X軸と二次凾数で囲まれる面積

\(y=0\)(X軸)と\((x-\alpha)(x-\beta)=0\)(二次凾数)とで囲まれる領域の面積

\(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\,\,\,(\alpha \lt \beta)\)であり\(x^2\)の係数が正で，X軸の下側に面積ができる場合(下に凸)
$$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta) \mathrm{d}x &=& \displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta-\alpha+\alpha) \mathrm{d}x\\ &=& \displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)((x-\alpha)-(\beta-\alpha)) \mathrm{d}x\\ &=& \displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^2-(\beta-\alpha)(x-\alpha) \mathrm{d}x\\ &=& \displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^2\mathrm{d}x - \int_{\alpha}^{\beta}(\beta-\alpha)(x-\alpha) \mathrm{d}x\\ &=& \displaystyle \left[ \frac{(x-\alpha)^3}{3} \right]_\alpha^\beta - \left[ \frac{(\beta-\alpha)(x-\alpha)^2}{2} \right]_\alpha^\beta\\ &=& \displaystyle \left[ \frac{(\beta-\alpha)^3}{3} - 0 \right] - \left[ \frac{(\beta-\alpha)(\beta-\alpha)^2}{2} - 0 \right]\\ &=& \displaystyle \frac{(\beta-\alpha)^3}{3} - \frac{(\beta-\alpha)^3}{2}\\ &=& \displaystyle \frac{2(\beta-\alpha)^3 - 3(\beta-\alpha)^3}{6}\\ &=& \displaystyle \frac{-(\beta-\alpha)^3}{6}\\ \end{array}$$ これは第一種オイラー積分の一つの形であり，\(\frac{1}{6}\)公式と呼ばることがある式である．