ラプラス変換
$$\begin{eqnarray}
\mathfrak{L}\left[ {f\left( t \right)} \right]
&=&\int_0^\infty {f\left( t \right){e^{–st}}}\mathrm{d}t
\end{eqnarray}$$
単位ステップ凾数
$$\begin{eqnarray}
u(t) &=& \left\{ \begin{array}{l}1 \space(t \geq 0)\\ 0\space(t\lt0) \end{array} \right.
\end{eqnarray}$$
単位ステップ凾数のラプラス変換
$$\begin{eqnarray}
f\left( t \right)&=&u(t)
\\\mathfrak{L}\left[ {f\left( t \right)} \right]
&=& \int_0^\infty {u(t)\;{e^{ –st}}}\mathrm{d}t
\\&=& \int_0^\infty {1 \;{e^{ –st}}}\mathrm{d}t\;\ldots\;ステップ入力の定義より積分区間では1
\\&=& \int_0^\infty {\frac{–1}{s}e^{ a}}\mathrm{d}a
\;\ldots\;a=-st,\;\frac{\mathrm{d}a}{\mathrm{d}t}=-s,\;\mathrm{d}t=\frac{-1}{s}\mathrm{d}a
\\&=&\frac{–1}{s} \int_0^\infty {e^{ a}}\mathrm{d}a
\\&=& \frac{–1}{s}\left[ e^{-st} \right]_0^{\infty}\;\ldots\;\int_0^\infty {e^{ a}}\mathrm{d}a=e^{ a}+C(積分定数)
\\&=& \frac{–1}{s}\left[ e^{-\infty t} - e^{-0 t}\right]
\\&=& \frac{–1}{s}\left[ 0 - 1\right]\;\ldots\;e^{-\infty}=0,\;e^0=1
\\&=& \frac{–1}{s}\cdot-1
\\&=& \frac{1}{s}
\end{eqnarray}$$
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