式展開

間違いしかありません．コメントにてご指摘いただければ幸いです(気が付いた点を特に断りなく頻繁に書き直していますのでご注意ください)．

状態空間表現，バネマスダンパー系，状態行列の固有ベクトル

状態空間表現

　 {ddtx=Ax+Bu…A:状態行列,B:入力行列,x:状態ベクトル,u:入力ベクトルy=Cx+Du…C:出力行列,D:直達行列,y:出力ベクトル

バネマスダンパー系(入力なし)

{ddt[xv]=[01−km−cm][xv]…k:バネ,m:マス,c:ダンパー,x:位置,v=dxdt:速度=[01−ω02−2γ][xv]…γ=c2m,ω0=km[y]=[10][xv]

固有値λ1,2

λ1,2=−γ±γ2−ω02…γ=c2m,ω0=km=−γ±ω0ζ2−1…ζ=γω0=−γ±ξ…ξ=ω0ζ2−1=γ2−ω02,

固有値λ1に対応する固有ベクトルv1

(λ1I−A)v1=0([λ100λ1]−[01−ω02−2γ])v1=0[λ1−1ω02λ1+2γ]v1=0[(−γ+ξ)−1ω02(−γ+ξ)+2γ]v1=0…λ1=−γ+ξ[−γ+ξ−1ω02γ+ξ]v1=0 {(−γ+ξ)v11−v12=0ω02v11+(γ+ξ)v12=0 v11=t(−γ+ξ)t−v12=0−v12=−(−γ+ξ)tv12=(−γ+ξ)t v1=[v11v12]=t[1−γ+ξ]
2番目の式で確認 ω02v11+(γ+ξ)v12=0ω02t+(γ+ξ)v12=0…v11=t(γ+ξ)v12=−ω02tv12=−ω02γ+ξt=−(γ2−ξ2)γ+ξt…ξ=γ2−ω02,ξ2=γ2−ω02,ω02=γ2−ξ2=−(γ+ξ)(γ−ξ)γ+ξt=−(γ−ξ)t=(−γ+ξ)t


固有値λ2に対応する固有ベクトルv2

(λ2I−A)v2=0([λ200λ2]−[01−ω02−2γ])v2=0[λ2−1ω02λ2+2γ]v2=0[−γ−ξ−1ω02(−γ−ξ)+2γ]v2=0…λ2=−γ−ξ[−γ+ξ−1ω02γ−ξ]v2=0 {(−γ−ξ)v21−v22=0ω02v21+(γ−ξ)v22=0 v21=t(−γ−ξ)t−v22=0−v22=−(−γ−ξ)tv22=(−γ−ξ)t v2=[v21v22]=t[1−γ−ξ]
2番目の式で確認 ω02v21+(γ−ξ)v22=0ω02t+(γ−ξ)v22=0…v21=t(γ−ξ)v22=−ω02tv22=−ω02γ−ξt=−(γ2−ξ2)γ−ξt…ξ=γ2−ω02,ξ2=γ2−ω02,ω02=γ2−ξ2=−(γ+ξ)(γ−ξ)γ−ξt=−(γ+ξ)t=(−γ−ξ)t
時刻:
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