状態空間表現，バネマスダンパー系，状態行列の固有ベクトル

状態空間表現

　 $$\left\{ \begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{x}&=&\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}&+&\boldsymbol{B}\boldsymbol{u} \;\ldots\;\boldsymbol{A}:状態行列,\;\boldsymbol{B}:入力行列,\boldsymbol{x}:状態ベクトル,\;\boldsymbol{u}:入力ベクトル \\\boldsymbol{y}&=&\boldsymbol{C}\boldsymbol{x}&+&\boldsymbol{D}\boldsymbol{u} \;\ldots\;\boldsymbol{C}:出力行列,\;\boldsymbol{D}:直達行列,\;\boldsymbol{y}:出力ベクトル \end{eqnarray} \right.$$

バネマスダンパー系(入力なし)

$$\left\{ \begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \begin{bmatrix} x\\ v\\ \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix} 0&1\\ -\frac{k}{m}&-\frac{c}{m}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ v\\ \end{bmatrix}\;\ldots\;k:バネ,\;m:マス,\;c:ダンパー,\;x:位置,\;v=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}:速度 \\ \\&=& \begin{bmatrix} 0&1\\ -\omega_0^2&-2\gamma\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ v\\ \end{bmatrix} \;\ldots\;\gamma=\frac{c}{2m},\;\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}} \\ \begin{bmatrix} y\\ \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix} 1&0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ v\\ \end{bmatrix} \end{eqnarray} \right.$$

固有値\(\lambda_{1,2}\)

$$\begin{eqnarray} \lambda_{1,2}&=&-\gamma\pm\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}&\;\ldots\;\gamma=\frac{c}{2m},\;\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}} \\&=&-\gamma\pm\omega_0\sqrt{\zeta^2-1}&\;\ldots\;\zeta=\frac{\gamma}{\omega_0} \\&=&-\gamma\pm\xi&\;\ldots\;\xi=\omega_0 \sqrt{\zeta^2-1}=\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}, \end{eqnarray}$$

固有値\(\lambda_1\)に対応する固有ベクトル\(\boldsymbol{v}_1\)

$$\begin{eqnarray} \left(\lambda_1\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}\right)\boldsymbol{v}_1&=&0 \\\left( \begin{bmatrix} \lambda_1&0\\ 0&\lambda_1\\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0&1\\ -\omega_0^2&-2\gamma\\ \end{bmatrix} \right)\boldsymbol{v}_1&=&0 \\\begin{bmatrix} \lambda_1&-1\\ \omega_0^2&\lambda_1+2\gamma\\ \end{bmatrix}\boldsymbol{v}_1 &=&0 \\\begin{bmatrix} \left(-\gamma+\xi\right)&-1\\ \omega_0^2&\left(-\gamma+\xi\right)+2\gamma\\ \end{bmatrix}\boldsymbol{v}_1 &=&0\;\ldots\;\lambda_1=-\gamma+\xi \\\begin{bmatrix} -\gamma+\xi&-1\\ \omega_0^2&\gamma+\xi\\ \end{bmatrix}\boldsymbol{v}_1 &=&0 \end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} \\\left\{\begin{matrix} \left(-\gamma+\xi\right) &v_{11}&-&&v_{12}&=&0 \\\omega_0^2 &v_{11}&+&\left(\gamma+\xi\right)&v_{12}&=&0 \end{matrix}\right. \end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} v_{11}&=&t \\\left(-\gamma+\xi\right) t-v_{12}&=&0 \\-v_{12}&=&-\left(-\gamma+\xi\right) t \\v_{12}&=&\left(-\gamma+\xi\right) t \end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} \boldsymbol{v}_1 = \begin{bmatrix} v_{11} \\v_{12} \end{bmatrix} = t\begin{bmatrix} 1 \\-\gamma+\xi \end{bmatrix} \end{eqnarray}$$

2番目の式で確認 $$\begin{eqnarray} \omega_0^2 v_{11}+\left(\gamma+\xi\right)v_{12}&=&0 \\\omega_0^2 t+\left(\gamma+\xi\right)v_{12}&=&0\;\ldots\;v_{11}=t \\\left(\gamma+\xi\right)v_{12}&=&-\omega_0^2 t \\v_{12}&=&\frac{-\omega_0^2}{\gamma+\xi}t \\&=&\frac{-\left(\gamma^2-\xi^2\right)}{\gamma+\xi}t \\&&\;\ldots\;\xi=\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2},\;\xi^2=\gamma^2-\omega_0^2,\;\omega_0^2=\gamma^2-\xi^2 \\&=&\frac{-\left(\gamma+\xi\right)\left(\gamma-\xi\right)}{\gamma+\xi}t \\&=&-\left(\gamma-\xi\right)t \\&=&\left(-\gamma+\xi\right)t \end{eqnarray}$$

固有値\(\lambda_2\)に対応する固有ベクトル\(\boldsymbol{v}_2\)

$$\begin{eqnarray} \left(\lambda_2\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}\right)\boldsymbol{v}_2&=&0 \\\left( \begin{bmatrix} \lambda_2&0\\ 0&\lambda_2\\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0&1\\ -\omega_0^2&-2\gamma\\ \end{bmatrix} \right)\boldsymbol{v}_2&=&0 \\\begin{bmatrix} \lambda_2&-1\\ \omega_0^2&\lambda_2+2\gamma\\ \end{bmatrix}\boldsymbol{v}_2&=&0 \\\begin{bmatrix} -\gamma-\xi&-1\\ \omega_0^2&\left(-\gamma-\xi\right)+2\gamma\\ \end{bmatrix}\boldsymbol{v}_2&=&0\;\ldots\;\lambda_2=-\gamma-\xi \\\begin{bmatrix} -\gamma+\xi&-1\\ \omega_0^2&\gamma-\xi\\ \end{bmatrix}\boldsymbol{v}_2&=&0 \end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} \\\left\{\begin{matrix} \left(-\gamma-\xi\right)&v_{21}&-&&v_{22}&=0 \\\omega_0^2 &v_{21}&+&\left(\gamma-\xi\right)&v_{22}&=0 \end{matrix}\right. \end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} \\v_{21}&=&t \\\left(-\gamma-\xi\right) t-v_{22}&=&0 \\-v_{22}&=&-\left(-\gamma-\xi\right) t \\v_{22}&=&\left(-\gamma-\xi\right) t \end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} \\\boldsymbol{v}_2 = \begin{bmatrix} v_{21} \\v_{22} \end{bmatrix} = t\begin{bmatrix} 1 \\-\gamma-\xi \end{bmatrix} \end{eqnarray}$$

2番目の式で確認 $$\begin{eqnarray} \omega_0^2 v_{21}+\left(\gamma-\xi\right)v_{22}&=&0 \\\omega_0^2 t+\left(\gamma-\xi\right)v_{22}&=&0\;\ldots\;v_{21}=t \\\left(\gamma-\xi\right)v_{22}&=&-\omega_0^2 t \\v_{22}&=&\frac{-\omega_0^2}{\gamma-\xi}t \\&=&\frac{-\left(\gamma^2-\xi^2\right)}{\gamma-\xi}t \\&&\;\ldots\;\xi=\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2},\;\xi^2=\gamma^2-\omega_0^2,\;\omega_0^2=\gamma^2-\xi^2 \\&=&\frac{-\left(\gamma+\xi\right)\left(\gamma-\xi\right)}{\gamma-\xi}t \\&=&-\left(\gamma+\xi\right)t \\&=&\left(-\gamma-\xi\right)t \end{eqnarray}$$