状態空間表現，バネマスダンパー系，状態ベクトルの変換

状態空間表現

$$\left\{ \begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{x}&=&\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}&+&\boldsymbol{B}\boldsymbol{u} \;\ldots\;\boldsymbol{A}:状態行列,\;\boldsymbol{B}:入力行列,\boldsymbol{x}:状態ベクトル,\;\boldsymbol{u}:入力ベクトル \\\boldsymbol{y}&=&\boldsymbol{C}\boldsymbol{x}&+&\boldsymbol{D}\boldsymbol{u} \;\ldots\;\boldsymbol{C}:出力行列,\;\boldsymbol{D}:直達行列,\;\boldsymbol{y}:出力ベクトル \end{eqnarray} \right.$$

バネマスダンパー系(入力なし)

$$\left\{ \begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \begin{bmatrix} x\\ v\\ \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix} 0&1\\ -\frac{k}{m}&-\frac{c}{m}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ v\\ \end{bmatrix}\;\ldots\;k:バネ,\;m:マス,\;c:ダンパー,\;x:位置,\;v=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}:速度 \\ \\&=& \begin{bmatrix} 0&1\\ -\omega_0^2&-2\gamma\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ v\\ \end{bmatrix} \;\ldots\;\gamma=\frac{c}{2m},\;\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}} \\ \begin{bmatrix} y \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix} 1&0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ v\\ \end{bmatrix} \end{eqnarray} \right.$$

状態ベクトルの変換

$$ \begin{eqnarray} \boldsymbol{x}^{\prime}=\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2021/04/blog-post_4.html}{\boldsymbol{T}^{-1}\boldsymbol{x}} &=& \frac{1}{-2\xi} \begin{bmatrix} -\gamma-\xi & -1 \\\gamma-\xi& 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\v \end{bmatrix} \\&&\;\ldots\;\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2021/04/blog-post_56.html}{\boldsymbol{T}^{-1}=\frac{1}{-2\xi} \begin{bmatrix} -\gamma-\xi & -1 \\\gamma-\xi& 1 \end{bmatrix}} \\&&\;\ldots\;\xi=\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2} \\&=& \frac{1}{-2\xi} \begin{bmatrix} \left(-\gamma-\xi\right)\cdot x - v \\\left(\gamma-\xi\right)\cdot x + v \end{bmatrix} \\&=& \begin{bmatrix} \frac{-\gamma x-\xi x - v}{-2\xi} \\\frac{\gamma x-\xi x + v}{-2\xi} \end{bmatrix} \\&=& \begin{bmatrix} \frac{\gamma x+\xi x + v}{2\xi} \\\frac{-\gamma x+\xi x - v}{2\xi} \end{bmatrix} \\&=& \begin{bmatrix} \frac{x}{2} + \frac{v+\gamma x}{2\xi} \\\frac{x}{2} - \frac{v+\gamma x}{2\xi} \end{bmatrix} \end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} \boldsymbol{x}^{\prime}\left(0\right)&=& \begin{bmatrix} \frac{x_0}{2} + \frac{v_0+\gamma x_0}{2\xi} \\\frac{x_0}{2} - \frac{v_0+\gamma x_0}{2\xi} \end{bmatrix}\;\ldots\;\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2021/04/c1-c2.html}{要素が微分方程式として解いた際の初期値C_1,C_2に等しい} \end{eqnarray}$$

\(\boldsymbol{T}\)で戻して確認 $$\begin{eqnarray} \boldsymbol{T}\boldsymbol{x}^{\prime} &=& \begin{bmatrix} 1 & 1 \\-\gamma+\xi & -\gamma-\xi \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{x}{2} + \frac{v+\gamma x}{2\xi} \\\frac{x}{2} - \frac{v+\gamma x}{2\xi} \end{bmatrix} \\&=&\begin{bmatrix} 1\cdot\left(\frac{x}{2} + \frac{v+\gamma x}{2\xi}\right)+1\cdot\left(\frac{x}{2} - \frac{v+\gamma x}{2\xi}\right) \\\left(-\gamma+\xi\right)\cdot\left(\frac{x}{2} + \frac{v+\gamma x}{2\xi}\right)+\left(-\gamma-\xi\right)\cdot\left(\frac{x}{2} - \frac{v+\gamma x}{2\xi}\right) \end{bmatrix} \\&=&\begin{bmatrix} \frac{x}{2} \color{red}{+ \frac{v+\gamma x}{2\xi}}\color{black}{+}\frac{x}{2}\color{red}{- \frac{v+\gamma x}{2\xi}} \\\frac{\left(-\gamma+\xi\right)x}{2}\frac{\xi}{\xi} + \frac{\left(-\gamma+\xi\right)\left(v+\gamma x\right)}{2\xi} +\frac{\left(-\gamma-\xi\right)x}{2}\frac{\xi}{\xi} - \frac{\left(-\gamma-\xi\right)\left(v+\gamma x\right)}{2\xi} \end{bmatrix} \\&=&\begin{bmatrix} \frac{x}{2}+\frac{x}{2} \\\frac{\color{red}{-\gamma \xi x} \color{blue}{+\xi^2 x} \color{green}{-\gamma v} \color{black}{+\xi v} \color{magenta}{-\gamma^2 x}\color{red}{+\gamma\xi x}}{2\xi} + \frac{\color{red}{-\gamma \xi x} \color{blue}{-\xi^2 x} \color{green}{+\gamma v} \color{black}{+\xi v} \color{magenta}{+\gamma^2 x}\color{red}{+\gamma\xi x}}{2\xi} \end{bmatrix} \\&=&\begin{bmatrix} x \\\frac{\xi v}{2\xi} + \frac{\xi v}{2\xi} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} x\\v \end{bmatrix} =\boldsymbol{x} \end{eqnarray}$$
$$\begin{eqnarray} \boldsymbol{T}\boldsymbol{x}^{\prime}&=&\boldsymbol{T}\boldsymbol{T}^{-1}\boldsymbol{x} \\&=& \begin{bmatrix} 1 & 1 \\-\gamma+\xi & -\gamma-\xi \end{bmatrix} \frac{1}{-2\xi} \begin{bmatrix} -\gamma-\xi & -1 \\\gamma-\xi& 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\v \end{bmatrix} \\&=& \frac{1}{-2\xi} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\-\gamma+\xi & -\gamma-\xi \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -\gamma-\xi & -1 \\\gamma-\xi& 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\v \end{bmatrix} \\&=& \begin{bmatrix} 1 & 0 \\0& 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\v \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} x\\v \end{bmatrix} =\boldsymbol{x} \end{eqnarray}$$