式展開: 状態空間表現，バネマスダンパー系(入力なし)

{\begin{array}{rclrc} \frac{d}{d t} x & = & A x & + & B u \dots A : 状 態 行 列, B : 入 力 行 列, x : 状 態 ベ ク ト ル, u : 入 力 ベ ク ト ル \\ y & = & C x & + & D u \dots C : 出 力 行 列, D : 直 達 行 列, y : 出 力 ベ ク ト ル \end{array}

{\begin{array}{rclrc} \frac{d}{d t} [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] & = & [\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}] [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] & + & [\begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{matrix}] [\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \end{matrix}] \dots 状 態 ベ ク ト ル が 2 次 の 場 合 \\ [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \end{array}] & = & [\begin{array}{c} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{array}] [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] & + & [\begin{matrix} d_{11} & d_{12} \\ d_{21} & d_{22} \end{matrix}] [\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \end{matrix}] \end{array}

\begin{array}{rcl} m \ddot{x} + c \dot{x} + k x & = & 0 \dots k : バ ネ, m : マ ス, c : ダ ン パ ー, x : 位 置, v = \frac{d x}{d t} : 速 度 \\ \frac{d^{2} x}{d^{2} t} + \frac{c}{m} \frac{d x}{d t} + \frac{k}{m} x & = & 0 \end{array}

\begin{array}{rcl} \frac{d^{2} x}{d^{2} t} & = & - \frac{c}{m} \frac{d x}{d t} - \frac{k}{m} x \\ \frac{d v}{d t} & = & - \frac{c}{m} v - \frac{k}{m} x \\ \dots v = \frac{d x}{d t} \\ \dots \frac{d^{2} x}{d^{2} t} = \frac{d}{d t} \frac{d}{d t} x = \frac{d}{d t} v \end{array}

{\begin{array}{rcl} \frac{d}{d t} [\begin{array}{c} x \\ v \end{array}] & = & [\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - \frac{k}{m} & - \frac{c}{m} \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ v \end{array}] \dots k : バ ネ, m : マ ス, c : ダ ン パ ー \\ [\begin{array}{c} y \end{array}] & = & [\begin{array}{c} 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ v \end{array}] \end{array}

入力行列

B

と直達行列

D

はともに

0

とする(入力なし)．

式展開