状態空間表現
$$
\left\{
\begin{eqnarray}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{x}&=&\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}&+&\boldsymbol{B}\boldsymbol{u}
\\\boldsymbol{y}&=&\boldsymbol{C}\boldsymbol{x}&+&\boldsymbol{D}\boldsymbol{u}
\end{eqnarray}
\right.
$$
対角正準形式
状態ベクトル\(\boldsymbol{x}\)が正則行列\(\boldsymbol{T}\)と\(\boldsymbol{x}^{\prime}\)を用いて表せるとする．
$$
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{x}&=&\boldsymbol{T}\boldsymbol{x^{\prime}}
\end{eqnarray}
$$
これを代入すると状態空間表現は以下のようになる．
$$
\left\{
\begin{eqnarray}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{T}\boldsymbol{x^{\prime}}&=&\boldsymbol{A}\boldsymbol{T}\boldsymbol{x^{\prime}}&+&\boldsymbol{B}\boldsymbol{u}
\\\boldsymbol{y}&=&\boldsymbol{C}\boldsymbol{T}\boldsymbol{x^{\prime}}&+&\boldsymbol{D}\boldsymbol{u}
\end{eqnarray}
\right.
$$
この時，一つ目の式に対して\(\boldsymbol{T}\)の逆行列である\(\boldsymbol{T}^{-1}\)を左から掛けると以下のようになる．
$$
\left\{
\begin{eqnarray}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{T}^{-1}\boldsymbol{T}\boldsymbol{x^{\prime}}&=&\boldsymbol{T}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{T}&\boldsymbol{x^{\prime}}&+&\boldsymbol{T}^{-1}&\boldsymbol{B}\boldsymbol{u}
\\\boldsymbol{y}&=&\boldsymbol{C}\boldsymbol{T}&\boldsymbol{x^{\prime}}&+&\boldsymbol{D}\boldsymbol{u}
\end{eqnarray}
\right.
$$
\(\boldsymbol{T}^{-1}\boldsymbol{T}=\boldsymbol{I}\)なので以下のようになる．
$$
\left\{
\begin{eqnarray}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{x^{\prime}}&=&\boldsymbol{T}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{T}&\boldsymbol{x^{\prime}}&+&\boldsymbol{T}^{-1}&\boldsymbol{B}\boldsymbol{u}
\\\boldsymbol{y}&=&\boldsymbol{C}\boldsymbol{T}&\boldsymbol{x^{\prime}}&+&\boldsymbol{D}\boldsymbol{u}
\end{eqnarray}
\right.
$$
各行列部を\( \boldsymbol{\bar{A}}, \boldsymbol{\bar{B}}, \boldsymbol{\bar{C}} \)で置き直すことで以下のようになる．
$$
\left\{
\begin{eqnarray}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{x^{\prime}}&=&\boldsymbol{\bar{A}}&\boldsymbol{x^{\prime}}&+&\boldsymbol{\bar{B}}\boldsymbol{u}
\;\ldots\;\boldsymbol{\bar{A}}=\boldsymbol{T}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{T},\;\boldsymbol{\bar{B}}=\boldsymbol{T}^{-1}&\boldsymbol{B}
\\\boldsymbol{y}&=&\boldsymbol{\bar{C}}&\boldsymbol{x^{\prime}}&+&\boldsymbol{D}\boldsymbol{u}
\;\ldots\;\boldsymbol{\bar{C}}=\boldsymbol{C}\boldsymbol{T}
\end{eqnarray}
\right.
$$
この時に\(\boldsymbol{T}\)として\(\boldsymbol{A}\)の固有ベクトル(基底)を並べた行列(変換行列)を用いれば\(\boldsymbol{T}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{T}=\boldsymbol{\bar{A}}\)は対角化され,対角行列となり，このような状態空間表現を対角正準形と呼ぶ．
$$
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{T}&=&\begin{bmatrix}\boldsymbol{v}_{1}&\boldsymbol{v}_{2}&\cdots&\boldsymbol{v}_{n}\end{bmatrix}
\end{eqnarray}
$$
対角正準形では状態ベクトル\(\boldsymbol{x}\)は状態ベクトル\(\boldsymbol{x}^{\prime}\)へと変換されている．
$$
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{x}&=&\boldsymbol{T}\boldsymbol{x^{\prime}}
\\\boldsymbol{T}^{-1}\boldsymbol{x}&=&\boldsymbol{T}^{-1}\boldsymbol{T}\boldsymbol{x^{\prime}}
\\\boldsymbol{x^{\prime}}&=&\boldsymbol{T}^{-1}\boldsymbol{x}
\end{eqnarray}
$$
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