三角形の各辺の長さと傍接円半径と面積の関係

確認

$$\begin{eqnarray} \triangle BCD&=&\frac{1}{2} a\;\overline{DE}=\frac{1}{2} a\;r_c \\\triangle ACD&=&\frac{1}{2} b\;\overline{DF}=\frac{1}{2} b\;r_c \\\triangle ABD&=&\frac{1}{2} c\;\overline{DG}=\frac{1}{2} c\;r_c \end{eqnarray}$$

面積と各傍接円半径の関係性

$$\begin{eqnarray} \triangle ABC&=&\triangle BCD+\triangle ACD-\triangle ABD \\&=&\frac{1}{2} r_c (a + b - c) \\&=&\frac{1}{2} r_c (a + b - c + c - c) \\&=&\frac{1}{2} r_c (a + b + c - 2c) \\&=&r_c (\frac{a + b + c}{2} - \frac{2c}{2}) \\&=&r_c (s-c)\cdots s=\frac{a+b+c}{2}:半周長 \end{eqnarray}$$ 同様に… $$\begin{eqnarray} \triangle ABC&=&r_a (s-a) \\\triangle ABC&=&r_b (s-b) \end{eqnarray}$$

内接円半径と面積の関係性

$$\begin{eqnarray} S_{ABC}&=&r\cdot s \cdots r:内接円半径 \\&=&r \frac{a+b+c}{2} \\&=&\frac{1}{2} r a+\frac{1}{2} r b+\frac{1}{2} r c \\&&\cdots内接円は各辺に接するので，その半径は各辺に対して垂直であり高さとなる． \end{eqnarray}$$

内接円半径及び傍接円半径と面積の関係性

$$\begin{eqnarray} S_{ABC}&=&\triangle ABC \\S_{ABC}^4&=&r\; s \cdot r_a\;(s-a)\cdot r_b\;(s-b) \cdot r_c\;(s-c) \\&=&s(s-a) (s-b) (s-c) \cdot r r_a r_b r_c \\S_{ABC}^{\cancel{4}2}&=&\cancel{S_{ABC}^2} \cdot r r_a r_b r_c;\cdots S_{ABC}^2=s (s-a) (s-b) (s-c):\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2023/06/blog-post.html}{ヘロンの公式} \\S_{ABC}^2&=& r r_a r_b r_c \\S_{ABC}&=&\sqrt{r r_a r_b r_c} \end{eqnarray}$$