状態空間表現，バネマスダンパー系，状態行列の対角化

状態空間表現

$$\left\{ \begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{x}&=&\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}&+&\boldsymbol{B}\boldsymbol{u} \;\ldots\;\boldsymbol{A}:状態行列,\;\boldsymbol{B}:入力行列,\boldsymbol{x}:状態ベクトル,\;\boldsymbol{u}:入力ベクトル \\\boldsymbol{y}&=&\boldsymbol{C}\boldsymbol{x}&+&\boldsymbol{D}\boldsymbol{u} \;\ldots\;\boldsymbol{C}:出力行列,\;\boldsymbol{D}:直達行列,\;\boldsymbol{y}:出力ベクトル \end{eqnarray} \right.$$

バネマスダンパー系(入力なし)

$$\left\{ \begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \begin{bmatrix} x\\ v\\ \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix} 0&1\\ -\frac{k}{m}&-\frac{c}{m}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ v\\ \end{bmatrix}\;\ldots\;k:バネ,\;m:マス,\;c:ダンパー,\;x:位置,\;v=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}:速度 \\ \\&=& \begin{bmatrix} 0&1\\ -\omega_0^2&-2\gamma\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ v\\ \end{bmatrix} \;\ldots\;\gamma=\frac{c}{2m},\;\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}} \\ \begin{bmatrix} y \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix} 1&0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ v\\ \end{bmatrix} \end{eqnarray} \right.$$

状態行列の対角化(基底の変換)とそれに伴う出力行列の変換

$$\begin{eqnarray} \boldsymbol{\bar{A}}=\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2021/04/blog-post_4.html} {\boldsymbol{T}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{T}} &=& \frac{1}{-2\xi} \begin{bmatrix} -\gamma-\xi & -1 \\\gamma-\xi& 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&1\\ -\omega_0^2&-2\gamma\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\-\gamma+\xi & -\gamma-\xi \end{bmatrix} \\&&\;\ldots\;\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2021/04/blog-post_56.html}{\boldsymbol{T}=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\-\gamma+\xi & -\gamma-\xi \end{bmatrix}} \\&&\;\ldots\;\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2021/04/blog-post_56.html}{\boldsymbol{T}^{-1}=\frac{1}{-2\xi} \begin{bmatrix} -\gamma-\xi & -1 \\\gamma-\xi& 1 \end{bmatrix}} \\&&\;\ldots\;\xi=\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2},\;\xi^2=\gamma^2-\omega_0^2,\;\omega_0^2=\gamma^2-\xi^2 \\ \\&=& \frac{1}{-2\xi} \begin{bmatrix} -\left(\gamma+\xi\right) & -1 \\\gamma-\xi& 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&1\\ -\left(\gamma^2-\xi^2\right)&-2\gamma\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\-\gamma+\xi & -\left(\gamma+\xi\right) \end{bmatrix} \\ \\&=& \frac{1}{-2\xi} \begin{bmatrix} -\left(\gamma+\xi\right) & -1 \\\gamma-\xi& 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\cdot1+1\cdot\left(-\gamma+\xi\right) & 0\cdot1+1\cdot-\left(\gamma+\xi\right)\\ -\left(\gamma^2-\xi^2\right)\cdot1+\left(-2\gamma\right)\cdot\left(-\gamma+\xi\right) & -\left(\gamma^2-\xi^2\right)\cdot1+\left(-2\gamma\right)\cdot-\left(\gamma+\xi\right)\\ \end{bmatrix} \\ \\&=& \frac{1}{-2\xi} \begin{bmatrix} -\left(\gamma+\xi\right) & -1 \\\gamma-\xi& 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -\gamma+\xi & -\left(\gamma+\xi\right)\\ -\gamma^2+\xi^2+2\gamma^2-2\gamma\xi & -\gamma^2+\xi^2+2\gamma^2+2\gamma\xi\\ \end{bmatrix} \\ \\&=& \frac{1}{-2\xi} \begin{bmatrix} -\left(\gamma+\xi\right) & -1 \\\gamma-\xi& 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -\gamma+\xi & -\left(\gamma+\xi\right)\\ \xi^2+\gamma^2-2\gamma\xi & \xi^2+\gamma^2+2\gamma\xi\\ \end{bmatrix} \\ \\&=& \frac{1}{-2\xi} \begin{bmatrix} -\left(\gamma+\xi\right) & -1 \\\gamma-\xi& 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -\gamma+\xi & -\left(\gamma+\xi\right)\\ \left(\gamma-\xi\right)^2 & \left(\gamma+\xi\right)^2\\ \end{bmatrix} \\ \\&=& \frac{1}{-2\xi} \begin{bmatrix} -\left(\gamma+\xi\right)\cdot\left(-\gamma+\xi\right)+(-1)\cdot\left(\gamma-\xi\right)^2 & -\left(\gamma+\xi\right)\cdot\left\{-\left(\gamma+\xi\right)\right\}+(-1)\cdot\left(\gamma+\xi\right)^2 \\\left(\gamma-\xi\right)\cdot\left(-\gamma+\xi\right)+(1)\cdot\left(\gamma-\xi\right)^2 & \left(\gamma-\xi\right)\cdot\left\{-\left(\gamma+\xi\right)\right\}+(1)\cdot\left(\gamma+\xi\right)^2 \end{bmatrix} \\ \\&=& \frac{1}{-2\xi} \begin{bmatrix} -\left(\xi^2-\gamma^2\right)-\left(\gamma-\xi\right)^2 & \left(\gamma+\xi\right)^2-\left(\gamma+\xi\right)^2 \\-\left(\gamma-\xi\right)^2+\left(\gamma-\xi\right)^2 & -\left(\gamma^2-\xi^2\right)+\left(\gamma+\xi\right)^2 \end{bmatrix} \\ \\&=& \frac{1}{-2\xi} \begin{bmatrix} -\xi^2+\gamma^2-\left(\gamma^2-2\gamma\xi+\xi^2\right) & 0 \\0 & -\gamma^2+\xi^2+\left(\gamma^2+2\gamma\xi+\xi^2\right) \end{bmatrix} \\ \\&=& \frac{1}{-2\xi} \begin{bmatrix} -\xi^2\color{red}{+\gamma^2-\gamma^2}\color{black}{+}2\gamma\xi-\xi^2 & 0 \\0 & \color{red}{-\gamma^2}\color{black}{+}\xi^2\color{red}{+\gamma^2}\color{black}{+}2\gamma\xi+\xi^2 \end{bmatrix} \\ \\&=& \frac{1}{-2\xi} \begin{bmatrix} 2\gamma\xi-2\xi^2 & 0 \\0 & 2\gamma\xi+2\xi^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2\gamma\xi-2\xi^2}{-2\xi} & 0 \\0 & \frac{2\gamma\xi+2\xi^2}{-2\xi} \end{bmatrix} \\&=& \begin{bmatrix} -\gamma+\xi & 0 \\0 & -\gamma-\xi \end{bmatrix} \\ \\&=& \begin{bmatrix} \lambda_1& 0 \\0 & \lambda_2 \end{bmatrix} \\\boldsymbol{\bar{C}}=\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2021/04/blog-post_4.html}{\boldsymbol{C}\boldsymbol{T}} &=& \begin{bmatrix} 1&0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\-\gamma+\xi & -\gamma-\xi \end{bmatrix} \\&&\;\ldots\;\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2021/04/blog-post_56.html}{\boldsymbol{T}=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\-\gamma+\xi & -\gamma-\xi \end{bmatrix}} \\&=& \begin{bmatrix} 1 \cdot 1 + 0 \cdot \left(-\gamma+\xi\right) & 1 \cdot 1 + 0 \cdot \left(-\gamma-\xi\right) \end{bmatrix} \\&=& \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} \end{eqnarray}$$