\(\cos{(i x)}, \sin{(i x)}\) (純虚数に対する\(\cos, \sin\))
\(\cos{\left(i x\right)}\)
$$\begin{eqnarray}
\cos{\left(i x\right)}
&=&\frac{e^{i\left(ix\right)}+e^{-i\left(ix\right)}}{2 }\;\ldots\;x\in\mathbb{R}
\\&=&\frac{e^{-x}+e^{x}}{2 }
\\&=&\cosh{\left(x\right)}
\end{eqnarray}$$
\(\sin{\left(i x\right)}\)
$$\begin{eqnarray}
\sin{\left(ix\right)}
&=&\frac{e^{i\left(ix\right)}-e^{-i\left(ix\right)}}{2i}\;\ldots\;x\in\mathbb{R}
\\&=&\frac{e^{-x}-e^{x}}{2i}
\\&=&\frac{1}{i}\frac{-\left(e^{x}-e^{-x}\right)}{2}
\\&=&\frac{i}{i}\frac{-1}{i}\sinh{\left(x\right)}
\\&=&i\sinh{\left(x\right)}
\end{eqnarray}$$
\(cosh{(i x)}, sinh{(i x)}\) (純虚数に対する\(\cosh, \sinh\))
\(cosh{(i x)}, sinh{(i x)}\) (純虚数に対する\(\cosh, \sinh\))
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