ベータ分布の期待値(平均)と分散

$$ \begin{eqnarray} f(x;m,n)&=&\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2020/05/blog-post_22.html}{\frac{x^{(m-1)}(1-x)^{(n-1)}}{B(m,n)}\;\cdots\;ベータ分布} \\B(m,n)&=&\int_0^1x^{(m-1)}(1-x)^{(n-1)} \mathrm{d}x\;\cdots\;ベータ凾数 \\&=&\frac{(m-1)!\;(n-1)!}{\left\{(m-1)+(n-1)+1\right\}!} \;\cdots\;\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2020/05/blog-post_22.html}{\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^p(\beta-x)^q \mathrm{d}x=\frac{p!\;q!}{(p+q+1)!}(\beta-\alpha)^{(p+q+1)}(第一種オイラー積分)} \\&=&\frac{(m-1)!\;(n-1)!}{(m+n-1)!} \end{eqnarray} $$

ベータ分布の期待値(一次モーメント・平均)

$$ \begin{eqnarray} \mathbf{E}[X]&=&\int_0^1xf(x)\mathrm{d}x \\&=&\int_0^1x\; \frac{x^{(m-1)}(1-x)^{(n-1)}}{B(m,n)} \;\mathrm{d}x \\&=&\frac{1}{B(m,n)} \int_0^1x^{m}(1-x)^{(n-1)}\;\mathrm{d}x \\&=&\frac{(m+n-1)!}{(m-1)!\;(n-1)!}\frac{m!\;(n-1)!}{(m+n)!} \\&=&\frac{(m+n-1)!}{(m+n)!}\frac{m!}{(m-1)!} \\&=&\frac{1}{m+n}\frac{m}{1} \\&=&\frac{m}{m+n}\;\cdots\;ベータ分布の平均 \end{eqnarray} $$

ベータ分布の二次モーメント

$$ \begin{eqnarray} \mathbf{E}[X^2]&=&\int_0^1x^2f(x)\mathrm{d}x \\&=&\int_0^1x^2\; \frac{x^{(m-1)}(1-x)^{(n-1)}}{B(m,n)} \;\mathrm{d}x \\&=&\frac{1}{B(m,n)} \int_0^1x^{(m+1)}(1-x)^{(n-1)}\;\mathrm{d}x \\&=&\frac{(m+n-1)!}{(m-1)!\;(n-1)!}\frac{(m+1)!\;(n-1)!}{((m+1)+n)!} \\&=&\frac{(m+n-1)!}{(m-1)!\;(n-1)!}\frac{(m+1)!\;(n-1)!}{(m+n+1)!} \\&=&\frac{(m+n-1)!}{(m+n+1)!}\frac{(m+1)!}{(m-1)!} \\&=&\frac{1}{(m+n+1)(m+n)}\frac{(m+1)m}{1} \\&=&\frac{(m+1)m}{(m+n+1)(m+n)} \end{eqnarray} $$

ベータ分布の分散(二次の中心モーメント

$$ \begin{eqnarray} \mathbf{V}[X]&=&\mathbf{E}[X^2]-\mathbf{E}[X]^2 \\&=&\frac{(m+1)m}{(m+n+1)(m+n)}-\left\{\frac{m}{m+n}\right\}^2 \\&=&\frac{(m+1)m}{(m+n+1)(m+n)}-\frac{m^2}{\left(m+n\right)^2} \\&=&\frac{(m+n)(m+1)m-(m+n+1)m^2}{(m+n+1)(m+n)^2} \\&=&\frac{(m^2+m+mn+n)m-(m^3+m^2n+m^2)}{(m+n+1)(m+n)^2} \\&=&\frac{m^3+m^2+m^2n+mn-m^3-m^2n-m^2}{(m+n+1)(m+n)^2} \\&=&\frac{mn}{(m+n+1)(m+n)^2}\;\cdots\;ベータ分布の分散 \end{eqnarray} $$

1/6, 1/12, 1/30 公式

\(\frac{1}{6}\)公式

\(\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2019/06/x.html}{x軸と二次凾数(x-\alpha)(x-\beta)で囲まれる面積(直線と二次凾数でも引き算すれば同様)}\)は 二次凾数の解(x軸との交点)を\(x=\alpha,\beta\)とした，\(p=1,q=1\)の第一種オイラー積分である．
(X軸の下側にできる面積は負値で表される) $$ \begin{eqnarray} \int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta) \mathrm{d}x &=&\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^1(-1\;(\beta-x))^1 \mathrm{d}x\\ &=&-\frac{1!\;1!}{(1+1+1)!}(\beta-\alpha)^{(1+1+1)} \;\cdots\;\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2020/05/blog-post_22.html}{\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^p(\beta-x)^q \mathrm{d}x=\frac{p!\;q!}{(p+q+1)!}(\beta-\alpha)^{(p+q+1)}}\\ &=&-\frac{1!\;1!}{3!}(\beta-\alpha)^{3}\\ &=&-\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^{3}\\ \end{eqnarray} $$ ( 積分として解いた記事 )

\(\frac{1}{12}\)公式

x軸とそれと接する三次凾数\((x-\alpha)(x-\beta)^2\)で囲まれる面積は三次凾数の解を\(x=\alpha,\beta\)(後者を重複側とする)とした， \(p=1,q=2\)の第一種オイラー積分である． $$ \begin{eqnarray} \int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)^2 \mathrm{d}x &=&\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^1(-1\;(\beta-x))^2 \mathrm{d}x\\ &=&\frac{1!\;2!}{(1+2+1)!}(\beta-\alpha)^{(1+2+1)} \;\cdots\;\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2020/05/blog-post_22.html}{\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^p(\beta-x)^q \mathrm{d}x=\frac{p!\;q!}{(p+q+1)!}(\beta-\alpha)^{(p+q+1)}}\\ &=&\frac{1!\;2!}{4!}(\beta-\alpha)^{4}\\ &=&\frac{2}{24}(\beta-\alpha)^{4}\\ &=&\frac{1}{12}(\beta-\alpha)^{4}\\ \end{eqnarray} $$

\(\frac{1}{30}\)公式

x軸とそれと接する四次凾数\((x-\alpha)^2(x-\beta)^2\)で囲まれる面積は四次凾数の解を\(x=\alpha,\beta\)(両方を重複とする)とした， \(p=2,q=2\)の第一種オイラー積分である． $$ \begin{eqnarray} \int_\alpha^\beta(x-\alpha)^2(x-\beta)^2 \mathrm{d}x &=&\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^2(-1\;(\beta-x))^2 \mathrm{d}x\\ &=&\frac{2!\;2!}{(2+2+1)!}(\beta-\alpha)^{(2+2+1)} \;\cdots\;\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2020/05/blog-post_22.html}{\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^p(\beta-x)^q \mathrm{d}x=\frac{p!\;q!}{(p+q+1)!}(\beta-\alpha)^{(p+q+1)}}\\ &=&\frac{2!\;2!}{5!}(\beta-\alpha)^{5}\\ &=&\frac{4}{120}(\beta-\alpha)^{5}\\ &=&\frac{1}{30}(\beta-\alpha)^{5}\\ \end{eqnarray} $$

\(\frac{1}{3}\)公式(?)

x軸と接する二次凾数\((x-\alpha)^2\)があり，それらと\(x=\beta\)で囲まれる面積は二次凾数の解を\(x=\alpha\)(重複)とした， \(p=2,q=0\)の第一種オイラー積分である． $$ \begin{eqnarray} \int_\alpha^\beta(x-\alpha)^2(x-\beta)^0 \mathrm{d}x &=&\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^2(-1\;(\beta-x))^0 \mathrm{d}x\\ &=&\frac{2!\;0!}{(2+0+1)!}(\beta-\alpha)^{(2+0+1)} \;\cdots\;\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2020/05/blog-post_22.html}{\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^p(\beta-x)^q \mathrm{d}x=\frac{p!\;q!}{(p+q+1)!}(\beta-\alpha)^{(p+q+1)}}\\ &=&\frac{2!\;0!}{3!}(\beta-\alpha)^{3}\\ &=&\frac{2}{6}(\beta-\alpha)^{3}\\ &=&\frac{1}{3}(\beta-\alpha)^{3}\\ \end{eqnarray} $$ これは\((x-\alpha)^2\)の\(\alpha\)から\(\beta\)までの積分結果と同様になっている． $$ \begin{eqnarray} \int_\alpha^\beta (x-\alpha)^2 \mathrm{d}x &=&\left[\frac{1}{3}(x-\alpha)^3\right]_\alpha^\beta\\ &=&\left[\frac{1}{3}(\beta-\alpha)^3-\frac{1}{3}(\alpha-\alpha)^3\right]\\ &=&\left[\frac{1}{3}(\beta-\alpha)^3-0\right]\\ &=&\frac{1}{3}(\beta-\alpha)^3\\ \end{eqnarray} $$

第一種オイラー積分 / ベータ凾数

第一種オイラー積分 / ベータ凾数

\(p,q\geq0\)の整数の元で以下の式を第一種オイラー積分という． $$ \begin{eqnarray} \int_\alpha^\beta(x-\alpha)^p(\beta-x)^q \mathrm{d}x \end{eqnarray} $$ 部分積分を一回適用すると以下のように\(p+1\),\(q-1\)の第一種オイラー積分がでてくる． $$ \begin{eqnarray} \int_\alpha^\beta(x-\alpha)^p(\beta-x)^q \mathrm{d}x &=&\int_\alpha^\beta\left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{1}{p+1}(x-\alpha)^{(p+1)}\right\}\right](\beta-x)^q \mathrm{d}x \;\cdots\;\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{1}{p+1}(x-\alpha)^{(p+1)}\right\}=(x-\alpha)^p\\ &=&\left[\frac{1}{p+1}(x-\alpha)^{(p+1)}(\beta-x)^q \right]_\alpha^\beta -\int_\alpha^\beta\frac{1}{p+1}(x-\alpha)^{(p+1)}\left\{q(\beta-x)^{(q-1)}(-1)\right\} \mathrm{d}x \;\cdots\;\int f'g\;\mathrm{d}x= fg - \int fg' \mathrm{d}x\\ &=&0-\int_\alpha^\beta\frac{-q}{p+1}(x-\alpha)^{(p+1)}(\beta-x)^{(q-1)} \mathrm{d}x \;\cdots\;(\alpha-\alpha)=0, (\beta-\beta)=0\\ &=&\frac{q}{p+1}\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^{(p+1)}(\beta-x)^{(q-1)} \mathrm{d}x\\ \end{eqnarray} $$ 第一種オイラー積分の乗数\(p,q\)に着目し元の式を\(I_{p,q}\),部分積分によって出てきた積分を\(I_{p+1,q-1}\)と表すと以下の様になる． $$ \begin{eqnarray} I_{p,q}&=&\frac{q}{p+1}I_{p+1,q-1} \;\cdots\;I_{a,b}=\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^a(\beta-x)^b \mathrm{d}x\\ &=&\frac{q}{p+1}\frac{q-1}{p+2}I_{p+2,q-2}\\ &=&\frac{q}{p+1}\frac{q-1}{p+2}\cdots \frac{2}{p+(q-1)}\frac{1}{p+q}I_{p+q,0}\\ I_{p+q,0} &=&\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^{(p+q)}(\beta-x)^0 \mathrm{d}x\\ &=&\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^{(p+q)} \mathrm{d}x\\ &=&\left[\frac{1}{p+q+1}(x-\alpha)^{\left\{(p+q)+1\right\}}\right]_\alpha^\beta\\ &=&\frac{1}{p+q+1}(\beta-\alpha)^{(p+q+1)}\\ &=&\frac{(\beta-\alpha)^{(p+q+1)}}{p+q+1}\\ I_{p,q} &=&\frac{q}{p+1}\frac{q-1}{p+2}\cdots \frac{2}{p+q-1}\frac{1}{p+q}\frac{(\beta-\alpha)^{(p+q+1)}}{p+q+1}\\ &=&\frac{q(q-1)\cdots 2\;1}{(p+1)(p+2)\cdots (p+q-1)(p+q)(p+q+1)}(\beta-\alpha)^{(p+q+1)}\\ &=&\frac{q!}{\frac{(p+q+1)!}{p!}}(\beta-\alpha)^{(p+q+1)}\\ &=&\frac{p!\;q!}{(p+q+1)!}(\beta-\alpha)^{(p+q+1)}\\ \end{eqnarray} $$ 特に\(\alpha=0,\beta=1\)の時 $$ \begin{eqnarray} \int_\alpha^\beta(x-\alpha)^p(\beta-x)^q \mathrm{d}x &=&\int_0^1(x-0)^p(1-x)^q \mathrm{d}x\\ &=&\int_0^1x^p(1-x)^q \mathrm{d}x\\ &=&\frac{p!\;q!}{(p+q+1)!}(1-0)^{(p+q+1)} \;\cdots\;\href{}{\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^p(\beta-x)^q \mathrm{d}x=\frac{p!\;q!}{(p+q+1)!}(\beta-\alpha)^{(p+q+1)}}\\ &=&\frac{p!\;q!}{(p+q+1)!}\\ \end{eqnarray} $$ 特に\(\alpha=0,\beta=1,p=m-1,q=n-1\)の時 $$ \begin{eqnarray} \int_\alpha^\beta(x-\alpha)^p(\beta-x)^q \mathrm{d}x &=&\int_0^1x^{(m-1)}(1-x)^{(n-1)} \mathrm{d}x\\ &=&\frac{(m-1)!\;(n-1)!}{((m-1)+(n-1)+1)!} \;\cdots\;\href{}{\int_0^1x^p(1-x)^q \mathrm{d}x=\frac{p!\;q!}{(p+q+1)!}}\\ &=&\frac{(m-1)!\;(n-1)!}{(m+n-1)!}\\ &=&\frac{\Gamma(m)\;\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}\;\cdots\;\Gamma(a)=(a-1)!\\ &=&B(m,n)\;\cdots\;ベータ凾数\\ \end{eqnarray} $$ 逆を言えば上記積分の値を1にしたい時はベータ凾数で割れば(逆数を掛ければ)よい(確率密度凾数との関係性)． $$ \begin{eqnarray} \frac{1}{B(m,n)}\int_0^1x^{(m-1)}(1-x)^{(n-1)} \mathrm{d}x&=&1\\ f(x;m,n)&=&\frac{x^{(m-1)}(1-x)^{(n-1)}}{B(m,n)}\;\cdots\;ベータ分布\\ \end{eqnarray} $$