四元数の行列表現

四元数の行列表現

$$ \begin{eqnarray} w+xi+yj+zk &\leftrightarrow& \begin{bmatrix} w+xi&y+zi\\ -(y-zi)&w-xi\\ \end{bmatrix} \\&=& w\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1\\ \end{bmatrix} +x\begin{bmatrix} i&0\\ 0&-i\\ \end{bmatrix} +y\begin{bmatrix} 0&1\\ -1&0\\ \end{bmatrix} +z\begin{bmatrix} 0&i\\ i&0\\ \end{bmatrix} \\&=&w\mathbf{E}+x\mathbf{I}+y\mathbf{J}+z\mathbf{K} \end{eqnarray} $$

四元数の単位同士の積の確認

$$ \begin{eqnarray} i\cdot i \leftrightarrow \mathbf{I}\cdot\mathbf{I} &=& \begin{bmatrix} i&0\\ 0&-i\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} i&0\\ 0&-i\\ \end{bmatrix} \\&=&\begin{bmatrix} i\cdot i+0\cdot0&i\cdot0+0\cdot (-i)\\ 0\cdot i+(-i)\cdot0&0\cdot 0+(-i)\cdot(-i)\\ \end{bmatrix} \\&=& \begin{bmatrix} -1&0\\ 0&-1\\ \end{bmatrix} \\&=&-\mathbf{E} \\j\cdot j \leftrightarrow \mathbf{J}\cdot\mathbf{J} &=& \begin{bmatrix} 0&1\\ -1&0\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0&1\\ -1&0\\ \end{bmatrix} \\&=&\begin{bmatrix} 0\cdot0+1\cdot(-1)&0\cdot1+1\cdot0\\ (-1)\cdot0+0\cdot(-1)&(-1)\cdot1+0\cdot0\\ \end{bmatrix} \\&=& \begin{bmatrix} -1&0\\ 0&-1\\ \end{bmatrix} \\&=&-\mathbf{E} \\k\cdot k \leftrightarrow \mathbf{K}\cdot\mathbf{K} &=& \begin{bmatrix} 0&i\\ i&0\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0&i\\ i&0\\ \end{bmatrix} \\&=&\begin{bmatrix} 0\cdot0+i\cdot i&0\cdot i+i\cdot0\\ i\cdot0+0\cdot i&i\cdot i+0\cdot0\\ \end{bmatrix} \\&=& \begin{bmatrix} -1&0\\ 0&-1\\ \end{bmatrix} \\&=&-\mathbf{E} \\i\cdot j \leftrightarrow \mathbf{I}\cdot\mathbf{J} &=& \begin{bmatrix} i&0\\ 0&-i\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0&1\\ -1&0\\ \end{bmatrix} \\&=&\begin{bmatrix} i\cdot0+0 \cdot (-1)&i\cdot 1+0 \cdot0\\ 0\cdot0+(-i)\cdot (-1)&0\cdot 1+(-i)\cdot0\\ \end{bmatrix} \\&=& \begin{bmatrix} 0&i\\ i&0\\ \end{bmatrix} \\&=&\mathbf{K} \\j\cdot i \leftrightarrow \mathbf{J}\cdot\mathbf{I} &=& \begin{bmatrix} 0&1\\ -1&0\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} i&0\\ 0&-i\\ \end{bmatrix} \\&=&\begin{bmatrix} 0 \cdot i+1 \cdot 0&0 \cdot 0+1\cdot(-i)\\ (-1)\cdot i+0 \cdot 0&(-1)\cdot 0+0\cdot(-i)\\ \end{bmatrix} \\&=& \begin{bmatrix} 0&-i\\ -i&0\\ \end{bmatrix} \\&=&-\mathbf{K} \\i\cdot k \leftrightarrow \mathbf{I}\cdot\mathbf{K} &=& \begin{bmatrix} i&0\\ 0&-i\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0&i\\ i&0\\ \end{bmatrix} \\&=&\begin{bmatrix} i\cdot0+0 \cdot i&i\cdot i+0 \cdot0\\ 0\cdot0+(-i)\cdot i&0\cdot i+(-i)\cdot0\\ \end{bmatrix} \\&=& \begin{bmatrix} 0&-1\\ 1&0\\ \end{bmatrix} \\&=&-\mathbf{J} \\k\cdot i \leftrightarrow \mathbf{K}\cdot\mathbf{I} &=& \begin{bmatrix} 0&i\\ i&0\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} i&0\\ 0&-i\\ \end{bmatrix} \\&=&\begin{bmatrix} 0\cdot i+i\cdot0&0\cdot0+i\cdot(-i)\\ i\cdot i+0\cdot0&i\cdot0+0\cdot(-i)\\ \end{bmatrix} \\&=& \begin{bmatrix} 0&1\\ -1&0\\ \end{bmatrix} \\&=&\mathbf{J} \\j\cdot k \leftrightarrow \mathbf{J}\cdot\mathbf{K} &=& \begin{bmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0&i\\ i&0\\ \end{bmatrix} \\&=&\begin{bmatrix} 0 \cdot 0+1\cdot i&0 \cdot i+1\cdot 0\\ (-1)\cdot 0+0\cdot i&(-1)\cdot i+0\cdot 0\\ \end{bmatrix} \\&=& \begin{bmatrix} i&0\\ 0&-i\\ \end{bmatrix} \\&=&\mathbf{I} \\k\cdot j \leftrightarrow \mathbf{K}\cdot\mathbf{J} &=& \begin{bmatrix} 0&i\\ i&0\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0\\ \end{bmatrix} \\&=&\begin{bmatrix} 0 \cdot 0+i\cdot (-1)&0 \cdot 1+i\cdot 0\\ i \cdot 0+0\cdot (-1)&i \cdot 1+0\cdot 0\\ \end{bmatrix} \\&=& \begin{bmatrix} -i&0\\ 0&i\\ \end{bmatrix} \\&=&-\mathbf{I} \\ \end{eqnarray} $$