状態空間表現，バネマスダンパー系(入力なし)

状態空間表現

$$\left\{ \begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{x}&=&\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}&+&\boldsymbol{B}\boldsymbol{u} \;\ldots\;\boldsymbol{A}:状態行列,\;\boldsymbol{B}:入力行列,\boldsymbol{x}:状態ベクトル,\;\boldsymbol{u}:入力ベクトル \\\boldsymbol{y}&=&\boldsymbol{C}\boldsymbol{x}&+&\boldsymbol{D}\boldsymbol{u} \;\ldots\;\boldsymbol{C}:出力行列,\;\boldsymbol{D}:直達行列,\;\boldsymbol{y}:出力ベクトル \end{eqnarray} \right.$$ $$\left\{ \begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} &+& \begin{bmatrix} b_{11}&b_{12}\\ b_{21}&b_{22}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1\\ u_2\\ \end{bmatrix}\;\ldots\;状態ベクトルが2次の場合 \\ \begin{bmatrix} y_1\\ y_2\\ \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix} c_{11}&c_{12}\\ c_{21}&c_{22}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} &+& \begin{bmatrix} d_{11}&d_{12}\\ d_{21}&d_{22}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1\\ u_2\\ \end{bmatrix} \end{eqnarray} \right.$$

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バネマスダンパー系

$$\begin{eqnarray} m\ddot{x}+c\dot{x}+kx&=&0\;\ldots\;k:バネ,\;m:マス,\;c:ダンパー,\;x:位置,\;v=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}:速度 \\\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d^2}t} +\frac{c}{m}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} +\frac{k}{m}x &=&0 \end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d^2}t} &=&-\frac{c}{m}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}-\frac{k}{m}x \\\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} &=&-\frac{c}{m}v-\frac{k}{m}x \\&&\;\ldots\;v=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \\&&\;\ldots\;\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d^2}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}x=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}v \end{eqnarray}$$ $$\left\{ \begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \begin{bmatrix} x\\ v\\ \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix} 0&1\\ -\frac{k}{m}&-\frac{c}{m}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ v\\ \end{bmatrix}\;\ldots\;k:バネ,\;m:マス,\;c:ダンパー \\ \begin{bmatrix} y\\ \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix} 1&0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ v\\ \end{bmatrix} \end{eqnarray} \right.$$ 入力行列\(\boldsymbol{B}\)と直達行列\(\boldsymbol{D}\)はともに\(\boldsymbol{0}\)とする(入力なし)．