ラプラス変換
$$\begin{eqnarray}
\mathfrak{L}\left[ {f\left( t \right)} \right]
&=&\int_0^\infty {f\left( t \right){e^{–st}}}\mathrm{d}t
\end{eqnarray}$$
\( t^n \)のラプラス変換
$$\begin{eqnarray}
f\left( t \right)&=&t^n
\\\mathfrak{L}\left[ {f\left( t \right)} \right]
&=& \int_0^\infty {t^n{e^{ –st}}}\mathrm{d}t
\\&=& \left[ t^n \cdot {\frac{–1}{s}e^{-st}} \right]_0^{\infty}
-\int_0^\infty {nt^{n-1} \cdot {\frac{–1}{s}e^{–st}}}\mathrm{d}t
\\&&\;\cdots\;\int_a^b{f'\left( t \right) g\left( t \right) }\mathrm{d}t=\left[f\left( t \right) g\left( t
\right)\right]_a^b-\int_a^b{f\left( t \right) g'\left( t \right) }\mathrm{d}t\;\;(f':fの微分,\;g':gの部分)
\\&&\;\cdots\;\int e^{at} \mathrm{d}t =\frac{1}{a}e^{at}+C
\\&&\;\cdots\; \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}t^n=nt^{n-1}
\\&=& \left[ \infty^n \cdot {\frac{–1}{s}e^{-s\infty}} - 0^n \cdot {\frac{–1}{s}e^{-s0}} \right]
-\left(\frac{–n}{s}\right)\int_0^\infty {t^{n-1} {e^{–st}}}\mathrm{d}t
\\&=& \left[ 0 - 0\right] +\frac{n}{s}\int_0^\infty {t^{n-1} {e^{–st}}}\mathrm{d}t
\\&&\;\cdots\;e^{-\infty}=0,\;\sin{\left( 0\right)}=0
\\&=& \frac{n}{s}\int_0^\infty {t^{n-1} {e^{–st}}}\mathrm{d}t
\\&=& \frac{n}{s}\frac{n-1}{s}\int_0^\infty {t^{n-2} {e^{–st}}}\mathrm{d}t
\\&&\vdots
\\&=& \frac{n}{s}\frac{n-1}{s}\cdots\frac{2}{s}\int_0^\infty {te^{–st}}\mathrm{d}t
\\&=& \frac{n}{s}\frac{n-1}{s}\cdots\frac{2}{s}\frac{1}{s}\int_0^\infty {e^{–st}}\mathrm{d}t
\\&=& \frac{n}{s}\frac{n-1}{s}\cdots\frac{2}{s}\frac{1}{s}\left[ \frac{–1}{s}e^{-st} \right]_0^{\infty}
\\&=& \frac{n!}{s^n}\frac{–1}{s}\left[ e^{-s\infty} - e^{-s0} \right]
\\&&\;\cdots\;n(n-1)\cdots2\;1=n!
\\&=& \frac{n!}{s^n}\frac{–1}{s}\left[ 0 - 1\right]
\\&&\;\cdots\;e^{-\infty}=0,\;e^{0}=1
\\&=& \frac{n!}{s^n}\frac{–1}{s}\left(-1\right)
\\&=& \frac{n!}{s^{n+1}}
\end{eqnarray}$$
0 件のコメント:
コメントを投稿