状態空間表現，バネマスダンパー系，状態行列の基底の変換行列

状態空間表現

$$\left\{ \begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{x}&=&\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}&+&\boldsymbol{B}\boldsymbol{u} \;\ldots\;\boldsymbol{A}:状態行列,\;\boldsymbol{B}:入力行列,\boldsymbol{x}:状態ベクトル,\;\boldsymbol{u}:入力ベクトル \\\boldsymbol{y}&=&\boldsymbol{C}\boldsymbol{x}&+&\boldsymbol{D}\boldsymbol{u} \;\ldots\;\boldsymbol{C}:出力行列,\;\boldsymbol{D}:直達行列,\;\boldsymbol{y}:出力ベクトル \end{eqnarray} \right.$$

バネマスダンパー系(入力なし)

$$\left\{ \begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \begin{bmatrix} x\\ v\\ \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix} 0&1\\ -\frac{k}{m}&-\frac{c}{m}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ v\\ \end{bmatrix}\;\ldots\;k:バネ,\;m:マス,\;c:ダンパー,\;x:位置,\;v=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}:速度 \\ \\&=& \begin{bmatrix} 0&1\\ -\omega_0^2&-2\gamma\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ v\\ \end{bmatrix} \;\ldots\;\gamma=\frac{c}{2m},\;\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}} \\ \begin{bmatrix} y \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix} 1&0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ v\\ \end{bmatrix} \end{eqnarray} \right.$$

基底の変換行列\(\begin{bmatrix} \boldsymbol{v}_1 &\boldsymbol{v}_2 \end{bmatrix}\)

$$\begin{eqnarray} \boldsymbol{T}&=& \href{ https://shikitenkai.blogspot.com/2021/04/blog-post_4.html } { \begin{bmatrix} \boldsymbol{v}_1 &\boldsymbol{v}_2 \end{bmatrix} } \\&=&\begin{bmatrix} \begin{bmatrix}v_{11} \\ v_{12}\end{bmatrix}& \begin{bmatrix}v_{21} \\ v_{22}\end{bmatrix} \end{bmatrix} \\&=&\begin{bmatrix} v_{11} & v_{21} \\v_{12} & v_{22} \end{bmatrix} \\&=&\begin{bmatrix} 1 & 1 \\-\gamma+\xi & -\gamma-\xi \end{bmatrix} \\&&\;\ldots\; \href{https://shikitenkai.blogspot.com/2021/04/blog-post_55.html}{\boldsymbol{v}_1 = \begin{bmatrix} v_{11} \\v_{12} \end{bmatrix} = t\begin{bmatrix} 1 \\-\gamma+\xi \end{bmatrix}} \\&&\;\ldots\; \href{https://shikitenkai.blogspot.com/2021/04/blog-post_55.html}{\boldsymbol{v}_2 = \begin{bmatrix} v_{21} \\v_{22} \end{bmatrix} = t\begin{bmatrix} 1 \\-\gamma-\xi \end{bmatrix}} \\&&\;\ldots\;\xi=\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}, \end{eqnarray}$$

基底の変換行列の逆行列

$$\begin{eqnarray} \boldsymbol{T}^{-1}&=&\frac{1}{\begin{vmatrix}T\end{vmatrix}} \begin{bmatrix} v_{22} & -v_{21} \\-v_{12} & v_{11} \end{bmatrix} \\&&\;\ldots\;\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2021/05/blog-post_96.html}{ \boldsymbol{A}= \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix},\; \boldsymbol{A}^{-1}= \frac{1}{ |A| } \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{bmatrix}} \\ \\&=&\frac{1}{1\cdot\left(-\gamma-\xi\right)-1\cdot\left(-\gamma+\xi\right)} \begin{bmatrix} -\gamma-\xi & -1 \\-\left(-\gamma+\xi\right) & 1 \end{bmatrix} \\&=&\frac{1}{-\gamma-\xi+\gamma-\xi} \begin{bmatrix} -\gamma-\xi & -1 \\\gamma-\xi& 1 \end{bmatrix} \\&=&\frac{1}{-2\xi} \begin{bmatrix} -\gamma-\xi & -1 \\\gamma-\xi& 1 \end{bmatrix} \end{eqnarray}$$