式展開: x^4・exp(-α x^2) の広義積分[0,∞]

$\int_{0}^{\infty} x^{4} e^{- α x^{2}} d x$

\begin{array}{rcl} \int_{0}^{\infty} x^{4} e^{- α x^{2}} d x \\ = & \int_{0}^{\infty} {(\frac{t}{α})}^{2} e^{- t} \frac{1}{2 \sqrt{α t}} d t \\ \dots t = α x^{2}, x = 0 \to t = 0, x = \infty \to t = \infty, \\ \dots x^{2} = \frac{t}{α}, x^{4} = x^{2^{2}} = {(\frac{t}{α})}^{2} \\ \dots x = \sqrt{\frac{t}{α}} (積 分 範 囲 か ら x \geq 0 と す る (?)) \\ \dots \frac{d t}{d x} = 2 α x, d x = \frac{1}{2 α x} d t = \frac{1}{2 α \sqrt{\frac{t}{α}}} d t = \frac{1}{2 \sqrt{α t}} d t \\ = & \int_{0}^{\infty} {(\frac{t}{α})}^{2} e^{- t} \frac{1}{2 \sqrt{α t}} d t \\ = & \frac{1}{2 α^{2} \sqrt{α}} \int_{0}^{\infty} \frac{t^{2}}{\sqrt{t}} e^{- t} d t \\ = & \frac{1}{2 α^{2} \sqrt{α}} \int_{0}^{\infty} t^{2} t^{- \frac{1}{2}} e^{- t} d t \\ = & \frac{1}{2 α^{2} \sqrt{α}} \int_{0}^{\infty} t^{\frac{3}{2}} e^{- t} d t \\ = & \frac{1}{2 α^{2} \sqrt{α}} \int_{0}^{\infty} t^{\frac{5}{2} - 1} e^{- t} d t \\ = & \frac{1}{2 α^{2} \sqrt{α}} Γ (\frac{5}{2}) \dots Γ (z) = \int_{0}^{\infty} t^{z - 1} e^{- t} d t (Re (z) > 0) \\ = & \frac{1}{2 α^{2} \sqrt{α}} Γ (\frac{1}{2} + 2) \\ = & \frac{1}{2 α^{2} \sqrt{α}} \frac{(2 \cdot 2 - 1)!!}{2^{2}} \sqrt{π} \dots Γ (\frac{1}{2} + n) = \frac{(2 n - 1)!!}{2^{n}} \sqrt{π} (!! は 二 重 階 乗) (n は 自 然 数) \\ = & \frac{1}{2 α^{2} \sqrt{α}} \frac{3!!}{4} \sqrt{π} \\ = & \frac{1}{2 α^{2} \sqrt{α}} \frac{3 \cdot 1}{4} \sqrt{π} \dots n の 二 重 階 乗 は ， 1 か ら n ま で n と 同 じ 偶 奇 性 を 持 つ も の だ け を 全 て 掛 け た 積 \\ = & \frac{1}{2 α^{2} \sqrt{α}} \frac{3 \sqrt{π}}{4} \\ = & \frac{3}{8 α^{2}} \sqrt{\frac{π}{α}} \end{array}

式展開

x^4・exp(-α x^2) の広義積分[0,∞]

$\int_{0}^{\infty} x^{4} e^{- α x^{2}} d x$

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式展開

x^4・exp(-α x^2) の広義積分[0,∞]

∫0∞x4e−αx2dx

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$\int_{0}^{\infty} x^{4} e^{- α x^{2}} d x$