四元数の行列表現での積

四元数の行列表現での積

$$ \begin{eqnarray} w+xi+yj+zk &\leftrightarrow& \href{https://shikitenkai.blogspot.com/2020/06/blog-post_99.html}{ \begin{bmatrix} w+xi&y+zi\\ -(y-zi)&w-xi\\ \end{bmatrix} } \\ \\ (w_1+x_1i+y_1j+z_1k)(w_2+x_2i+y_2j+z_2k) &\leftrightarrow& \begin{bmatrix} w_1+x_1i&y_1+z_1i\\ -(y_1-z_1i)&w_1-x_1i\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} w_2+x_2i&y_2+z_2i\\ -(y_2-z_2i)&w_2-x_2i\\ \end{bmatrix} \\&=& \begin{bmatrix} (w_1+x_1i)(w_2+x_2i)+(y_1+z_1i)(-(y_2-z_2i)) & (w_1+x_1i)(y_2+z_2i)+(y_1+z_1i)(w_2-x_2i) \\(-(y_1-z_1i))(w_2+x_2i)+(w_1-x_1i)(-(y_2-z_2i)) & (-(y_1-z_1i))(y_2+z_2i)+(w_1-x_1i)(w_2-x_2i)\\ \end{bmatrix} \\&=& \begin{bmatrix} w_1w_2 +w_1x_2i +x_1iw_2 +x_1ix_2i +y_1(-y_2) +y_1z_2i +z_1i(-y_2) +z_1iz_2i & w_1y_2 +w_1z_2i +x_1iy_2 +x_1iz_2i +y_1w_2 +y_1(-x_2i) +z_1iw_2 +z_1i(-x_2i) \\(-y_1)w_2 +(-y_1)x_2i +z_1iw_2 +z_1ix_2i +w_1(-y_2) +w_1z_2i +(-x_1i)(-y_2) +(-x_1i)z_2i & (-y_1)y_2 +(-y_1)z_2i +z_1iy_2 +z_1iz_2i +w_1w_2 +w_1(-x_2i) +(-x_1i)w_2 +(-x_1i)(-x_2i) \end{bmatrix} \\&=& \begin{bmatrix} ( w_1w_2 -x_1x_2 -y_1y_2 -z_1z_2) +( w_1x_2 +w_2x_1 +y_1z_2 -z_1y_2)i & ( w_1y_2 +w_2y_1 +z_1x_2 -x_1z_2) +( w_1z_2 +w_2z_1 +x_1y_2 -y_1x_2)i \\-((w_1y_2 +w_2y_1 +z_1x_2 -x_1z_2) -(w_1z_2 +w_2z_1 +x_1y_2 -y_1x_2)i) & ( w_1w_2 -x_1x_2 -y_1y_2 -z_1z_2) -( w_1x_2 +w_2x_1 +y_1z_2 -z_1y_2)i \end{bmatrix} \\&\leftrightarrow& ( w_1w_2 -x_1x_2 -y_1y_2 -z_1z_2) \\&&+( w_1x_2 +w_2x_1 +y_1z_2 -z_1y_2)i \\&&+( w_1y_2 +w_2y_1 +z_1x_2 -x_1z_2)j \\&&+( w_1z_2 +w_2z_1 +x_1y_2 -y_1x_2)k \end{eqnarray} $$ $$ \begin{eqnarray} (w_2+x_2i+y_2j+z_2k)(w_1+x_1i+y_1j+z_1k) &\leftrightarrow& \begin{bmatrix} w_2+x_2i&y_2+z_2i\\ -(y_2-z_2i)&w_2-x_2i\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} w_1+x_1i&y_1+z_1i\\ -(y_1-z_1i)&w_1-x_1i\\ \end{bmatrix} \\&=& \begin{bmatrix} (w_2+x_2i)(w_1+x_1i)+(y_2+z_2i)(-(y_1-z_1i)) & (w_2+x_2i)(y_1+z_1i)+(y_2+z_2i)(w_1-x_1i) \\(-(y_2-z_2i))(w_1+x_1i)+(w_2-x_2i)(-(y_1-z_1i)) & (-(y_2-z_2i))(y_1+z_1i)+(w_2-x_2i)(w_1-x_1i)\\ \end{bmatrix} \\&=& \begin{bmatrix} w_2w_1 +w_1x_2i +x_1iw_2 +x_1ix_2i +y_2(-y_1) +y_2z_1i +z_2i(-y_1) +z_2iz_1i & w_2y_1 +w_2z_1i +x_2iy_1 +x_2iz_1i +y_2w_1 +y_2(-x_1i) +z_2iw_1 +z_2i(-x_1i) \\(-y_2)w_1 +(-y_2)x_1i +z_2iw_1 +z_2ix_1i +w_2(-y_1) +w_2z_1i +(-x_2i)(-y_1) +(-x_2i)z_1i & (-y_2)y_1 +(-y_2)z_1i +z_2iy_1 +z_2iz_1i +w_2w_1 +w_2(-x_1i) +(-x_2i)w_1 +(-x_2i)(-x_1i) \end{bmatrix} \\&=& \begin{bmatrix} ( w_1w_2 -x_1x_2 -y_1y_2 -z_1z_2) +( w_1x_2 +w_2x_1 +y_1z_2 -z_1y_2)i & ( w_1y_2 +w_2y_1 +z_1x_2 -x_1z_2) +( w_1z_2 +w_2z_1 +x_1y_2 -y_1x_2)i \\-((w_1y_2 +w_2y_1 +z_1x_2 -x_1z_2) -(w_1z_2 +w_2z_1 +x_1y_2 -y_1x_2)i) & ( w_1w_2 -x_1x_2 -y_1y_2 -z_1z_2) -( w_1x_2 +w_2x_1 +y_1z_2 -z_1y_2)i \end{bmatrix} \\&&\;\cdots\;行列の積は一般に非可換だが，この形の行列では可換である \\&\leftrightarrow& ( w_1w_2 -x_1x_2 -y_1y_2 -z_1z_2) \\&&+( w_1x_2 +w_2x_1 +y_1z_2 -z_1y_2)i \\&&+( w_1y_2 +w_2y_1 +z_1x_2 -x_1z_2)j \\&&+( w_1z_2 +w_2z_1 +x_1y_2 -y_1x_2)k \end{eqnarray} $$
四元数の積としては以下のようにまとまる． $$ \begin{eqnarray} w&=&( w_1w_2 -x_1x_2 -y_1y_2 -z_1z_2) \\x&=&( w_1x_2 +w_2x_1 +y_1z_2 -z_1y_2) \\y&=&( w_1y_2 +w_2y_1 +z_1x_2 -x_1z_2) \\z&=&( w_1z_2 +w_2z_1 +x_1y_2 -y_1x_2) \end{eqnarray} $$ これは以前の計算結果と一致する．