e^xとマクローリン展開と双曲線凾数

\(e^{x}\)とマクローリン展開と双曲線凾数

\begin{eqnarray} e^{x} &=&1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{4!} x^4+\frac{1}{5!} x^5+\frac{1}{6!}x^6+\frac{1}{7!}x^7+\frac{1}{8!}x^8 +\cdots \\&=&\left(1+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!} x^4+\frac{1}{6!}x^6+\frac{1}{8!}x^8+\cdots\right) +\left(x+\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!} x^5+\frac{1}{7!}x^7+\cdots\right) \\&=&\cosh{\left(x\right)}+\sinh{\left(x\right)}\;\ldots\;xが複素数でない=実数の場合 \\&&\;\ldots\;\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2021/04/coshx.html}{\cosh{\left(x\right)}=1+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!} x^4+\frac{1}{6!}x^6+\frac{1}{8!}x^8+\cdots} \\&&\;\ldots\;\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2021/04/sinhx.html}{\sinh{\left(x\right)}=x+\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!} x^5+\frac{1}{7!}x^7+\cdots} \\&=&\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}+\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=\frac{e^{x}+e^{-x}+e^{x}-e^{-x}}{2}=\frac{2e^{x}}{2} \\&=&e^{x} \end{eqnarray}