逆行列

逆行列

逆行列について

$$\begin{eqnarray} \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{I} \end{eqnarray}$$ となる行列\(\boldsymbol{A}^{-1}\)を逆行列という．

余因子行列と元の行列の積

$$\begin{eqnarray} \tilde{\boldsymbol{A}}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}\tilde{\boldsymbol{A}}=\left|\boldsymbol{A}\right|\boldsymbol{I} \;\ldots\;\tilde{\boldsymbol{A}}:行列\boldsymbol{A}の\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2021/05/blog-post_3.html}{余因子行列} \end{eqnarray}$$

余因子行列を元に逆行列を求める

$$\begin{eqnarray} \tilde{\boldsymbol{A}}\boldsymbol{A}&=&\boldsymbol{A}\tilde{\boldsymbol{A}}&=&\left|\boldsymbol{A}\right|\boldsymbol{I} \\\frac{\tilde{\boldsymbol{A}}}{\left|\boldsymbol{A}\right|}\boldsymbol{A}&=& \boldsymbol{A}\frac{\tilde{\boldsymbol{A}}}{\left|\boldsymbol{A}\right|}&=&\boldsymbol{I} \\\boldsymbol{A}^{-1}&=&\frac{\tilde{\boldsymbol{A}}}{\left|\boldsymbol{A}\right|} \end{eqnarray}$$

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例 2x2行列の逆行列

$$\begin{eqnarray} \\\boldsymbol{A}_{2\times2}&=& \begin{bmatrix} a& b \\c & d \end{bmatrix} \\\tilde{\boldsymbol{A}}_{2\times2}&=&\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2021/05/blog-post_3.html}{ \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}} \\ \boldsymbol{A}_{2\times2}^{-1}&=& \frac{1}{\begin{vmatrix} a& b \\c & d \end{vmatrix}} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \\&=& \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \end{eqnarray}$$