状態空間表現，バネマスダンパー系，状態行列の固有値

状態空間表現

　 $$\left\{ \begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{x}&=&\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}&+&\boldsymbol{B}\boldsymbol{u} \;\ldots\;\boldsymbol{A}:状態行列,\;\boldsymbol{B}:入力行列,\boldsymbol{x}:状態ベクトル,\;\boldsymbol{u}:入力ベクトル \\\boldsymbol{y}&=&\boldsymbol{C}\boldsymbol{x}&+&\boldsymbol{D}\boldsymbol{u} \;\ldots\;\boldsymbol{C}:出力行列,\;\boldsymbol{D}:直達行列,\;\boldsymbol{y}:出力ベクトル \end{eqnarray} \right.$$

バネマスダンパー系(入力なし)

$$\left\{ \begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \begin{bmatrix} x\\ v\\ \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix} 0&1\\ -\frac{k}{m}&-\frac{c}{m}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ v\\ \end{bmatrix}\;\ldots\;k:バネ,\;m:マス,\;c:ダンパー,\;x:位置,\;v=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}:速度 \\ \begin{bmatrix} y\\ \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix} 1&0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ v\\ \end{bmatrix} \end{eqnarray} \right.$$

状態行列の固有値

$$\begin{eqnarray} \left|\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}\right|&=&0 \\\begin{vmatrix} \lambda-0&1\\ -\frac{k}{m}&\lambda-\left(-\frac{c}{m}\right)\\ \end{vmatrix} &=&\lambda\left\{\lambda-\left(-\frac{c}{m}\right)\right\}-\left(-\frac{k}{m}\right) \\&=&\lambda\left(\lambda+\frac{c}{m}\right)+\frac{k}{m} \\&=&\lambda^2+\frac{c}{m}\lambda+\frac{k}{m} \\\lambda^2+\frac{c}{m}\lambda+\frac{k}{m}&=&0 \\\lambda_{1,2}&=&\frac{-\frac{c}{m}\pm\sqrt{\left(\frac{c}{m}\right)^2-4\frac{k}{m}}}{2} \\&=&-\frac{c}{2m}\pm\sqrt{\frac{c^2}{4m^2}-\frac{k}{m}} \\&=&-\gamma\pm\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}\;\ldots\;\gamma=\frac{c}{2m},\;\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}} \\&=&-\gamma\pm\frac{\omega_0}{\omega_0} \sqrt{\gamma^2-\omega_0^2} \\&=&-\gamma\pm\omega_0 \sqrt{\frac{1}{\omega_0^2}\left(\gamma^2-\omega_0^2\right)} \\&=&-\gamma\pm\omega_0 \sqrt{\frac{\gamma^2}{\omega_0^2}-\frac{\omega_0^2}{\omega_0^2}} \\&=&-\gamma\pm\omega_0 \sqrt{\frac{\gamma^2}{\omega_0^2}-1} \\&=&-\gamma\pm\omega_0 \sqrt{\left(\frac{\gamma}{\omega_0}\right)^2-1} \\&=&-\gamma\pm\omega_0 \sqrt{\zeta^2-1}\;\ldots\;\zeta=\frac{\gamma}{\omega_0} \\&=&-\gamma\pm\xi\;\ldots\;\xi=\omega_0 \sqrt{\zeta^2-1} \end{eqnarray}$$