1/6, 1/12, 1/30 公式

$\frac{1}{6}$公式

$x\mathrm{軸}\mathrm{と}\mathrm{二}\mathrm{次}\mathrm{凾}\mathrm{数}(x-\alpha )(x-\beta )\mathrm{で}\mathrm{囲}\mathrm{ま}\mathrm{れ}\mathrm{る}\mathrm{面}\mathrm{積}(\mathrm{直}\mathrm{線}\mathrm{と}\mathrm{二}\mathrm{次}\mathrm{凾}\mathrm{数}\mathrm{で}\mathrm{も}\mathrm{引}\mathrm{き}\mathrm{算}\mathrm{す}\mathrm{れ}\mathrm{ば}\mathrm{同}\mathrm{様})$は 二次凾数の解(x軸との交点)を$x=\alpha ,\beta$とした，$p=1,q=1$の第一種オイラー積分である．
(X軸の下側にできる面積は負値で表される) $$\begin{array}{rcl}{\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(x-\beta )\mathrm{d}x& =& {\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha {)}^1(-1(\beta -x){)}^1\mathrm{d}x\\ & =& -\frac{1!1!}{(1+1+1)!}(\beta -\alpha {)}^{(1+1+1)}\cdots {\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha {)}^p(\beta -x{)}^q\mathrm{d}x=\frac{p!q!}{(p+q+1)!}(\beta -\alpha {)}^{(p+q+1)}\\ & =& -\frac{1!1!}{3!}(\beta -\alpha {)}^3\\ & =& -\frac{1}{6}(\beta -\alpha {)}^3\end{array}$$ ( 積分として解いた記事 )

$\frac{1}{12}$公式

x軸とそれと接する三次凾数$(x-\alpha )(x-\beta {)}^2$で囲まれる面積は三次凾数の解を$x=\alpha ,\beta$(後者を重複側とする)とした， $p=1,q=2$の第一種オイラー積分である． $$\begin{array}{rcl}{\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(x-\beta {)}^2\mathrm{d}x& =& {\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha {)}^1(-1(\beta -x){)}^2\mathrm{d}x\\ & =& \frac{1!2!}{(1+2+1)!}(\beta -\alpha {)}^{(1+2+1)}\cdots {\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha {)}^p(\beta -x{)}^q\mathrm{d}x=\frac{p!q!}{(p+q+1)!}(\beta -\alpha {)}^{(p+q+1)}\\ & =& \frac{1!2!}{4!}(\beta -\alpha {)}^4\\ & =& \frac{2}{24}(\beta -\alpha {)}^4\\ & =& \frac{1}{12}(\beta -\alpha {)}^4\end{array}$$

$\frac{1}{30}$公式

x軸とそれと接する四次凾数$(x-\alpha {)}^2(x-\beta {)}^2$で囲まれる面積は四次凾数の解を$x=\alpha ,\beta$(両方を重複とする)とした， $p=2,q=2$の第一種オイラー積分である． $$\begin{array}{rcl}{\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha {)}^2(x-\beta {)}^2\mathrm{d}x& =& {\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha {)}^2(-1(\beta -x){)}^2\mathrm{d}x\\ & =& \frac{2!2!}{(2+2+1)!}(\beta -\alpha {)}^{(2+2+1)}\cdots {\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha {)}^p(\beta -x{)}^q\mathrm{d}x=\frac{p!q!}{(p+q+1)!}(\beta -\alpha {)}^{(p+q+1)}\\ & =& \frac{2!2!}{5!}(\beta -\alpha {)}^5\\ & =& \frac{4}{120}(\beta -\alpha {)}^5\\ & =& \frac{1}{30}(\beta -\alpha {)}^5\end{array}$$

$\frac{1}{3}$公式(?)

x軸と接する二次凾数$(x-\alpha {)}^2$があり，それらと$x=\beta$で囲まれる面積は二次凾数の解を$x=\alpha$(重複)とした， $p=2,q=0$の第一種オイラー積分である． $$\begin{array}{rcl}{\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha {)}^2(x-\beta {)}^0\mathrm{d}x& =& {\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha {)}^2(-1(\beta -x){)}^0\mathrm{d}x\\ & =& \frac{2!0!}{(2+0+1)!}(\beta -\alpha {)}^{(2+0+1)}\cdots {\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha {)}^p(\beta -x{)}^q\mathrm{d}x=\frac{p!q!}{(p+q+1)!}(\beta -\alpha {)}^{(p+q+1)}\\ & =& \frac{2!0!}{3!}(\beta -\alpha {)}^3\\ & =& \frac{2}{6}(\beta -\alpha {)}^3\\ & =& \frac{1}{3}(\beta -\alpha {)}^3\end{array}$$ これは$(x-\alpha {)}^2$の$\alpha$から$\beta$までの積分結果と同様になっている． $$\begin{array}{rcl}{\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha {)}^2\mathrm{d}x& =& {[\frac{1}{3}(x-\alpha {)}^3]}_{\alpha }^{\beta }\\ & =& [\frac{1}{3}(\beta -\alpha {)}^3-\frac{1}{3}(\alpha -\alpha {)}^3]\\ & =& [\frac{1}{3}(\beta -\alpha {)}^3-0]\\ & =& \frac{1}{3}(\beta -\alpha {)}^3\end{array}$$