バネマスダンパー系，C1, C2 を求める

バネマスダンパー系

\(C_1 ,C_2 を求める\)

$$\begin{eqnarray} \href{https://shikitenkai.blogspot.com/2021/04/blog-post_17.html}{ \frac{sx_0 +v_0 +\frac{c}{m}x_0 }{s^2+s\frac{c}{m}+\frac{k}{m}}=\frac{(C_1 +C_2 )s-(C_1 \lambda_2+C_2 \lambda_1)}{\left(s-\lambda_1\right)\left(s-\lambda_2\right)} } \end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} \\sx_0 +v_0 +\frac{c}{m}x_0&=&(C_1 +C_2 )s-(C_1 \lambda_2+C_2 \lambda_1)\;\cdots\;分子について考える \end{eqnarray}$$ $$\left\{ \begin{eqnarray} C_1 +C_2 &=&x_0 \\-(C_1 \lambda_2+C_2 \lambda_1)&=&v_0 +\frac{c}{m}x_0 \\&=&v_0 +2\gamma x_0 \end{eqnarray} \right.\;\ldots\;sの係数を比較し連立させる$$ $$\begin{eqnarray} C_1 &=&x_0 -C_2 \\-(C_1 \lambda_2+C_2 \lambda_1)&=&v_0 +2\gamma x_0 \\C_1 \lambda_2+C_2 \lambda_1&=&-\left(v_0 +2\gamma x_0 \right) \\\left(x_0 -C_2 \right)\lambda_2+C_2 \lambda_1&=&-v_0 -2\gamma x_0 \\x_0 \lambda_2-C_2 \lambda_2+C_2 \lambda_1&=&-v_0 -2\gamma x_0 \\C_2 \left(\lambda_1-\lambda_2\right)&=&-v_0 -2\gamma x_0 -\lambda_2 x_0 \\C_2 \left(\lambda_1-\lambda_2\right)&=&-v_0 -x_0 \left(2\gamma +\lambda_2 \right) \\ \\C_2 &=&\frac{-v_0 -x_0 \left(2\gamma + \lambda_2 \right)}{\lambda_1-\lambda_2} \\&=&-\frac{v_0 +x_0 \left\{2\gamma + \left(-\gamma-\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}\right)\right\}} {\left(-\gamma+\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}\right)-\left(-\gamma-\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}\right)} \\&=&-\frac{v_0 +x_0 \left(\gamma-\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}\right)} {2\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}} \\&=&-\frac{v_0 +\gamma x_0 -x_0 \sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}} {2\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}} \\&=&-\frac{v_0 +\gamma x_0 }{2\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}} + \frac{x_0 \sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}}{2\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}} \\&=&-\frac{v_0 +\gamma x_0 }{2\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}} + \frac{x_0 }{2} \\&=&\frac{x_0 }{2}-\frac{v_0 +\gamma x_0 }{2\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}} \\ \\C_1 &=&x_0 -C_2 \\&=&x_0 -\left\{\frac{x_0 }{2}-\frac{v_0 +\gamma x_0 }{2\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}} \right\} \\&=&\frac{x_0 }{2}+\frac{v_0 +\gamma x_0 }{2\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}} \end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} C_{1,2}&=&\frac{x_0 }{2}\pm\frac{v_0 +\gamma x_0 }{2\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}}\;\ldots\;ただし\gamma\ne\omega_0 \end{eqnarray}$$