四元数(quaternion)
$$
\begin{eqnarray}
\mathbf{q}&=&w+x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}
\\&=&\left(w,\;\mathbf{V}\right)
\;\cdots\;\left(実部,\mathbf{i}\mathbf{j}\mathbf{k} 部\right),\;\mathbf{V}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}
\\-\mathbf{q}&=&-\left(w+x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}\right)
\\&=&-w-x\mathbf{i}-y\mathbf{j}-z\mathbf{k}
\\&=&\left(-w,\;-\mathbf{V}\right)
\\\overline{\mathbf{q}}&=&w-x\mathbf{i}-y\mathbf{j}-z\mathbf{k}
\\&=&\left(w,\;-\mathbf{V}\right)
\end{eqnarray}
$$
\(\mathbf{q}_1\mathbf{q}_2\)
$$
\begin{eqnarray}
\mathbf{q}_1&=&w_1+x_1\mathbf{i}+y_1\mathbf{j}+z_1\mathbf{k}
\\&=&(w_1,\;\mathbf{V}_1)
\\\mathbf{q}_2&=&w_2+x_2\mathbf{i}+y_2\mathbf{j}+z_2\mathbf{k}
\\&=&(w_2,\;\mathbf{V}_2)
\\\mathbf{q}_1\mathbf{q}_2&=&\left(w_1,\mathbf{V_1}\right)\left(w_2,\mathbf{V_2}\right)
\\&=&(w_1+x_1\mathbf{i}+y_1\mathbf{j}+z_1\mathbf{k})(w_2+x_2\mathbf{i}+y_2\mathbf{j}+z_2\mathbf{k})
\\&=&w_1w_2+w_1x_2\mathbf{i}+w_1y_2\mathbf{j}+w_1z_2\mathbf{k}
\\&&+x_1\mathbf{i}w_2+x_1\mathbf{i}x_2\mathbf{i}+x_1\mathbf{i}y_2\mathbf{j}+x_1\mathbf{i}z_2\mathbf{k}
\\&&+y_1\mathbf{j}w_2+y_1\mathbf{j}x_2\mathbf{i}+y_1\mathbf{j}y_2\mathbf{j}+y_1\mathbf{j}z_2\mathbf{k}
\\&&+z_1\mathbf{k}w_2+z_1\mathbf{k}x_2\mathbf{i}+z_1\mathbf{k}y_2\mathbf{j}+z_1\mathbf{k}z_2\mathbf{k}
\\&=&w_1w_2+w_1x_2\mathbf{i}+w_1y_2\mathbf{j}+w_1z_2\mathbf{k}
\\&&+x_1w_2\mathbf{i}+x_1x_2\mathbf{i}^2+x_1y_2\mathbf{i}\mathbf{j}+x_1z_2\mathbf{i}\mathbf{k}
\\&&+y_1w_2\mathbf{j}+y_1x_2\mathbf{j}\mathbf{i}+y_1y_2\mathbf{j}^2+y_1z_2\mathbf{j}\mathbf{k}
\\&&+z_1w_2\mathbf{k}+z_1x_2\mathbf{k}\mathbf{i}+z_1y_2\mathbf{k}\mathbf{j}+z_1z_2\mathbf{k}^2
\\&=&w_1w_2+w_1x_2\mathbf{i}+w_1y_2\mathbf{j}+w_1z_2\mathbf{k}
\\&&+x_1w_2\mathbf{i}+x_1x_2(-1)+x_1y_2(\mathbf{k})+x_1z_2(\mathbf{-j})
\\&&+y_1w_2\mathbf{j}+y_1x_2(-\mathbf{k})+y_1y_2(-1)+y_1z_2(\mathbf{i})
\\&&+z_1w_2\mathbf{k}+z_1x_2(\mathbf{j})+z_1y_2(-\mathbf{i})+z_1z_2(-1)
\\&&\;\cdots\;\mathbf{i}^2=\mathbf{j}^2=\mathbf{k}^2=-1
,\;\mathbf{i}\mathbf{j}=-\mathbf{j}\mathbf{i}=\mathbf{k}
,\;\mathbf{k}\mathbf{i}=-\mathbf{i}\mathbf{k}=\mathbf{j}
,\;\mathbf{j}\mathbf{k}=-\mathbf{k}\mathbf{j}=\mathbf{i}
\\&=&(w_1w_2-x_1x_2-y_1y_2-z_1z_2)
\\&&+(w_1x_2+x_1w_2+y_1z_2-z_1y_2)\mathbf{i}
\\&&+(w_1y_2-x_1z_2+y_1w_2+z_1x_2)\mathbf{j}
\\&&+(w_1z_2+x_1y_2-y_1x_2+z_1w_2)\mathbf{k}
\\&=&(w_1w_2-x_1x_2-y_1y_2-z_1z_2)
\\&&+(w_1x_2+x_1w_2+y_1z_2-z_1y_2)\mathbf{i}
\\&&+(w_1y_2+y_1w_2-x_1z_2+z_1x_2)\mathbf{j}
\\&&+(w_1z_2+z_1w_2+x_1y_2-y_1x_2)\mathbf{k}
\\&=&\left(w_1w_2-\mathbf{V}_1\cdot\mathbf{V}_2,\;w_1\mathbf{V}_2+w_2\mathbf{V}_1+\mathbf{V}_1\times\mathbf{V}_2\right)
\end{eqnarray}
$$
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