状態空間表現，対角正準形式

状態空間表現

$$\{\begin{array}{rclrc}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathit{x}& =& \mathit{A}\mathit{x}& +& \mathit{B}\mathit{u}\\ \mathit{y}& =& \mathit{C}\mathit{x}& +& \mathit{D}\mathit{u}\end{array}$$

対角正準形式

状態ベクトル$\mathit{x}$が正則行列$\mathit{T}$と${\mathit{x}}^{\prime }$を用いて表せるとする． $$\begin{array}{rcl}\mathit{x}& =& \mathit{T}{\mathit{x}}^{\mathit{\prime }}\end{array}$$ これを代入すると状態空間表現は以下のようになる． $$\{\begin{array}{rclrc}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathit{T}{\mathit{x}}^{\mathit{\prime }}& =& \mathit{A}\mathit{T}{\mathit{x}}^{\mathit{\prime }}& +& \mathit{B}\mathit{u}\\ \mathit{y}& =& \mathit{C}\mathit{T}{\mathit{x}}^{\mathit{\prime }}& +& \mathit{D}\mathit{u}\end{array}$$ この時，一つ目の式に対して$\mathit{T}$の逆行列である${\mathit{T}}^{-1}$を左から掛けると以下のようになる． $$\{\begin{array}{rclrclr}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\mathit{T}}^{-1}\mathit{T}{\mathit{x}}^{\mathit{\prime }}& =& {\mathit{T}}^{-1}\mathit{A}\mathit{T}& {\mathit{x}}^{\mathit{\prime }}& +& {\mathit{T}}^{-1}& \mathit{B}\mathit{u}\\ \mathit{y}& =& \mathit{C}\mathit{T}& {\mathit{x}}^{\mathit{\prime }}& +& \mathit{D}\mathit{u}\end{array}$$ ${\mathit{T}}^{-1}\mathit{T}=\mathit{I}$なので以下のようになる． $$\{\begin{array}{rclrclr}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\mathit{x}}^{\mathit{\prime }}& =& {\mathit{T}}^{-1}\mathit{A}\mathit{T}& {\mathit{x}}^{\mathit{\prime }}& +& {\mathit{T}}^{-1}& \mathit{B}\mathit{u}\\ \mathit{y}& =& \mathit{C}\mathit{T}& {\mathit{x}}^{\mathit{\prime }}& +& \mathit{D}\mathit{u}\end{array}$$ 各行列部を$\overline{\mathit{A}},\overline{\mathit{B}},\overline{\mathit{C}}$で置き直すことで以下のようになる． $$\{\begin{array}{rclrclr}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\mathit{x}}^{\mathit{\prime }}& =& \overline{\mathit{A}}& {\mathit{x}}^{\mathit{\prime }}& +& \overline{\mathit{B}}\mathit{u}\dots \overline{\mathit{A}}={\mathit{T}}^{-1}\mathit{A}\mathit{T},\overline{\mathit{B}}={\mathit{T}}^{-1}& \mathit{B}\\ \mathit{y}& =& \overline{\mathit{C}}& {\mathit{x}}^{\mathit{\prime }}& +& \mathit{D}\mathit{u}\dots \overline{\mathit{C}}=\mathit{C}\mathit{T}\end{array}$$ この時に$\mathit{T}$として$\mathit{A}$の固有ベクトル(基底)を並べた行列(変換行列)を用いれば${\mathit{T}}^{-1}\mathit{A}\mathit{T}=\overline{\mathit{A}}$は対角化され,対角行列となり，このような状態空間表現を対角正準形と呼ぶ． $$\begin{array}{rcl}\mathit{T}& =& \left[\begin{array}{cccc}{\mathit{v}}_1& {\mathit{v}}_2& \cdots & {\mathit{v}}_n\end{array}\right]\end{array}$$ 対角正準形では状態ベクトル$\mathit{x}$は状態ベクトル${\mathit{x}}^{\prime }$へと変換されている． $$\begin{array}{rcl}\mathit{x}& =& \mathit{T}{\mathit{x}}^{\mathit{\prime }}\\ {\mathit{T}}^{-1}\mathit{x}& =& {\mathit{T}}^{-1}\mathit{T}{\mathit{x}}^{\mathit{\prime }}\\ {\mathit{x}}^{\mathit{\prime }}& =& {\mathit{T}}^{-1}\mathit{x}\end{array}$$