式展開

間違いしかありません．コメントにてご指摘いただければ幸いです(気が付いた点を特に断りなく頻繁に書き直していますのでご注意ください)．

四元数の行列表現での逆元

四元数の行列表現での逆元

q=w+xi+yj+zk↔[w+xiy+zi−(y−zi)w−xi] |q|2=|w+xi+yj+zk|2↔|w+xiy+zi−(y−zi)w−xi|=(w+xi)(w−xi)−(y+zi)(−(y−zi))=(w+xi)(w−xi)+(y+zi)(y−zi)=w2+x2+y2+z2 q¯=w−xi−yj−zk↔[w+(−x)i(−y)+(−z)i−((−y)−(−z)i)w−(−x)i]=[w−xi−y−zi−(−y+zi)w+xi] qq¯=(w+xi+yj+zk)(w−xi−yj−zk)↔[w+xiy+zi−(y−zi)w−xi][w−xi−y−zi−(−y+zi)w+xi]=[(w+xi)(w−xi)+(y+zi)(−(−y+zi))(w+xi)(−y−zi)+(y+zi)(w+xi)(−(y−zi))(w−xi)+(w−xi)(−(−y+zi))(−(y−zi))(−y−zi)+(w−xi)(w+xi)]=[(w+xi)(w−xi)+(y+zi)(y−zi)(w+xi)(−y−zi)+(y+zi)(w+xi)(−y+zi)(w−xi)+(w−xi)(y−zi)(−y+zi)(−y−zi)+(w−xi)(w+xi)]=[w2−wxi+wxi+x2+y2−yzi+yzi+z2−wy−wzi−xyi+xz+wy+xyi+wzi−xz−wy+xyi+wzi+xz+wy−wzi−xyi−xzy2+yzi−yzi+z2+w2+wxi−wxi+x2]=[w2+x2+y2+z200w2+x2+y2+z2] q¯q=(w−xi−yj−zk)(w+xi+yj+zk)↔[w−xi−y−zi−(−y+zi)w+xi][w+xiy+zi−(y−zi)w−xi]=[(w−xi)(w+xi)+(−y−zi)(−(y−zi))(w−xi)(y+zi)+(−y−zi)(w−xi)(−(−y+zi))(w+xi)+(w+xi)(−(y−zi))(−(−y+zi))(y+zi)+(w+xi)(w−xi)]=[(w−xi)(w+xi)+(−y−zi)(−y+zi)(w−xi)(y+zi)+(−y−zi)(w−xi)(y−zi)(w+xi)+(w+xi)(−y+zi)(y−zi)(y+zi)+(w+xi)(w−xi)]=[w2+wxi−wxi+x2+y2+yzi−yzi+z2wy+wzi−xyi+xz−wy+xyi−wzi−xzwy+xyi−wzi+xz−wy+wzi−xyi−xzy2+yzi−yzi+z2+w2−wxi+wxi+x2]=[w2+x2+y2+z200w2+x2+y2+z2]⋯行列の積は一般に非可換だが，この形の行列では可換である qq¯|q|2=q¯q|q|2=qq¯|q|2=q¯|q|2q=1|q|2qq¯=1|q|2q¯q↔1w2+x2+y2+z2[w2+x2+y2+z200w2+x2+y2+z2]=[1001]=E q−1=q¯|q|2↔1w2+x2+y2+z2[w−xi−y−zi−(−y+zi)w+xi]
時刻:
ラベル: , ,

0 件のコメント:

コメントを投稿

登録: コメントの投稿 (Atom)