位置ベクトルを任意の回転軸周りで回転させる計算

点\(P\)の位置ベクトル\(\mathbf{V_p}\)を任意の回転軸(単位ベクトル\(\mathbf{V}\))周りで\(\theta\)だけ回転させる変換

$$ \begin{eqnarray} 原点&&O \\ \overrightarrow{OP}&:&点Pの位置ベクトル\mathbf{V}_p \\ 回転軸&:&\mathbf{V}\left(単位ベクトル\left|\mathbf{V}\right|=1\right) \\ 回転量&:&\theta \\ \overrightarrow{OP'}&:&点Pを\mathbf{V}周りに\thetaだけ回転後の点P'の位置ベクトル \\ O'&:&点Pを\mathbf{V}周りに回した時にできる面(点P'もこの面に乗る)と\mathbf{V}の延長線の交点 \\&&(点Pから\mathbf{V}の延長線に垂線を下ろした時の交点) \end{eqnarray} $$ $$ \begin{eqnarray} \overrightarrow{OO'}&=& \left(\mathbf{V}\cdot\mathbf{V}_p\right)\mathbf{V} \;\cdots\;\left(\left|\mathbf{V}\right|\left|\mathbf{V}_p\right|\cos{\left(\phi\right)}\right)\mathbf{V} =\left(\left|\mathbf{V}_p\right|\cos{\left(\phi\right)}\right)\mathbf{V}\\ &&\;\phiは\mathbf{V}と\mathbf{V}_p(=\overrightarrow{OP})のなす角．また\overrightarrow{OO'}と\overrightarrow{O'P}は直角である． \\ \overrightarrow{O'P}&=&\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OO'}\;\cdots\;\left(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OO'}+\overrightarrow{O'P}\right) \\ \left(\left|\overrightarrow{O'P'}\right|\cos\left(\theta\right)\right)\frac{\overrightarrow{O'P}}{\left|\overrightarrow{O'P}\right|} &=&\cos\left(\theta\right)\overrightarrow{O'P} \;\cdots\;\overrightarrow{O'P'}の\overrightarrow{O'P}方向成分 \\&=&\cos\left(\theta\right)\left(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OO'}\right) \\&=&\cos\left(\theta\right)\left(\mathbf{V}_p-\left(\mathbf{V}\cdot\mathbf{V}_p\right)\mathbf{V}\right) \\ \mathbf{V}\times\mathbf{V}_p&:&\mathbf{V}と\mathbf{V}_pに直角の向きであり，外積のイメージではOから伸びるわけだが\\ &&ベクトルなので平行移動しても同じであるのでO'に移動させて考える．\overrightarrow{O'P}とも直角． \\&&大きさは\left|\mathbf{V}\right|\left|\mathbf{V}_p\right|\sin\left(\phi\right) =\left|\mathbf{V}_p\right|\sin\left(\phi\right) =\left|\overrightarrow{O'P}\right| =\left|\overrightarrow{O'P'}\right|となる， \\ \left(\left|\overrightarrow{O'P'}\right|\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right)\frac{\mathbf{V}\times\mathbf{V}_p}{\left|\mathbf{V}\times\mathbf{V}_p\right|} &=&\left(\left|\overrightarrow{O'P'}\right|\sin\left(\theta\right)\right)\frac{\mathbf{V}\times\mathbf{V}_p}{\left|\overrightarrow{O'P'}\right|} \;\cdots\;\overrightarrow{O'P'}の\mathbf{V}\times\mathbf{V}_p方向成分\\ \\&&\;\cdots\;\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) =\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\cos\left(\theta\right)-\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\sin\left(\theta\right) =0\cos\left(\theta\right)-1\sin\left(\theta\right) =\sin\left(\theta\right) \\&=&\sin\left(\theta\right)\mathbf{V}\times\mathbf{V}_p \\\overrightarrow{OP'}&=&\overrightarrow{OO'}+\overrightarrow{O'P'}\\ &=&\overrightarrow{OO'}+\cos\left(\theta\right)\overrightarrow{O'P}+\sin\left(\theta\right)\mathbf{V}\times\mathbf{V}_p\\ &=&\left(\mathbf{V}\cdot\mathbf{V}_p\right)\mathbf{V} +\cos\left(\theta\right)\left(\mathbf{V}_p-(\mathbf{V}\cdot\mathbf{V}_p)\mathbf{V}\right) +\sin\left(\theta\right)\mathbf{V}\times\mathbf{V}_p\\ \end{eqnarray} $$ これは四元数において，元と逆元を左右から作用させる際の特殊な形と同様の計算となる．