行列A(2x2)に対してA, A+E, A-Eのいずれかは逆行列を持つ証明

行列\(A(2x2)\)に対して\(A, A+E, A-E\)のいずれかは逆行列\(A^{-1}\)を持つ証明(Eは単位行列\(\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]\))

$$\begin{array}{rcl} A&=& \displaystyle \left[ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right]\\ A^{-1}&=& \href{https://shikitenkai.blogspot.com/2021/05/blog-post_96.html}{\displaystyle \frac{1}{ |A| } \displaystyle \left[ \begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \\ \end{array} \right]}\\ A+E &=& \displaystyle \left[ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right]\\ &=& \displaystyle \left[ \begin{array}{cc} a+1 & b \\ c & d+1 \\ \end{array} \right]\\ (A+E)^{-1}&=& \displaystyle \frac{1}{ |A+E| } \displaystyle \left[ \begin{array}{cc} d+1 & -b \\ -c & a+1 \\ \end{array} \right]\\ A-E &=& \displaystyle \left[ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right]\\ &=& \displaystyle \left[ \begin{array}{cc} a-1 & b \\ c & d-1 \\ \end{array} \right]\\ (A+E)^{-1}&=& \displaystyle \frac{1}{ |A-E| } \displaystyle \left[ \begin{array}{cc} d-1 & -b \\ -c & a-1 \\ \end{array} \right]\\ \end{array}$$ \(A, A+E, A-E\)の全てが逆行列を持たないとすると \(|A|, |A+E|, |A-E|\)の全てが同時にゼロ\(0\)になるのでこれを仮定として始める． $$\begin{align} |A|&=&ad-bc&=&0 \tag{1}\label{a1}\\ |A+E|&=&(a+1)(d+1)-bc&=&ad-bc+a+d+1=0 \tag{2}\label{a2}\\ |A-E|&=&(a-1)(d-1)-bc&=&ad-bc-a-d+1=0 \tag{3}\label{a3}\\ \end{align}$$ \(\eqref{a1}\)を\(\eqref{a2}\)に代入すると\(a+d=-1\)． $$\begin{align} ad-bc+a+d+1&=&0 \\ 0+a+d+1&=&0\\ a+d&=&-1\tag{4}\label{a4}\\ \end{align}$$ \(\eqref{a1}\)を\(\eqref{a3}\)に代入すると\(a+d=1\)． $$\begin{align} ad-bc-a-d+1&=&0 \\ 0-a-d+1&=&0\\ -a-d&=&-1\\ a+d&=&1\tag{5}\label{a5}\\ \end{align}$$ \(a+d=-1\eqref{a4}\)と\(a+d=1\eqref{a5}\)で矛盾するので， \(|A|, |A+E|, |A-E|\)の全てが同時にゼロ\(0\)になるという前提が間違いということになり， \(|A|, |A+E|, |A-E|\)のいずれかはゼロ\(0\)でない．よって\(A, A+E, A-E\)のいずれかは逆行列を持つ．