逆行列の補題 / matrix inversion lemma / Sherman–Morrison–Woodbury formula

逆行列の補題 / matrix inversion lemma / Sherman–Morrison–Woodbury formula

$$\begin{eqnarray} A&:&n\times n\;\textrm{matrix} \\C&:&k\times k\;\textrm{matrix} \\U&:&k\times n\;\textrm{matrix} \\V&:&n\times k\;\textrm{matrix} \end{eqnarray}$$ の時， $$\begin{eqnarray} \left(A+UCV\right)^{-1}&=&A^{-1}-A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1} \end{eqnarray}$$

\(\left(A+UCV\right)\left(右辺\right)=I_n\)

$$\begin{eqnarray} &&\left(A+UCV\right)\left(右辺\right) \\&=&\left(A+UCV\right)\left\{A^{-1}-A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}\right\} \\&=&\left(A+UCV\right)A^{-1}-\left(A+UCV\right)\left\{A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}\right\} \\&=&AA^{-1}+UCVA^{-1} -A\left\{A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}\right\} -UCV\left\{A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}\right\} \\&=&I_n+\color{red}{U}\color{black}{C}\color{blue}{VA^{-1}}\color{black}{} -AA^{-1}\color{red}{U}\color{black}{}\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}\color{blue}{VA^{-1}}\color{black}{} -UCVA^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1} \\&=&I_n +\color{red}{U}\color{green}{\left\{C-\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}\right\}}\color{blue}{VA^{-1}}\color{black}{} -UCVA^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1} \\&=&I_n +U\color{green}{C\left\{\left(\cancel{C^{-1}}+VA^{-1}U\right)-\cancel{C^{-1}}\right\}\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}}\color{black}{}VA^{-1} -UCVA^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1} \\&&\;\cdots\;X-Y^{-1}=X\color{orange}{YY^{-1}}\color{black}{}-\color{purple}{XX^{-1}}\color{black}{}Y^{-1}=X\left(Y-X^{-1}\right)Y^{-1} \\&=&I_n +U\color{green}{C\left(VA^{-1}U\right)\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}}\color{black}{}VA^{-1} -UCVA^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1} \\&=&I_n +\cancel{UCVA^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}} -\cancel{UCVA^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}} \\&=&I_n \end{eqnarray}$$

\(\left(右辺\right)\left(A+UCV\right)=I_n\)

$$\begin{eqnarray} &&\left(右辺\right)\left(A+UCV\right) \\&=&\left\{A^{-1}-A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}\right\}\left(A+UCV\right) \\&=&A^{-1}A+A^{-1}UCV-A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}A-A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}UCV \\&=&I_n+A^{-1}UCV-A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}V-A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}UCV \\&=&I_n +\color{red}{A^{-1}U}\color{black}{C}\color{blue}{V}\color{black}{} -\color{red}{A^{-1}U}\color{black}{}\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}\color{blue}{V}\color{black}{} -A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}UCV \\&=&I_n +\color{red}{A^{-1}U}\color{green}{ \left\{C-\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}\right\} }\color{blue}{V}\color{black}{} -A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}UCV \\&=&I_n +A^{-1}U\color{green}{ \left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}\left\{\left(\cancel{C^{-1}}+VA^{-1}U\right)-\cancel{C^{-1}}\right\}C }\color{black}{}V -A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}UCV \\&&\;\cdots\;X-Y^{-1}=\color{orange}{Y^{-1}Y}\color{black}{}X-Y^{-1}\color{purple}{X^{-1}X}\color{black}{}=Y^{-1}\left(Y-X^{-1}\right)X \\&=&I_n +A^{-1}U\color{green}{ \left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}\left(VA^{-1}U\right)C }\color{black}{}V -A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}UCV \\&=&I_n +\cancel{A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}UCV} -\cancel{A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}UCV} \\&=&I_n \end{eqnarray}$$

以上より

以上より右辺\(\left(A^{-1}-A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}\right)\)は\(A+UCV\)の逆行列である．

\(C=I_k\)の時

また\(C=I_k\)の時は，\(C^{-1}=I_k\)でもあるので， $$\begin{eqnarray} \left(A+UV\right)^{-1}&=&A^{-1}-A^{-1}U\left(I_k+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1} \end{eqnarray}$$ となる．