複素数の行列表現

複素数の行列表現

$$ \begin{eqnarray} a+bi &\leftrightarrow& \begin{bmatrix} a&-b\\ b&a\\ \end{bmatrix} \\ \\積 \\ (a+bi)\cdot(c+di) &=&ac+adi+bic+bidi \\&=&ac-bd+adi+bci \\&=&(ac-bd)+(ad+bc)i \\ \begin{bmatrix} a&-b\\ b&a\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} c&-d\\ d&c\\ \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix} ac-bd&-(ad+bc)\\ ad+bc&ac-bd\\ \end{bmatrix} \\ \\積(交換) \\ (c+di)\cdot(a+bi) &=&(ac-bd)+(ad+bc)i \\ \begin{bmatrix} c&-d\\ d&c\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a&-b\\ b&a\\ \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix} ac-bd&-(ad+bc)\\ ad+bc&ac-bd\\ \end{bmatrix} \;\cdots\;行列の積は一般に非可換だが，この形の行列では可換である \\ \\和 \\ (a+ib)+(c+id) &=&(a+c)+(b+d)i \\ \begin{bmatrix} a&-b\\ b&a\\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} c&-d\\ d&c\\ \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix} a+c&-(b+d)\\ b+d&a+c\\ \end{bmatrix} \\ \\差 \\ (a+bi)-(c+di) &=&(a-c)+(b-d)i \\ \begin{bmatrix} a&-b\\ b&a\\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} c&-d\\ d&c\\ \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix} a-c&-(b-d)\\ b-d&a-c\\ \end{bmatrix} \\ \\逆数 \\ \frac{1}{c+di} &=&\frac{1}{c+di}\frac{c-di}{c-di} \\&=&\frac{c-di}{c^2+d^2} \\ \frac{1}{ \begin{bmatrix} c&-d\\ d&c\\ \end{bmatrix} } &=& \begin{bmatrix} c&-d\\ d&c\\ \end{bmatrix}^{-1} \;\cdots\;\frac{1}{A}=A^{-1} \\&=& \frac{1}{ \begin{vmatrix} c&d\\ -d&c\\ \end{vmatrix} } \begin{bmatrix} c&d\\ -d&c\\ \end{bmatrix} \;\cdots\; \begin{bmatrix} a&b\\ c&d\\ \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ \begin{vmatrix} a&b\\ c&d\\ \end{vmatrix} } \begin{bmatrix} d&-b\\ -c&a\\ \end{bmatrix} \\&=& \frac{1}{c^2+d^2} \begin{bmatrix} c&d\\ -d&c\\ \end{bmatrix} \\ \\商 \\ \frac{a+bi}{c+di} &=&\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} \\&=&\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2} \\ \frac{ \begin{bmatrix} a&-b\\ b&a\\ \end{bmatrix} }{ \begin{bmatrix} c&-d\\ d&c\\ \end{bmatrix} } &=& \begin{bmatrix} a&-b\\ b&a\\ \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{ \begin{bmatrix} c&-d\\ d&c\\ \end{bmatrix} } \\&=& \begin{bmatrix} a&-b\\ b&a\\ \end{bmatrix} \cdot \left( \frac{1}{c^2+d^2} \begin{bmatrix} c&d\\ -d&c\\ \end{bmatrix} \right) \;\cdots\; \frac{1}{ \begin{bmatrix} c&-d\\ d&c\\ \end{bmatrix} } = \frac{1}{c^2+d^2} \begin{bmatrix} c&d\\ -d&c\\ \end{bmatrix} \\&=& \frac{1}{c^2+d^2} \begin{bmatrix} a&-b\\ b&a\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} c&d\\ -d&c\\ \end{bmatrix} \\&=& \frac{1}{c^2+d^2} \begin{bmatrix} ac+bd&-(bc-ad)\\ bc-ad&ac+bd\\ \end{bmatrix} \end{eqnarray} $$