状態空間表現，バネマスダンパー系，対角正準形式

状態空間表現

$$\left\{ \begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{x}&=&\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}&+&\boldsymbol{B}\boldsymbol{u} \;\ldots\;\boldsymbol{A}:状態行列,\;\boldsymbol{B}:入力行列,\boldsymbol{x}:状態ベクトル,\;\boldsymbol{u}:入力ベクトル \\\boldsymbol{y}&=&\boldsymbol{C}\boldsymbol{x}&+&\boldsymbol{D}\boldsymbol{u} \;\ldots\;\boldsymbol{C}:出力行列,\;\boldsymbol{D}:直達行列,\;\boldsymbol{y}:出力ベクトル \end{eqnarray} \right.$$

バネマスダンパー系(入力なし)

$$\left\{ \begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \begin{bmatrix} x\\ v\\ \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix} 0&1\\ -\frac{k}{m}&-\frac{c}{m}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ v\\ \end{bmatrix}\;\ldots\;k:バネ,\;m:マス,\;c:ダンパー,\;x:位置,\;v=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}:速度 \\ \\&=& \begin{bmatrix} 0&1\\ -\omega_0^2&-2\gamma\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ v\\ \end{bmatrix} \;\ldots\;\gamma=\frac{c}{2m},\;\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}} \\ \begin{bmatrix} y \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix} 1&0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ v\\ \end{bmatrix} \end{eqnarray} \right.$$

対角正準形式

$$ \left\{ \begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{x^{\prime}}&=&\boldsymbol{\bar{A}}&\boldsymbol{x^{\prime}} \\\boldsymbol{y}&=&\boldsymbol{\bar{C}}&\boldsymbol{x^{\prime}} \end{eqnarray} \right. \;\ldots\;\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2021/04/blog-post_4.html}{対角正準形式} $$ $$ \left\{ \begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \href{https://shikitenkai.blogspot.com/2021/04/blog-post_35.html} { \begin{bmatrix} \frac{x}{2} + \frac{v+\gamma x}{2\xi} \\\frac{x}{2} - \frac{v+\gamma x}{2\xi} \end{bmatrix} } &=& \href{https://shikitenkai.blogspot.com/2021/04/blog-post_61.html}{ \begin{bmatrix} -\gamma+\xi & 0 \\0 & -\gamma-\xi \end{bmatrix}} \href{https://shikitenkai.blogspot.com/2021/04/blog-post_35.html} { \begin{bmatrix} \frac{x}{2} + \frac{v+\gamma x}{2\xi} \\\frac{x}{2} - \frac{v+\gamma x}{2\xi} \end{bmatrix} } \\\boldsymbol{y}&=& \href{https://shikitenkai.blogspot.com/2021/04/blog-post_61.html} { \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} } \href{https://shikitenkai.blogspot.com/2021/04/blog-post_35.html} { \begin{bmatrix} \frac{x}{2} + \frac{v+\gamma x}{2\xi} \\\frac{x}{2} - \frac{v+\gamma x}{2\xi} \end{bmatrix} } \end{eqnarray} \right. $$