式展開

間違いしかありません．コメントにてご指摘いただければ幸いです(気が付いた点を特に断りなく頻繁に書き直していますのでご注意ください)．

状態空間表現，バネマスダンパー系，状態ベクトルの変換

状態空間表現

{ddtx=Ax+Bu…A:状態行列,B:入力行列,x:状態ベクトル,u:入力ベクトルy=Cx+Du…C:出力行列,D:直達行列,y:出力ベクトル

バネマスダンパー系(入力なし)

{ddt[xv]=[01−km−cm][xv]…k:バネ,m:マス,c:ダンパー,x:位置,v=dxdt:速度=[01−ω02−2γ][xv]…γ=c2m,ω0=km[y]=[10][xv]

状態ベクトルの変換

x′=T−1x=1−2ξ[−γ−ξ−1γ−ξ1][xv]…T−1=1−2ξ[−γ−ξ−1γ−ξ1]…ξ=γ2−ω02=1−2ξ[(−γ−ξ)⋅x−v(γ−ξ)⋅x+v]=[−γx−ξx−v−2ξγx−ξx+v−2ξ]=[γx+ξx+v2ξ−γx+ξx−v2ξ]=[x2+v+γx2ξx2−v+γx2ξ] x′(0)=[x02+v0+γx02ξx02−v0+γx02ξ]…要素が微分方程式として解いた際の初期値C1,C2に等しい
Tで戻して確認 Tx′=[11−γ+ξ−γ−ξ][x2+v+γx2ξx2−v+γx2ξ]=[1⋅(x2+v+γx2ξ)+1⋅(x2−v+γx2ξ)(−γ+ξ)⋅(x2+v+γx2ξ)+(−γ−ξ)⋅(x2−v+γx2ξ)]=[x2+v+γx2ξ+x2−v+γx2ξ(−γ+ξ)x2ξξ+(−γ+ξ)(v+γx)2ξ+(−γ−ξ)x2ξξ−(−γ−ξ)(v+γx)2ξ]=[x2+x2−γξx+ξ2x−γv+ξv−γ2x+γξx2ξ+−γξx−ξ2x+γv+ξv+γ2x+γξx2ξ]=[xξv2ξ+ξv2ξ]=[xv]=x
Tx′=TT−1x=[11−γ+ξ−γ−ξ]1−2ξ[−γ−ξ−1γ−ξ1][xv]=1−2ξ[11−γ+ξ−γ−ξ][−γ−ξ−1γ−ξ1][xv]=[1001][xv]=[xv]=x
時刻:
ラベル: ,

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