逆行列
逆行列
逆行列について
$$\begin{eqnarray} \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{I} \end{eqnarray}$$ となる行列\(\boldsymbol{A}^{-1}\)を逆行列という．余因子行列と元の行列の積
$$\begin{eqnarray} \tilde{\boldsymbol{A}}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}\tilde{\boldsymbol{A}}=\left|\boldsymbol{A}\right|\boldsymbol{I} \;\ldots\;\tilde{\boldsymbol{A}}:行列\boldsymbol{A}の\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2021/05/blog-post_3.html}{余因子行列} \end{eqnarray}$$余因子行列を元に逆行列を求める
$$\begin{eqnarray} \tilde{\boldsymbol{A}}\boldsymbol{A}&=&\boldsymbol{A}\tilde{\boldsymbol{A}}&=&\left|\boldsymbol{A}\right|\boldsymbol{I} \\\frac{\tilde{\boldsymbol{A}}}{\left|\boldsymbol{A}\right|}\boldsymbol{A}&=& \boldsymbol{A}\frac{\tilde{\boldsymbol{A}}}{\left|\boldsymbol{A}\right|}&=&\boldsymbol{I} \\\boldsymbol{A}^{-1}&=&\frac{\tilde{\boldsymbol{A}}}{\left|\boldsymbol{A}\right|} \end{eqnarray}$$例 2x2行列の逆行列
$$\begin{eqnarray} \\\boldsymbol{A}_{2\times2}&=& \begin{bmatrix} a& b \\c & d \end{bmatrix} \\\tilde{\boldsymbol{A}}_{2\times2}&=&\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2021/05/blog-post_3.html}{ \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}} \\ \boldsymbol{A}_{2\times2}^{-1}&=& \frac{1}{\begin{vmatrix} a& b \\c & d \end{vmatrix}} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \\&=& \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \end{eqnarray}$$四元数の行列表現での逆元
四元数の行列表現での逆元
$$ \begin{eqnarray} \mathbf{q}=w+xi+yj+zk &\leftrightarrow& \href{https://shikitenkai.blogspot.com/2020/06/blog-post_99.html}{ \begin{bmatrix} w+xi&y+zi\\ -(y-zi)&w-xi\\ \end{bmatrix} } \end{eqnarray} $$ $$ \begin{eqnarray} |\mathbf{q}|^2=|w+xi+yj+zk|^2 &\leftrightarrow& \begin{vmatrix} w+xi&y+zi\\ -(y-zi)&w-xi\\ \end{vmatrix} \\&=&(w+xi)(w-xi)-(y+zi)(-(y-zi)) \\&=&(w+xi)(w-xi)+(y+zi)(y-zi) \\&=&w^2+x^2+y^2+z^2 \end{eqnarray} $$ $$ \begin{eqnarray} \bar{\mathbf{q}}=w-xi-yj-zk &\leftrightarrow& \begin{bmatrix} w+(-x)i&(-y)+(-z)i\\ -((-y)-(-z)i)&w-(-x)i\\ \end{bmatrix} \\&=& \begin{bmatrix} w-xi&-y-zi\\ -(-y+zi)&w+xi\\ \end{bmatrix} \end{eqnarray} $$ $$ \begin{eqnarray} \mathbf{q}\bar{\mathbf{q}} &=&(w+xi+yj+zk)(w-xi-yj-zk) \\&\leftrightarrow& \begin{bmatrix} w+xi&y+zi\\ -(y-zi)&w-xi\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} w-xi&-y-zi\\ -(-y+zi)&w+xi\\ \end{bmatrix} \\&=& \begin{bmatrix} (w+xi)(w-xi)+(y+zi)(-(-y+zi)) &(w+xi)(-y-zi)+(y+zi)(w+xi)\\ (-(y-zi))(w-xi)+(w-xi)(-(-y+zi)) &(-(y-zi))(-y-zi)+(w-xi)(w+xi)\\ \end{bmatrix} \\&=& \begin{bmatrix} (w+xi)(w-xi)+(y+zi)(y-zi) &(w+xi)(-y-zi)+(y+zi)(w+xi)\\ (-y+zi)(w-xi)+(w-xi)(y-zi) &(-y+zi)(-y-zi)+(w-xi)(w+xi)\\ \end{bmatrix} \\&=& \begin{bmatrix} w^2-wxi+wxi+x^2 +y^2-yzi+yzi+z^2 &-wy-wzi-xyi+xz +wy+xyi+wzi-xz\\ -wy+xyi+wzi+xz +wy-wzi-xyi-xz &y^2+yzi-yzi+z^2 +w^2+wxi-wxi+x^2\\ \end{bmatrix} \\&=& \begin{bmatrix} w^2+x^2+y^2+z^2 &0\\ 0 &w^2+x^2+y^2+z^2\\ \end{bmatrix} \end{eqnarray} $$ $$ \begin{eqnarray} \bar{\mathbf{q}}\mathbf{q} &=&(w-xi-yj-zk)(w+xi+yj+zk) \\&\leftrightarrow& \begin{bmatrix} w-xi&-y-zi\\ -(-y+zi)&w+xi\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} w+xi&y+zi\\ -(y-zi)&w-xi\\ \end{bmatrix} \\&=& \begin{bmatrix} (w-xi) (w+xi) +(-y-zi) (-(y-zi)) & (w-xi) (y+zi) +(-y-zi) (w-xi)\\ (-(-y+zi)) (w+xi) +(w+xi) (-(y-zi)) & (-(-y+zi)) (y+zi) +(w+xi) (w-xi)\\ \end{bmatrix} \\&=& \begin{bmatrix} (w-xi) (w+xi) +(-y-zi) (-y+zi) & (w-xi) (y+zi) +(-y-zi) (w-xi)\\ (y-zi) (w+xi) +(w+xi) (-y+zi) & (y-zi) (y+zi) +(w+xi) (w-xi)\\ \end{bmatrix} \\&=& \begin{bmatrix} w^2 +wxi -wxi +x^2 +y^2 +yzi -yzi +z^2 &wy +wzi -xyi +xz -wy +xyi -wzi -xz\\ wy +xyi -wzi +xz -wy +wzi -xyi -xz &y^2 +yzi -yzi +z^2 +w^2 -wxi +wxi +x^2\\ \end{bmatrix} \\&=& \begin{bmatrix} w^2+x^2+y^2+z^2 &0\\ 0 &w^2+x^2+y^2+z^2\\ \end{bmatrix} \;\cdots\;行列の積は一般に非可換だが，この形の行列では可換である \end{eqnarray} $$ $$ \begin{eqnarray} \frac{\mathbf{q}\bar{\mathbf{q}}}{|\mathbf{q}|^2} &=&\frac{\bar{\mathbf{q}}\mathbf{q}}{|\mathbf{q}|^2} =\mathbf{q}\frac{\bar{\mathbf{q}}}{|\mathbf{q}|^2} =\frac{\bar{\mathbf{q}}}{|\mathbf{q}|^2}\mathbf{q} =\frac{1}{|\mathbf{q}|^2}\mathbf{q}\bar{\mathbf{q}} =\frac{1}{|\mathbf{q}|^2}\bar{\mathbf{q}}\mathbf{q} \\&\leftrightarrow& \frac{1}{w^2+x^2+y^2+z^2} \begin{bmatrix} w^2+x^2+y^2+z^2 &0\\ 0 &w^2+x^2+y^2+z^2\\ \end{bmatrix} \\&=& \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1\\ \end{bmatrix} \\&=&\mathbf{E} \end{eqnarray} $$ $$ \begin{eqnarray} \mathbf{q}^{-1} &=&\frac{\bar{\mathbf{q}}}{|\mathbf{q}|^2} \\&\leftrightarrow& \frac{1}{w^2+x^2+y^2+z^2} \begin{bmatrix} w-xi&-y-zi\\ -(-y+zi)&w+xi\\ \end{bmatrix} \end{eqnarray} $$行列A(2x2)に対してA, A+E, A-Eのいずれかは逆行列を持つ証明
行列\(A(2x2)\)に対して\(A, A+E, A-E\)のいずれかは逆行列\(A^{-1}\)を持つ証明(Eは単位行列\(\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]\))
$$\begin{array}{rcl} A&=& \displaystyle \left[ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right]\\ A^{-1}&=& \href{https://shikitenkai.blogspot.com/2021/05/blog-post_96.html}{\displaystyle \frac{1}{ |A| } \displaystyle \left[ \begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \\ \end{array} \right]}\\ A+E &=& \displaystyle \left[ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right]\\ &=& \displaystyle \left[ \begin{array}{cc} a+1 & b \\ c & d+1 \\ \end{array} \right]\\ (A+E)^{-1}&=& \displaystyle \frac{1}{ |A+E| } \displaystyle \left[ \begin{array}{cc} d+1 & -b \\ -c & a+1 \\ \end{array} \right]\\ A-E &=& \displaystyle \left[ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right]\\ &=& \displaystyle \left[ \begin{array}{cc} a-1 & b \\ c & d-1 \\ \end{array} \right]\\ (A+E)^{-1}&=& \displaystyle \frac{1}{ |A-E| } \displaystyle \left[ \begin{array}{cc} d-1 & -b \\ -c & a-1 \\ \end{array} \right]\\ \end{array}$$ \(A, A+E, A-E\)の全てが逆行列を持たないとすると \(|A|, |A+E|, |A-E|\)の全てが同時にゼロ\(0\)になるのでこれを仮定として始める． $$\begin{align} |A|&=&ad-bc&=&0 \tag{1}\label{a1}\\ |A+E|&=&(a+1)(d+1)-bc&=&ad-bc+a+d+1=0 \tag{2}\label{a2}\\ |A-E|&=&(a-1)(d-1)-bc&=&ad-bc-a-d+1=0 \tag{3}\label{a3}\\ \end{align}$$ \(\eqref{a1}\)を\(\eqref{a2}\)に代入すると\(a+d=-1\)． $$\begin{align} ad-bc+a+d+1&=&0 \\ 0+a+d+1&=&0\\ a+d&=&-1\tag{4}\label{a4}\\ \end{align}$$ \(\eqref{a1}\)を\(\eqref{a3}\)に代入すると\(a+d=1\)． $$\begin{align} ad-bc-a-d+1&=&0 \\ 0-a-d+1&=&0\\ -a-d&=&-1\\ a+d&=&1\tag{5}\label{a5}\\ \end{align}$$ \(a+d=-1\eqref{a4}\)と\(a+d=1\eqref{a5}\)で矛盾するので， \(|A|, |A+E|, |A-E|\)の全てが同時にゼロ\(0\)になるという前提が間違いということになり， \(|A|, |A+E|, |A-E|\)のいずれかはゼロ\(0\)でない．よって\(A, A+E, A-E\)のいずれかは逆行列を持つ．
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