四元数の逆元

\(\mathbf{q}\overline{\mathbf{q}}\), \(\mathbf{q}^{-1}\)

$$ \begin{eqnarray} \mathbf{q}\overline{\mathbf{q}}&=&\left(w,\;\mathbf{V}\right)\left(w,\;-\mathbf{V}\right) \\&&\;\cdots\;\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2020/05/quaternion.html}{\overline{\mathbf{q}}=w-x\mathbf{i}-y\mathbf{j}-z\mathbf{k}=\left(w,\;-\mathbf{V}\right),\;\left(実部,\mathbf{i}\mathbf{j}\mathbf{k} 部\right),\;\mathbf{V}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}} \\&=&\left( ww-\mathbf{V}\cdot\left(-\mathbf{V}\right) ,\; w\left(-\mathbf{V}\right)+w\mathbf{V}+\mathbf{V}\times\left(-\mathbf{V}\right) \right) \\&&\;\cdots\;\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2020/05/quaternion.html}{\mathbf{q}_1\mathbf{q}_2=(w_1,\mathbf{V}_1)(w_2,\mathbf{V}_2)=\left(w_1w_2-\mathbf{V}_1\cdot\mathbf{V}_2,\;w_1\mathbf{V}_2+w_2\mathbf{V}_1+\mathbf{V}_1\times\mathbf{V}_2\right)} \\&=&\left( w^2+|\mathbf{V}|^2 ,\; 0 \right) \;\cdots\;\mathbf{A}\cdot\mathbf{A}=\left|\mathbf{A}\right|^2,\mathbf{A}\times\mathbf{A}=0 \end{eqnarray} $$ $$ \begin{eqnarray} |\mathbf{q}|^2=\mathbf{q}\overline{\mathbf{q}}=\overline{\mathbf{q}}\mathbf{q}=w^2+|\mathbf{V}|^2 \end{eqnarray} $$ $$ \begin{eqnarray} \\\frac{\mathbf{q}\overline{\mathbf{q}}}{|\mathbf{q}|^2} &=&\mathbf{q}\frac{\overline{\mathbf{q}}}{|\mathbf{q}|^2} &=&\frac{\overline{\mathbf{q}}\mathbf{q}}{|\mathbf{q}|^2} &=&\frac{\overline{\mathbf{q}}}{|\mathbf{q}|^2}\mathbf{q}=1 \end{eqnarray} $$ $$ \begin{eqnarray} \\\mathbf{q}^{-1}&=&\frac{\overline{\mathbf{q}}}{|\mathbf{q}|^2} \;\cdots\;\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}=\mathbf{E}(単位元)となる\mathbf{B}を\mathbf{A}^{-1}(逆元)とする \end{eqnarray} $$

\(\mathbf{q}\mathbf{q}^{-1}\)

$$ \begin{eqnarray} \mathbf{q}\mathbf{q}^{-1} &=&\mathbf{q}\frac{\overline{\mathbf{q}}}{|\mathbf{q}|^2} =\frac{1}{|\mathbf{q}|^2}\mathbf{q}\overline{\mathbf{q}} \\&=&\frac{1}{w^2+|\mathbf{V}|^2}\left(w,\;\mathbf{V}\right)\left(w,-\mathbf{V}\right) \\&=&\frac{1}{w^2+|\mathbf{V}|^2}\left( w^2+|\mathbf{V}|^2 ,\; w\left(-\mathbf{V}\right)+w\mathbf{V}+\mathbf{V}\times\mathbf{V} \right) \\&=&\frac{1}{w^2+|\mathbf{V}|^2}\left( w^2+|\mathbf{V}|^2 ,\; 0 \right) \\&=&\left( \frac{w^2+|\mathbf{V}|^2}{w^2+|\mathbf{V}|^2} ,\; \frac{w^2+|\mathbf{V}|^2}{w^2+|\mathbf{V}|^2} \right) \\&=&\left(1,\;0\right)(単位元) \end{eqnarray} $$