行列A(2x2)に対してA, A+E, A-Eのいずれかは逆行列を持つ証明

行列$A(2x2)$に対して$A,A+E,A-E$のいずれかは逆行列$A^{-1}$を持つ証明(Eは単位行列$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$)

$$\begin{array}{rcl}A& =& {\displaystyle \left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]}\\ A^{-1}& =& {\displaystyle \frac{1}{|A|}{\displaystyle \left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]}}\\ A+E& =& {\displaystyle \left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]}\\ & =& {\displaystyle \left[\begin{array}{cc}a+1& b\\ c& d+1\end{array}\right]}\\ (A+E{)}^{-1}& =& {\displaystyle \frac{1}{|A+E|}{\displaystyle \left[\begin{array}{cc}d+1& -b\\ -c& a+1\end{array}\right]}}\\ A-E& =& {\displaystyle \left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]}\\ & =& {\displaystyle \left[\begin{array}{cc}a-1& b\\ c& d-1\end{array}\right]}\\ (A+E{)}^{-1}& =& {\displaystyle \frac{1}{|A-E|}{\displaystyle \left[\begin{array}{cc}d-1& -b\\ -c& a-1\end{array}\right]}}\end{array}$$ $A,A+E,A-E$の全てが逆行列を持たないとすると $|A|,|A+E|,|A-E|$の全てが同時にゼロ$0$になるのでこれを仮定として始める． $$\begin{array}{}\text{(1)}& |A|& =& ad-bc& =& 0\text{(2)}& |A+E|& =& (a+1)(d+1)-bc& =& ad-bc+a+d+1=0\text{(3)}& |A-E|& =& (a-1)(d-1)-bc& =& ad-bc-a-d+1=0\end{array}$$ $\text{(1)}$を$\text{(2)}$に代入すると$a+d=-1$． $$\begin{array}{rlr}ad-bc+a+d+1& =& 0\\ 0+a+d+1& =& 0\\ \text{(4)}& a+d& =& -1\end{array}$$ $\text{(1)}$を$\text{(3)}$に代入すると$a+d=1$． $$\begin{array}{rlr}ad-bc-a-d+1& =& 0\\ 0-a-d+1& =& 0\\ -a-d& =& -1\\ \text{(5)}& a+d& =& 1\end{array}$$ $a+d=-1\text{(4)}$と$a+d=1\text{(5)}$で矛盾するので， $|A|,|A+E|,|A-E|$の全てが同時にゼロ$0$になるという前提が間違いということになり， $|A|,|A+E|,|A-E|$のいずれかはゼロ$0$でない．よって$A,A+E,A-E$のいずれかは逆行列を持つ．