式展開: 位置ベクトルを任意の回転軸周りで回転させる計算

位置ベクトルを任意の回転軸周りで回転させる計算

点 $P$ の位置ベクトル $V_{p}$ を任意の回転軸(単位ベクトル $V$ )周りで $θ$ だけ回転させる変換

\begin{array}{rcl} 原 点 & O \\ \vec{O P} & : & 点 P の 位 置 ベ ク ト ル V_{p} \\ 回 転 軸 & : & V (単 位 ベ ク ト ル | V | = 1) \\ 回 転 量 & : & θ \\ \vec{O P^{'}} & : & 点 P を V 周 り に θ だ け 回 転 後 の 点 P^{'} の 位 置 ベ ク ト ル \\ O^{'} & : & 点 P を V 周 り に 回 し た 時 に で き る 面 (点 P^{'} も こ の 面 に 乗 る) と V の 延 長 線 の 交 点 \\ (点 P か ら V の 延 長 線 に 垂 線 を 下 ろ し た 時 の 交 点) \end{array}

\begin{array}{rcl} \vec{O O^{'}} & = & (V \cdot V_{p}) V \dots (| V | | V_{p} | \cos (ϕ)) V = (| V_{p} | \cos (ϕ)) V \\ ϕ は V と V_{p} (= \vec{O P}) の な す 角 ． ま た \vec{O O^{'}} と \vec{O^{'} P} は 直 角 で あ る ． \\ \vec{O^{'} P} & = & \vec{O P} - \vec{O O^{'}} \dots (\vec{O P} = \vec{O O^{'}} + \vec{O^{'} P}) \\ (| \vec{O^{'} P^{'}} | \cos (θ)) \frac{\vec{O^{'} P}}{| \vec{O^{'} P} |} & = & \cos (θ) \vec{O^{'} P} \dots \vec{O^{'} P^{'}} の \vec{O^{'} P} 方 向 成 分 \\ = & \cos (θ) (\vec{O P} - \vec{O O^{'}}) \\ = & \cos (θ) (V_{p} - (V \cdot V_{p}) V) \\ V \times V_{p} & : & V と V_{p} に 直 角 の 向 き で あ り ， 外 積 の イ メ ー ジ で は O か ら 伸 び る わ け だ が \\ ベ ク ト ル な の で 平 行 移 動 し て も 同 じ で あ る の で O^{'} に 移 動 さ せ て 考 え る ． \vec{O^{'} P} と も 直 角 ． \\ 大 き さ は | V | | V_{p} | \sin (ϕ) = | V_{p} | \sin (ϕ) = | \vec{O^{'} P} | = | \vec{O^{'} P^{'}} | と な る ， \\ (| \vec{O^{'} P^{'}} | \cos (\frac{π}{2} - θ)) \frac{V \times V_{p}}{| V \times V_{p} |} & = & (| \vec{O^{'} P^{'}} | \sin (θ)) \frac{V \times V_{p}}{| \vec{O^{'} P^{'}} |} \dots \vec{O^{'} P^{'}} の V \times V_{p} 方 向 成 分 \\ \dots \cos (\frac{π}{2} - θ) = \cos (\frac{π}{2}) \cos (θ) - \sin (\frac{π}{2}) \sin (θ) = 0 \cos (θ) - 1 \sin (θ) = \sin (θ) \\ = & \sin (θ) V \times V_{p} \\ \vec{O P^{'}} & = & \vec{O O^{'}} + \vec{O^{'} P^{'}} \\ = & \vec{O O^{'}} + \cos (θ) \vec{O^{'} P} + \sin (θ) V \times V_{p} \\ = & (V \cdot V_{p}) V + \cos (θ) (V_{p} - (V \cdot V_{p}) V) + \sin (θ) V \times V_{p} \end{array}

これは四元数において，元と逆元を左右から作用させる際の特殊な形と同様の計算となる．

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