単位円の半分に収まる(?)正方形の面積は有理数(一辺の長さは無理数(sin(arctan(2))=2/√5))
点\(C\)の位置
$$\begin{eqnarray} &&C(\overline{OF},\overline{CF}) \\&=&C(\cos{(\theta)},\sin{(\theta)}) \end{eqnarray}$$角\(\theta\)との関係
$$\begin{eqnarray} \frac{\overline{CF}}{\overline{OF}}&=&2\;\cdots\;正方形となるため \\&=&\frac{\sin{(\theta)}}{\cos{(\theta)}} \\&=&\tan{(\theta)} \\\tan^{-1}{(2)}&=&\theta \end{eqnarray}$$線分\(OF\)の長さ
$$\begin{eqnarray} \overline{OF}&=&\cos{\left(\tan^{-1}{\left(2\right)}\right)} \\&=&\frac{1}{\sqrt{\tan(\tan^{-1}{(2)})^2+1}} \\&&\;\cdots\;\cos{(\theta)}=\frac{1}{\sqrt{\tan^2{\left(\theta\right)}+1}} \\&=&\frac{1}{\sqrt{2^2+1}} \\&=&\frac{1}{\sqrt{5}} \end{eqnarray}$$線分\(CF\)の長さ
$$\begin{eqnarray} \overline{CF} \\&=&\sin{(\theta)} \\&=&2\cos{(\theta)} \\&=&2\frac{1}{\sqrt{5}} \\&=&\frac{2}{\sqrt{5}} \end{eqnarray}$$面積\(A_1\)
$$\begin{eqnarray} A_1&=&\overline{CF}^2 \\&=&\left(\frac{2}{\sqrt{5}} \right)^2 \\&=&\frac{2^2}{\left(\sqrt{5}\right)^2} \\&=&\frac{4}{5}\;(=0.8) \end{eqnarray}$$多角形の頂点座標から面積を求める (グリーンの定理を用いて面積分を周回積分にして求める)
グリーンの定理(Green's theorem)
閉曲線\(C\)で囲まれた領域\(D\)を考える場合，\(C^1\)級凾数\(P(x, y), Q(x, y)\)について以下が成り立つ。 $$ \begin{eqnarray} \iint_D \left(\frac{\partial Q(x, y)}{\partial x}-\frac{\partial P(x, y)}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y &=& \oint_C P(x, y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y \end{eqnarray} $$面積分を周回積分へ変形し，区間毎の積分に展開する
Dの面積Aは面積分で表すと
$$
\begin{eqnarray}
A&=&\iint_D 1\;\mathrm{d}x\mathrm{d}y
\end{eqnarray}
$$
であり，これをグリーンの定理の式で満たすために例えば
$$
\begin{eqnarray}
Q(x, y)&=&x
\\P(x, y)&=&0
\end{eqnarray}
$$
とおく(それぞれ一階微分可能で連続(\(C^1\)級凾数))．これは
$$
\begin{eqnarray}
\frac{\partial Q(x, y)}{\partial x}-\frac{\partial P(x, y)}{\partial y}&=&1-0
\\&=&1
\end{eqnarray}
$$
となり，グリーンの定理の面積分側の被積分凾数を表現できている．
この\(P,Q\)を用いて周回積分側の 被積分凾数を求めると以下のようになる．
$$
\begin{eqnarray}
A&=&\iint_D 1\;\mathrm{d}x\mathrm{d}y
\\&=&\iint_D \left(\frac{\partial Q(x, y)}{\partial x}-\frac{\partial P(x, y)}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y
\\&=&\oint_C P(x, y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y
\\&=&\oint_C 0\mathrm{d}x+x\mathrm{d}y
\\&=&\oint_C x\mathrm{d}y
\end{eqnarray}
$$
ここで周回積分を多角形として考える．多角形の各頂点の列を以下のように与えるとする．
$$
\begin{eqnarray}
(x_0, y_0), (x_1, y_1),(x_2, y_2), \cdots, (x_n, y_n)=(x_0, y_0)
\end{eqnarray}
$$
周回積分を多角形の区間ごとに分割し，区間毎の積分の和として以下のようになる．
$$
\begin{eqnarray}
A&=&\oint_C x\mathrm{d}y
\\&=&\sum_{k=1}^n \int^{(x_k, y_k)}_{(x_{k-1},y_{k-1})} x \mathrm{d}y
\end{eqnarray}
$$
多角形の頂点間線分(辺)に重なる直線の式を求める
多角形の各頂点において今の頂点\((x_k, y_k)\)とその前の頂点\((x_{k-1}, y_{k-1})\)とを通る直線の式は以下のように求められる． $$ \begin{eqnarray} y_-y_{k-1}&=&\frac{y_k-y_{k-1}}{x_k-x_{k-1}}\left(x-x_{k-1}\right) \;\cdots\;傾き\thetaの直線における原点を，点(p,q)へ移動した式と同じ．(y-q)=\theta(x-p) \\\frac{x_k-x_{k-1}}{y_k-y_{k-1}}\left(y-y_{k-1}\right)&=&x-x_{k-1} \\x-x_{k-1}&=&\frac{x_k-x_{k-1}}{y_k-y_{k-1}}\left(y-y_{k-1}\right) \\x&=&\frac{x_k-x_{k-1}}{y_k-y_{k-1}}\left(y-y_{k-1}\right)+x_{k-1} \\x&=&\frac{x_k-x_{k-1}}{y_k-y_{k-1}}y+\frac{x_k-x_{k-1}}{y_k-y_{k-1}}(-y_{k-1})+x_{k-1} \\&=&\frac{x_k-x_{k-1}}{y_k-y_{k-1}}y+\frac{\left(x_k-x_{k-1}\right)(-y_{k-1})+x_{k-1}\left(y_k-y_{k-1}\right)}{y_k-y_{k-1}} \\&=&\frac{x_k-x_{k-1}}{y_k-y_{k-1}}y+\frac{-x_ky_{k-1}\color{red}{+x_{k-1}y_{k-1}} \color{black}{+x_{k-1}y_k} \color{red}{-x_{k-1}y_{k-1}} }{y_k-y_{k-1}} \\&=&\frac{x_k-x_{k-1}}{y_k-y_{k-1}}y+\frac{-x_ky_{k-1}+x_{k-1}y_k}{y_k-y_{k-1}} \\&=&\frac{x_k-x_{k-1}}{y_k-y_{k-1}}y+\frac{x_{k-1}y_k-x_ky_{k-1}}{y_k-y_{k-1}} \end{eqnarray} $$区間毎の積分より面積を求める
区間毎の積分の和の式における被積分凾数に，先ほど求めた直線の式を代入する． $$ \begin{eqnarray} A&=&\sum_{k=1}^n \int^{(x_k, y_k)}_{(x_{k-1},y_{k-1})} x \mathrm{d}y \\&=&\sum_{k=1}^n \int^{y_k}_{y_{k-1}} \left( \frac{x_k - x_{k-1}}{y_k - y_{k-1}}y + \frac{x_{k-1}y_k - x_ky_{k-1}}{y_k - y_{k-1}} \right) \mathrm{d}y \;\cdots\;x=\frac{x_k-x_{k-1}}{y_k-y_{k-1}}y+\frac{x_{k-1}y_k-x_ky_{k-1}}{y_k-y_{k-1}} \\&=&\sum_{k=1}^n\left\{ \int^{y_k}_{y_{k-1}} \frac{x_k - x_{k-1}}{y_k - y_{k-1}}y \mathrm{d}y + \int^{y_k}_{y_{k-1}} \frac{x_{k-1}y_k - x_ky_{k-1}}{y_k - y_{k-1}} \mathrm{d}y \right\} \;\cdots\;\int_X(A(x)+B(x))\mathrm{d}x=\int_XA(x)\mathrm{d}x+\int_XB(x)\mathrm{d}x \\&=&\sum_{k=1}^n\left\{ \frac{x_k - x_{k-1}}{y_k - y_{k-1}}\int^{y_k}_{y_{k-1}} y \mathrm{d}y + \frac{x_{k-1}y_k - x_ky_{k-1}}{y_k - y_{k-1}} \int^{y_k}_{y_{k-1}} \mathrm{d}y \right\} \;\cdots\;\int_XcA(x)\mathrm{d}x=c\int_XA(x)\mathrm{d}x \\&=&\sum_{k=1}^n\left\{ \frac{x_k - x_{k-1}}{y_k - y_{k-1}}\left[\frac{1}{2}y^2\right]^{y_k}_{y_{k-1}} + \frac{x_{k-1}y_k - x_ky_{k-1}}{y_k - y_{k-1}} \left[y\right]^{y_k}_{y_{k-1}} \right\} \\&=&\sum_{k=1}^n\left\{ \frac{1}{2}\frac{x_k - x_{k-1}}{y_k - y_{k-1}}\left[y^2\right]^{y_k}_{y_{k-1}} + \frac{x_{k-1}y_k - x_ky_{k-1}}{y_k - y_{k-1}} \left[y\right]^{y_k}_{y_{k-1}} \right\} \\&=&\sum_{k=1}^n\left\{ \frac{1}{2}\frac{x_k - x_{k-1}}{y_k - y_{k-1}}\left(y_k^2-y_{k-1}^2\right) + \frac{x_{k-1}y_k - x_ky_{k-1}}{y_k - y_{k-1}} \left(y_k-y_{k-1}\right) \right\} \\&=&\sum_{k=1}^n\left\{ \frac{1}{2}\frac{x_k - x_{k-1}}{y_k - y_{k-1}}\left(y_k+y_{k-1}\right)\left(y_k-y_{k-1}\right) + \frac{x_{k-1}y_k - x_ky_{k-1}}{y_k - y_{k-1}} \left(y_k-y_{k-1}\right) \right\} \;\cdots\;A^2-B^2=(A+B)(A-B) \\&=&\sum_{k=1}^n\left\{ \frac{1}{2} (x_k - x_{k-1}) \left( y_k+y_{k-1} \right) + x_{k-1}y_k - x_ky_{k-1} \right\} \\&=&\sum_{k=1}^n\left\{ \frac{1}{2}\left( x_ky_k+x_ky_{k-1}-x_{k-1}y_k-x_{k-1}y_{k-1} \right) + x_{k-1}y_k - x_ky_{k-1} \right\} \\&=&\sum_{k=1}^n\left\{ \frac{1}{2} x_ky_k +\left(\frac{1}{2}-1\right)x_ky_{k-1} +\left(-\frac{1}{2}+1\right)x_{k-1}y_k -\frac{1}{2} x_{k-1}y_{k-1} \right\} \\&=&\sum_{k=1}^n\left\{ \frac{1}{2} x_ky_k -\frac{1}{2}x_ky_{k-1} +\frac{1}{2}x_{k-1}y_k -\frac{1}{2} x_{k-1}y_{k-1} \right\} \\&=&\sum_{k=1}^n\left\{ \frac{1}{2}\left( x_ky_k-x_ky_{k-1}+x_{k-1}y_k-x_{k-1}y_{k-1} \right) \right\} \\&=&\sum_{k=1}^n\left[ \frac{1}{2}\left\{ x_k\left(y_k-y_{k-1}\right)+x_{k-1}\left(y_k-y_{k-1}\right) \right\} \right] \\&=&\sum_{k=1}^n \frac{1}{2}\left(x_k+x_{k-1}\right)\left(y_k-y_{k-1}\right) \\&=&\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n \left(x_k+x_{k-1}\right)\left(y_k-y_{k-1}\right) \end{eqnarray} $$ 多角形の頂点座標から，その面積が求められた．例:正四角形
$$ \begin{eqnarray} (x_0, y_0), (x_1, y_1),(x_2, y_2), (x_3, y_3),(x_4=x_0, y_4=y_0)&=& (0, 0),(1, 0), (1, 1), (0, 1), (0,0) \end{eqnarray} $$ $$ \begin{eqnarray} A&=&\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n \left(x_k+x_{k-1}\right)\left(y_k-y_{k-1}\right) \\&=&\frac{1}{2}\left\{ \left(x_1+x_0\right)\left(y_1-y_0\right) +\left(x_2+x_1\right)\left(y_2-y_1\right) +\left(x_3+x_2\right)\left(y_3-y_2\right) +\left(x_4+x_3\right)\left(y_4-y_3\right) \right\} \\&=&\frac{1}{2}\left\{ \left(1+0\right)\left(0-0\right) +\left(1+1\right)\left(1-0\right) +\left(0+1\right)\left(1-1\right) +\left(0+0\right)\left(0-1\right) \right\} \\&=&\frac{1}{2}\left( 0+2+0+0 \right) \\&=&\frac{1}{2}2 \\&=&1 \end{eqnarray} $$例:二等辺三角形
$$ \begin{eqnarray} (x_0, y_0), (x_1, y_1),(x_2, y_2),(x_3=x_0, y_3=y_0)&=& (0, 0),(1, 0), (\frac{1}{2}, 1),(0, 0) \end{eqnarray} $$ $$ \begin{eqnarray} A&=&\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n \left(x_k+x_{k-1}\right)\left(y_k-y_{k-1}\right) \\&=&\frac{1}{2}\left\{ \left(x_1+x_0\right)\left(y_1-y_0\right) +\left(x_2+x_1\right)\left(y_2-y_1\right) +\left(x_3+x_2\right)\left(y_3-y_2\right) \right\} \\&=&\frac{1}{2}\left\{ \left(1+0\right)\left(0-0\right) +\left(\frac{1}{2}+1\right)\left(1-0\right) +\left(0+\frac{1}{2}\right)\left(0-1\right) \right\} \\&=&\frac{1}{2}\left( 0+\frac{3}{2}-\frac{1}{2} \right) \\&=&\frac{1}{2}1 \\&=&\frac{1}{2} \end{eqnarray} $$1/6, 1/12, 1/30 公式
\(\frac{1}{6}\)公式
\(\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2019/06/x.html}{x軸と二次凾数(x-\alpha)(x-\beta)で囲まれる面積(直線と二次凾数でも引き算すれば同様)}\)は 二次凾数の解(x軸との交点)を\(x=\alpha,\beta\)とした，\(p=1,q=1\)の第一種オイラー積分である．(X軸の下側にできる面積は負値で表される) $$ \begin{eqnarray} \int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta) \mathrm{d}x &=&\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^1(-1\;(\beta-x))^1 \mathrm{d}x\\ &=&-\frac{1!\;1!}{(1+1+1)!}(\beta-\alpha)^{(1+1+1)} \;\cdots\;\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2020/05/blog-post_22.html}{\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^p(\beta-x)^q \mathrm{d}x=\frac{p!\;q!}{(p+q+1)!}(\beta-\alpha)^{(p+q+1)}}\\ &=&-\frac{1!\;1!}{3!}(\beta-\alpha)^{3}\\ &=&-\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^{3}\\ \end{eqnarray} $$ ( 積分として解いた記事 )
\(\frac{1}{12}\)公式
x軸とそれと接する三次凾数\((x-\alpha)(x-\beta)^2\)で囲まれる面積は三次凾数の解を\(x=\alpha,\beta\)(後者を重複側とする)とした， \(p=1,q=2\)の第一種オイラー積分である． $$ \begin{eqnarray} \int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)^2 \mathrm{d}x &=&\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^1(-1\;(\beta-x))^2 \mathrm{d}x\\ &=&\frac{1!\;2!}{(1+2+1)!}(\beta-\alpha)^{(1+2+1)} \;\cdots\;\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2020/05/blog-post_22.html}{\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^p(\beta-x)^q \mathrm{d}x=\frac{p!\;q!}{(p+q+1)!}(\beta-\alpha)^{(p+q+1)}}\\ &=&\frac{1!\;2!}{4!}(\beta-\alpha)^{4}\\ &=&\frac{2}{24}(\beta-\alpha)^{4}\\ &=&\frac{1}{12}(\beta-\alpha)^{4}\\ \end{eqnarray} $$
\(\frac{1}{30}\)公式
x軸とそれと接する四次凾数\((x-\alpha)^2(x-\beta)^2\)で囲まれる面積は四次凾数の解を\(x=\alpha,\beta\)(両方を重複とする)とした， \(p=2,q=2\)の第一種オイラー積分である． $$ \begin{eqnarray} \int_\alpha^\beta(x-\alpha)^2(x-\beta)^2 \mathrm{d}x &=&\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^2(-1\;(\beta-x))^2 \mathrm{d}x\\ &=&\frac{2!\;2!}{(2+2+1)!}(\beta-\alpha)^{(2+2+1)} \;\cdots\;\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2020/05/blog-post_22.html}{\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^p(\beta-x)^q \mathrm{d}x=\frac{p!\;q!}{(p+q+1)!}(\beta-\alpha)^{(p+q+1)}}\\ &=&\frac{2!\;2!}{5!}(\beta-\alpha)^{5}\\ &=&\frac{4}{120}(\beta-\alpha)^{5}\\ &=&\frac{1}{30}(\beta-\alpha)^{5}\\ \end{eqnarray} $$
\(\frac{1}{3}\)公式(?)
x軸と接する二次凾数\((x-\alpha)^2\)があり，それらと\(x=\beta\)で囲まれる面積は二次凾数の解を\(x=\alpha\)(重複)とした， \(p=2,q=0\)の第一種オイラー積分である． $$ \begin{eqnarray} \int_\alpha^\beta(x-\alpha)^2(x-\beta)^0 \mathrm{d}x &=&\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^2(-1\;(\beta-x))^0 \mathrm{d}x\\ &=&\frac{2!\;0!}{(2+0+1)!}(\beta-\alpha)^{(2+0+1)} \;\cdots\;\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2020/05/blog-post_22.html}{\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^p(\beta-x)^q \mathrm{d}x=\frac{p!\;q!}{(p+q+1)!}(\beta-\alpha)^{(p+q+1)}}\\ &=&\frac{2!\;0!}{3!}(\beta-\alpha)^{3}\\ &=&\frac{2}{6}(\beta-\alpha)^{3}\\ &=&\frac{1}{3}(\beta-\alpha)^{3}\\ \end{eqnarray} $$ これは\((x-\alpha)^2\)の\(\alpha\)から\(\beta\)までの積分結果と同様になっている． $$ \begin{eqnarray} \int_\alpha^\beta (x-\alpha)^2 \mathrm{d}x &=&\left[\frac{1}{3}(x-\alpha)^3\right]_\alpha^\beta\\ &=&\left[\frac{1}{3}(\beta-\alpha)^3-\frac{1}{3}(\alpha-\alpha)^3\right]\\ &=&\left[\frac{1}{3}(\beta-\alpha)^3-0\right]\\ &=&\frac{1}{3}(\beta-\alpha)^3\\ \end{eqnarray} $$
X軸と二次凾数で囲まれる面積
\(y=0\)(X軸)と\((x-\alpha)(x-\beta)=0\)(二次凾数)とで囲まれる領域の面積
\(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\,\,\,(\alpha \lt \beta)\)であり\(x^2\)の係数が正で，X軸の下側に面積ができる場合(下に凸)$$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta) \mathrm{d}x &=& \displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta-\alpha+\alpha) \mathrm{d}x\\ &=& \displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)((x-\alpha)-(\beta-\alpha)) \mathrm{d}x\\ &=& \displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^2-(\beta-\alpha)(x-\alpha) \mathrm{d}x\\ &=& \displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^2\mathrm{d}x - \int_{\alpha}^{\beta}(\beta-\alpha)(x-\alpha) \mathrm{d}x\\ &=& \displaystyle \left[ \frac{(x-\alpha)^3}{3} \right]_\alpha^\beta - \left[ \frac{(\beta-\alpha)(x-\alpha)^2}{2} \right]_\alpha^\beta\\ &=& \displaystyle \left[ \frac{(\beta-\alpha)^3}{3} - 0 \right] - \left[ \frac{(\beta-\alpha)(\beta-\alpha)^2}{2} - 0 \right]\\ &=& \displaystyle \frac{(\beta-\alpha)^3}{3} - \frac{(\beta-\alpha)^3}{2}\\ &=& \displaystyle \frac{2(\beta-\alpha)^3 - 3(\beta-\alpha)^3}{6}\\ &=& \displaystyle \frac{-(\beta-\alpha)^3}{6}\\ \end{array}$$ これは第一種オイラー積分の一つの形であり，\(\frac{1}{6}\)公式と呼ばることがある式である．
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