1/6, 1/12, 1/30 公式

\(\frac{1}{6}\)公式

\(\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2019/06/x.html}{x軸と二次凾数(x-\alpha)(x-\beta)で囲まれる面積(直線と二次凾数でも引き算すれば同様)}\)は 二次凾数の解(x軸との交点)を\(x=\alpha,\beta\)とした，\(p=1,q=1\)の第一種オイラー積分である．
(X軸の下側にできる面積は負値で表される) $$ \begin{eqnarray} \int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta) \mathrm{d}x &=&\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^1(-1\;(\beta-x))^1 \mathrm{d}x\\ &=&-\frac{1!\;1!}{(1+1+1)!}(\beta-\alpha)^{(1+1+1)} \;\cdots\;\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2020/05/blog-post_22.html}{\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^p(\beta-x)^q \mathrm{d}x=\frac{p!\;q!}{(p+q+1)!}(\beta-\alpha)^{(p+q+1)}}\\ &=&-\frac{1!\;1!}{3!}(\beta-\alpha)^{3}\\ &=&-\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^{3}\\ \end{eqnarray} $$ ( 積分として解いた記事 )

\(\frac{1}{12}\)公式

x軸とそれと接する三次凾数\((x-\alpha)(x-\beta)^2\)で囲まれる面積は三次凾数の解を\(x=\alpha,\beta\)(後者を重複側とする)とした， \(p=1,q=2\)の第一種オイラー積分である． $$ \begin{eqnarray} \int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)^2 \mathrm{d}x &=&\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^1(-1\;(\beta-x))^2 \mathrm{d}x\\ &=&\frac{1!\;2!}{(1+2+1)!}(\beta-\alpha)^{(1+2+1)} \;\cdots\;\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2020/05/blog-post_22.html}{\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^p(\beta-x)^q \mathrm{d}x=\frac{p!\;q!}{(p+q+1)!}(\beta-\alpha)^{(p+q+1)}}\\ &=&\frac{1!\;2!}{4!}(\beta-\alpha)^{4}\\ &=&\frac{2}{24}(\beta-\alpha)^{4}\\ &=&\frac{1}{12}(\beta-\alpha)^{4}\\ \end{eqnarray} $$

\(\frac{1}{30}\)公式

x軸とそれと接する四次凾数\((x-\alpha)^2(x-\beta)^2\)で囲まれる面積は四次凾数の解を\(x=\alpha,\beta\)(両方を重複とする)とした， \(p=2,q=2\)の第一種オイラー積分である． $$ \begin{eqnarray} \int_\alpha^\beta(x-\alpha)^2(x-\beta)^2 \mathrm{d}x &=&\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^2(-1\;(\beta-x))^2 \mathrm{d}x\\ &=&\frac{2!\;2!}{(2+2+1)!}(\beta-\alpha)^{(2+2+1)} \;\cdots\;\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2020/05/blog-post_22.html}{\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^p(\beta-x)^q \mathrm{d}x=\frac{p!\;q!}{(p+q+1)!}(\beta-\alpha)^{(p+q+1)}}\\ &=&\frac{2!\;2!}{5!}(\beta-\alpha)^{5}\\ &=&\frac{4}{120}(\beta-\alpha)^{5}\\ &=&\frac{1}{30}(\beta-\alpha)^{5}\\ \end{eqnarray} $$

\(\frac{1}{3}\)公式(?)

x軸と接する二次凾数\((x-\alpha)^2\)があり，それらと\(x=\beta\)で囲まれる面積は二次凾数の解を\(x=\alpha\)(重複)とした， \(p=2,q=0\)の第一種オイラー積分である． $$ \begin{eqnarray} \int_\alpha^\beta(x-\alpha)^2(x-\beta)^0 \mathrm{d}x &=&\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^2(-1\;(\beta-x))^0 \mathrm{d}x\\ &=&\frac{2!\;0!}{(2+0+1)!}(\beta-\alpha)^{(2+0+1)} \;\cdots\;\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2020/05/blog-post_22.html}{\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^p(\beta-x)^q \mathrm{d}x=\frac{p!\;q!}{(p+q+1)!}(\beta-\alpha)^{(p+q+1)}}\\ &=&\frac{2!\;0!}{3!}(\beta-\alpha)^{3}\\ &=&\frac{2}{6}(\beta-\alpha)^{3}\\ &=&\frac{1}{3}(\beta-\alpha)^{3}\\ \end{eqnarray} $$ これは\((x-\alpha)^2\)の\(\alpha\)から\(\beta\)までの積分結果と同様になっている． $$ \begin{eqnarray} \int_\alpha^\beta (x-\alpha)^2 \mathrm{d}x &=&\left[\frac{1}{3}(x-\alpha)^3\right]_\alpha^\beta\\ &=&\left[\frac{1}{3}(\beta-\alpha)^3-\frac{1}{3}(\alpha-\alpha)^3\right]\\ &=&\left[\frac{1}{3}(\beta-\alpha)^3-0\right]\\ &=&\frac{1}{3}(\beta-\alpha)^3\\ \end{eqnarray} $$