3Qt+3R{t}^2+S{t}^3\cdots P=p,Q=-p+q,R=p-2q+r,S=-p+3q-3r+s\end{array}$$

3次のベジェ曲線の$X(t),Y(t)$の微分

$$\begin{array}{r}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}X(t)& =& 3B+6Ct+3D{t}^2\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}Y(t)& =& 3Q+6Rt+3S{t}^2\end{array}$$ 任意の点$Z(z_x,z_y)$とBezier曲線上の点$\mathrm{Bezier}(t|P_{\mathrm{original}0},P_{\mathrm{original}1},P_{\mathrm{original}2},P_{\mathrm{original}3})$とのベクトル $$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{p}& =& (X(t|P_{\mathrm{original}0},P_{\mathrm{original}1},P_{\mathrm{original}2},P_{\mathrm{original}3})-z_x,Y(t|P_{\mathrm{original}0},P_{\mathrm{original}1},P_{\mathrm{original}2},P_{\mathrm{original}3})-z_y)\end{array}$$ 平行移動した$P_0=(a,p),P_1=(b,q),P_2=(c,r),P_3=(d,s)$を用いると任意の点$Z(z_x,z_y)$は原点$(0,0)$になるので以下のように表せる． $$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{p}& =& (X(t|a,b,c,d),Y(t|p,q,r,s))\\ & =& (A+3Bt+3C{t}^2+D{t}^3,P+3Qt+3R{t}^2+S{t}^3)\end{array}$$ またこの時のBezier曲線上の点の接線は以下となる． $$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{q}& =& (\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}X(t|a,b,c,d),\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}Y(t|p,q,r,s))\\ & =& (3B+6Ct+3D{t}^2,3Q+6Rt+3S{t}^2)\end{array}$$ この両ベクトルが直角をなす時，つまり内積が$0$となる時の$t$を求める． $$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}& =& |\overrightarrow{p}||\overrightarrow{q}|\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)=|\overrightarrow{p}||\overrightarrow{q}|\cdot 0=0\cdots \theta \mathrm{は}\overrightarrow{p}\mathrm{と}\overrightarrow{q}\mathrm{の}\mathrm{な}\mathrm{す}\mathrm{角}\mathrm{で}\mathrm{直}\mathrm{角}\frac{\pi }{2}\mathrm{と}\mathrm{す}\mathrm{る}\mathrm{の}\mathrm{で}\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)=0．\mathrm{よ}\mathrm{っ}\mathrm{て}\mathrm{内}\mathrm{積}\mathrm{全}\mathrm{体}\mathrm{も}0．\\ 0& =& \overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}=p_x{q}_x+p_y{q}_y\cdots \mathrm{内}\mathrm{積}\mathrm{の}\mathrm{成}\mathrm{分}\mathrm{表}\mathrm{示}\\ & =& X(t|a,b,c,d)(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}X(t|a,b,c,d))+Y(t|p,q,r,s)(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}Y(t|p,q,r,s))\\ & =& (A+3Bt+3C{t}^2+D{t}^3)(3B+6Ct+3D{t}^2)+(P+3Qt+3R{t}^2+S{t}^3)(3Q+6Rt+3S{t}^2)\\ & =& A(3B+6Ct+3D{t}^2)+3Bt(3B+6Ct+3D{t}^2)+3C{t}^2(3B+6Ct+3D{t}^2)+D{t}^3(3B+6Ct+3D{t}^2)\\ & & +P(3Q+6Rt+3S{t}^2)+3Qt(3Q+6Rt+3S{t}^2)+3R{t}^2(3Q+6Rt+3S{t}^2)+S{t}^3(3Q+6Rt+3S{t}^2)\\ & =& 3AB+6ACt+3AD{t}^2+9B^{2}t+18BC{t}^2+9BD{t}^3+9BC{t}^2+18C^2{t}^3+9CD{t}^4+3BD{t}^3+6CD{t}^4+3D^2{t}^5\\ & & +3PQ+6PRt+3PS{t}^2+9Q^{2}t+18QR{t}^2+9QS{t}^3+9QR{t}^2+18R^2{t}^3+9RS{t}^4+3QS{t}^3+6RS{t}^4+3S^2{t}^5\\ & =& 3AB+3(2AC+3B^2)t+3(AD+9BC)t^2+3(4BD+6C^2)t^3+3\cdot 5CD{t}^4+3D^2{t}^5\\ & & +3PQ+3(2PR+3Q^2)t+3(PS+9QR)t^2+3(4QS+6R^2)t^3+3\cdot 5RS{t}^4+3S^2{t}^5\\ & =& 3(AB+(2AC+3B^2)t+(AD+9BC)t^2+(4BD+6C^2)t^3+5CD{t}^4+D^2{t}^5)\\ & & +3(PQ+(2PR+3Q^2)t+(PS+9QR)t^2+(4QS+6R^2)t^3+5RS{t}^4+S^2{t}^5)\\ 0& =& AB+(2AC+3B^2)t+(AD+9BC)t^2+(4BD+6C^2)t^3+5CD{t}^4+D^2{t}^5\\ & & +PQ+(2PR+3Q^2)t+(PS+9QR)t^2+(4QS+6R^2)t^3+5RS{t}^4+S^2{t}^5\cdots \mathrm{両}\mathrm{辺}3\mathrm{で}\mathrm{割}\mathrm{っ}\mathrm{た}．\mathrm{左}\mathrm{辺}\mathrm{は}0\mathrm{な}\mathrm{の}\mathrm{で}\mathrm{変}\mathrm{わ}\mathrm{ら}\mathrm{ず}．\\ & =& (AB+PQ)+(2AC+3B^2+2PR+3Q^2)t+(AD+9BC+PS+9QR)t^2+(4BD+6C^2+4QS+6R^2)t^3+(5CD+5RS)t^4+(D^2+S^2)t^5\\ & =& {\alpha }_0+{\alpha }_{1}t+{\alpha }_2{t}^2+{\alpha }_3{t}^3+{\alpha }_4{t}^4+{\alpha }_5{t}^5\\ & & \cdots {\alpha }_0=AB+PQ\\ & & \cdots {\alpha }_1=2AC+3B^2+2PR+3Q^2\\ & & \cdots {\alpha }_2=AD+9BC+PS+9QR\\ & & \cdots {\alpha }_3=4BD+6C^2+4QS+6R^2\\ & & \cdots {\alpha }_4=5CD+5RS\\ & & \cdots {\alpha }_5=D^2+S^2\\ & & \cdots A=a,B=-a+b,C=a-2b+c,D=-a+3b-3c+d\\ & & \cdots P=p,Q=-p+q,R=p-2q+r,S=-p+3q-3r+s\end{array}$$
$t$を求めるには この5次方程式を解けばよいが，5次ということで数値計算で解く等が必要．
解は5つあるわけだが，その内実数であるものを選ぶ．
また，$t\in [0,1]$であるので，$t<0$なら$t=0$，$t>1$なら$t=1$とする．
この式はBezier曲線と任意点との距離の凾数を微分して得る方程式に等しい．