バネマスダンパー系
\(\lambda_{1,2}を求める\)
$$\begin{eqnarray}
\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2021/04/blog-post_17.html}{
\frac{sx_0 +v_0 +\frac{c}{m}x_0 }{s^2+s\frac{c}{m}+\frac{k}{m}}=\frac{(C_1 +C_2 )s-(C_1 \lambda_2+C_2 \lambda_1)}{\left(s-\lambda_1\right)\left(s-\lambda_2\right)}
}
\end{eqnarray}$$
$$\begin{eqnarray}
\\s^2+s\frac{c}{m}+\frac{k}{m}&=&\left(s-\lambda_1\right)\left(s-\lambda_2\right)\;\cdots\;分母について考える
\\\lambda_{1,2}&=&\frac{-\frac{c}{m}\pm\sqrt{\left(\frac{c}{m}\right)^2-4\cdot1\cdot\frac{k}{m}}}{2\cdot1}
\\&=&-\frac{c}{2m}\pm\frac{1}{2}\sqrt{\left(\frac{c}{m}\right)^2-4\frac{k}{m}}
\\&=&-\frac{c}{2m}\pm\sqrt{\frac{1}{4}\left(\left(\frac{c}{m}\right)^2-4\frac{k}{m}\right)}
\\&=&-\frac{c}{2m}\pm\sqrt{\left(\frac{c}{2m}\right)^2-\frac{k}{m}}
\\&=&-\gamma\pm\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}
\\&&\;\ldots\;\gamma=\frac{c}{2m},\;\omega_0^2=\frac{k}{m}
\end{eqnarray}$$
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