逆行列の補題 / matrix inversion lemma / Sherman–Morrison–Woodbury formula

逆行列の補題 / matrix inversion lemma / Sherman–Morrison–Woodbury formula

$$\begin{array}{rcl}A& :& n\times n\text{matrix}\\ C& :& k\times k\text{matrix}\\ U& :& k\times n\text{matrix}\\ V& :& n\times k\text{matrix}\end{array}$$ の時， $$\begin{array}{rcl}{(A+UCV)}^{-1}& =& A^{-1}-A^{-1}U{(C^{-1}+V{A}^{-1}U)}^{-1}V{A}^{-1}\end{array}$$

$(A+UCV)\left(\mathrm{右}\mathrm{辺}\right)=I_n$

$$\begin{array}{rcl}& & (A+UCV)\left(\mathrm{右}\mathrm{辺}\right)\\ & =& (A+UCV)\{A^{-1}-A^{-1}U{(C^{-1}+V{A}^{-1}U)}^{-1}V{A}^{-1}\}\\ & =& (A+UCV)A^{-1}-(A+UCV)\left\{A^{-1}U{(C^{-1}+V{A}^{-1}U)}^{-1}V{A}^{-1}\right\}\\ & =& A{A}^{-1}+UCV{A}^{-1}-A\left\{A^{-1}U{(C^{-1}+V{A}^{-1}U)}^{-1}V{A}^{-1}\right\}-UCV\left\{A^{-1}U{(C^{-1}+V{A}^{-1}U)}^{-1}V{A}^{-1}\right\}\\ & =& I_n+UCV{A}^{-1}-A{A}^{-1}U{(C^{-1}+V{A}^{-1}U)}^{-1}V{A}^{-1}-UCV{A}^{-1}U{(C^{-1}+V{A}^{-1}U)}^{-1}V{A}^{-1}\\ & =& I_n+U\{C-{(C^{-1}+V{A}^{-1}U)}^{-1}\}V{A}^{-1}-UCV{A}^{-1}U{(C^{-1}+V{A}^{-1}U)}^{-1}V{A}^{-1}\\ & =& I_n+UC\{(\cancel{C^{-1}}+V{A}^{-1}U)-\cancel{C^{-1}}\}{(C^{-1}+V{A}^{-1}U)}^{-1}V{A}^{-1}-UCV{A}^{-1}U{(C^{-1}+V{A}^{-1}U)}^{-1}V{A}^{-1}\\ & & \cdots X-Y^{-1}=XY{Y}^{-1}-X{X}^{-1}{Y}^{-1}=X(Y-X^{-1})Y^{-1}\\ & =& I_n+UC\left(V{A}^{-1}U\right){(C^{-1}+V{A}^{-1}U)}^{-1}V{A}^{-1}-UCV{A}^{-1}U{(C^{-1}+V{A}^{-1}U)}^{-1}V{A}^{-1}\\ & =& I_n+\cancel{UCV{A}^{-1}U{(C^{-1}+V{A}^{-1}U)}^{-1}V{A}^{-1}}-\cancel{UCV{A}^{-1}U{(C^{-1}+V{A}^{-1}U)}^{-1}V{A}^{-1}}\\ & =& I_n\end{array}$$

$\left(\mathrm{右}\mathrm{辺}\right)(A+UCV)=I_n$

$$\begin{array}{rcl}& & \left(\mathrm{右}\mathrm{辺}\right)(A+UCV)\\ & =& \{A^{-1}-A^{-1}U{(C^{-1}+V{A}^{-1}U)}^{-1}V{A}^{-1}\}(A+UCV)\\ & =& A^{-1}A+A^{-1}UCV-A^{-1}U{(C^{-1}+V{A}^{-1}U)}^{-1}V{A}^{-1}A-A^{-1}U{(C^{-1}+V{A}^{-1}U)}^{-1}V{A}^{-1}UCV\\ & =& I_n+A^{-1}UCV-A^{-1}U{(C^{-1}+V{A}^{-1}U)}^{-1}V-A^{-1}U{(C^{-1}+V{A}^{-1}U)}^{-1}V{A}^{-1}UCV\\ & =& I_n+A^{-1}UCV-A^{-1}U{(C^{-1}+V{A}^{-1}U)}^{-1}V-A^{-1}U{(C^{-1}+V{A}^{-1}U)}^{-1}V{A}^{-1}UCV\\ & =& I_n+A^{-1}U\{C-{(C^{-1}+V{A}^{-1}U)}^{-1}\}V-A^{-1}U{(C^{-1}+V{A}^{-1}U)}^{-1}V{A}^{-1}UCV\\ & =& I_n+A^{-1}U{(C^{-1}+V{A}^{-1}U)}^{-1}\{(\cancel{C^{-1}}+V{A}^{-1}U)-\cancel{C^{-1}}\}CV-A^{-1}U{(C^{-1}+V{A}^{-1}U)}^{-1}V{A}^{-1}UCV\\ & & \cdots X-Y^{-1}=Y^{-1}YX-Y^{-1}{X}^{-1}X=Y^{-1}(Y-X^{-1})X\\ & =& I_n+A^{-1}U{(C^{-1}+V{A}^{-1}U)}^{-1}\left(V{A}^{-1}U\right)CV-A^{-1}U{(C^{-1}+V{A}^{-1}U)}^{-1}V{A}^{-1}UCV\\ & =& I_n+\cancel{A^{-1}U{(C^{-1}+V{A}^{-1}U)}^{-1}V{A}^{-1}UCV}-\cancel{A^{-1}U{(C^{-1}+V{A}^{-1}U)}^{-1}V{A}^{-1}UCV}\\ & =& I_n\end{array}$$

以上より

以上より右辺$(A^{-1}-A^{-1}U{(C^{-1}+V{A}^{-1}U)}^{-1}V{A}^{-1})$は$A+UCV$の逆行列である．

$C=I_k$の時

また$C=I_k$の時は，$C^{-1}=I_k$でもあるので， $$\begin{array}{rcl}{(A+UV)}^{-1}& =& A^{-1}-A^{-1}U{(I_k+V{A}^{-1}U)}^{-1}V{A}^{-1}\end{array}$$ となる．