$$
\begin{eqnarray}
f(x;m,n)&=&\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2020/05/blog-post_22.html}{\frac{x^{(m-1)}(1-x)^{(n-1)}}{B(m,n)}\;\cdots\;ベータ分布}
\\B(m,n)&=&\int_0^1x^{(m-1)}(1-x)^{(n-1)} \mathrm{d}x\;\cdots\;ベータ凾数
\\&=&\frac{(m-1)!\;(n-1)!}{\left\{(m-1)+(n-1)+1\right\}!}
\;\cdots\;\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2020/05/blog-post_22.html}{\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^p(\beta-x)^q \mathrm{d}x=\frac{p!\;q!}{(p+q+1)!}(\beta-\alpha)^{(p+q+1)}(第一種オイラー積分)}
\\&=&\frac{(m-1)!\;(n-1)!}{(m+n-1)!}
\end{eqnarray}
$$
ベータ分布の期待値(一次モーメント・平均)
$$
\begin{eqnarray}
\mathbf{E}[X]&=&\int_0^1xf(x)\mathrm{d}x
\\&=&\int_0^1x\; \frac{x^{(m-1)}(1-x)^{(n-1)}}{B(m,n)} \;\mathrm{d}x
\\&=&\frac{1}{B(m,n)} \int_0^1x^{m}(1-x)^{(n-1)}\;\mathrm{d}x
\\&=&\frac{(m+n-1)!}{(m-1)!\;(n-1)!}\frac{m!\;(n-1)!}{(m+n)!}
\\&=&\frac{(m+n-1)!}{(m+n)!}\frac{m!}{(m-1)!}
\\&=&\frac{1}{m+n}\frac{m}{1}
\\&=&\frac{m}{m+n}\;\cdots\;ベータ分布の平均
\end{eqnarray}
$$
ベータ分布の二次モーメント
$$
\begin{eqnarray}
\mathbf{E}[X^2]&=&\int_0^1x^2f(x)\mathrm{d}x
\\&=&\int_0^1x^2\; \frac{x^{(m-1)}(1-x)^{(n-1)}}{B(m,n)} \;\mathrm{d}x
\\&=&\frac{1}{B(m,n)} \int_0^1x^{(m+1)}(1-x)^{(n-1)}\;\mathrm{d}x
\\&=&\frac{(m+n-1)!}{(m-1)!\;(n-1)!}\frac{(m+1)!\;(n-1)!}{((m+1)+n)!}
\\&=&\frac{(m+n-1)!}{(m-1)!\;(n-1)!}\frac{(m+1)!\;(n-1)!}{(m+n+1)!}
\\&=&\frac{(m+n-1)!}{(m+n+1)!}\frac{(m+1)!}{(m-1)!}
\\&=&\frac{1}{(m+n+1)(m+n)}\frac{(m+1)m}{1}
\\&=&\frac{(m+1)m}{(m+n+1)(m+n)}
\end{eqnarray}
$$
ベータ分布の分散(二次の中心モーメント
$$
\begin{eqnarray}
\mathbf{V}[X]&=&\mathbf{E}[X^2]-\mathbf{E}[X]^2
\\&=&\frac{(m+1)m}{(m+n+1)(m+n)}-\left\{\frac{m}{m+n}\right\}^2
\\&=&\frac{(m+1)m}{(m+n+1)(m+n)}-\frac{m^2}{\left(m+n\right)^2}
\\&=&\frac{(m+n)(m+1)m-(m+n+1)m^2}{(m+n+1)(m+n)^2}
\\&=&\frac{(m^2+m+mn+n)m-(m^3+m^2n+m^2)}{(m+n+1)(m+n)^2}
\\&=&\frac{m^3+m^2+m^2n+mn-m^3-m^2n-m^2}{(m+n+1)(m+n)^2}
\\&=&\frac{mn}{(m+n+1)(m+n)^2}\;\cdots\;ベータ分布の分散
\end{eqnarray}
$$
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