ベータ分布の期待値(平均)と分散

$$\begin{array}{rcl}f(x;m,n)& =& \frac{x^{(m-1)}(1-x{)}^{(n-1)}}{B(m,n)}\cdots \mathrm{ベ}\mathrm{ー}\mathrm{タ}\mathrm{分}\mathrm{布}\\ B(m,n)& =& {\int }_0^1{x}^{(m-1)}(1-x{)}^{(n-1)}\mathrm{d}x\cdots \mathrm{ベ}\mathrm{ー}\mathrm{タ}\mathrm{凾}\mathrm{数}\\ & =& \frac{(m-1)!(n-1)!}{\{(m-1)+(n-1)+1\}!}\cdots {\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha {)}^p(\beta -x{)}^q\mathrm{d}x=\frac{p!q!}{(p+q+1)!}(\beta -\alpha {)}^{(p+q+1)}(\mathrm{第}\mathrm{一}\mathrm{種}\mathrm{オ}\mathrm{イ}\mathrm{ラ}\mathrm{ー}\mathrm{積}\mathrm{分})\\ & =& \frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!}\end{array}$$

ベータ分布の期待値(一次モーメント・平均)

$$\begin{array}{rcl}\mathbf{E}[X]& =& {\int }_0^{1}xf(x)\mathrm{d}x\\ & =& {\int }_0^{1}x\frac{x^{(m-1)}(1-x{)}^{(n-1)}}{B(m,n)}\mathrm{d}x\\ & =& \frac{1}{B(m,n)}{\int }_0^1{x}^m(1-x{)}^{(n-1)}\mathrm{d}x\\ & =& \frac{(m+n-1)!}{(m-1)!(n-1)!}\frac{m!(n-1)!}{(m+n)!}\\ & =& \frac{(m+n-1)!}{(m+n)!}\frac{m!}{(m-1)!}\\ & =& \frac{1}{m+n}\frac{m}{1}\\ & =& \frac{m}{m+n}\cdots \mathrm{ベ}\mathrm{ー}\mathrm{タ}\mathrm{分}\mathrm{布}\mathrm{の}\mathrm{平}\mathrm{均}\end{array}$$

ベータ分布の二次モーメント

$$\begin{array}{rcl}\mathbf{E}[X^2]& =& {\int }_0^1{x}^{2}f(x)\mathrm{d}x\\ & =& {\int }_0^1{x}^2\frac{x^{(m-1)}(1-x{)}^{(n-1)}}{B(m,n)}\mathrm{d}x\\ & =& \frac{1}{B(m,n)}{\int }_0^1{x}^{(m+1)}(1-x{)}^{(n-1)}\mathrm{d}x\\ & =& \frac{(m+n-1)!}{(m-1)!(n-1)!}\frac{(m+1)!(n-1)!}{((m+1)+n)!}\\ & =& \frac{(m+n-1)!}{(m-1)!(n-1)!}\frac{(m+1)!(n-1)!}{(m+n+1)!}\\ & =& \frac{(m+n-1)!}{(m+n+1)!}\frac{(m+1)!}{(m-1)!}\\ & =& \frac{1}{(m+n+1)(m+n)}\frac{(m+1)m}{1}\\ & =& \frac{(m+1)m}{(m+n+1)(m+n)}\end{array}$$

ベータ分布の分散(二次の中心モーメント

$$\begin{array}{rcl}\mathbf{V}[X]& =& \mathbf{E}[X^2]-\mathbf{E}[X{]}^2\\ & =& \frac{(m+1)m}{(m+n+1)(m+n)}-{\left\{\frac{m}{m+n}\right\}}^2\\ & =& \frac{(m+1)m}{(m+n+1)(m+n)}-\frac{m^2}{{(m+n)}^2}\\ & =& \frac{(m+n)(m+1)m-(m+n+1)m^2}{(m+n+1)(m+n{)}^2}\\ & =& \frac{(m^2+m+mn+n)m-(m^3+m^{2}n+m^2)}{(m+n+1)(m+n{)}^2}\\ & =& \frac{m^3+m^2+m^{2}n+mn-m^3-m^{2}n-m^2}{(m+n+1)(m+n{)}^2}\\ & =& \frac{mn}{(m+n+1)(m+n{)}^2}\cdots \mathrm{ベ}\mathrm{ー}\mathrm{タ}\mathrm{分}\mathrm{布}\mathrm{の}\mathrm{分}\mathrm{散}\end{array}$$