cos(i x), sin(i x) (純虚数に対するcos, sin)

$\cos (ix),\sin (ix)$ (純虚数に対する$\cos ,\sin$)

$\cos \left(ix\right)$

$$\begin{array}{rcl}\cos \left(ix\right)& =& \frac{e^{i\left(ix\right)}+e^{-i\left(ix\right)}}{2}\dots x\in \mathbb{R}\\ & =& \frac{e^{-x}+e^x}{2}\\ & =& \cosh \left(x\right)\end{array}$$

$\sin \left(ix\right)$

$$\begin{array}{rcl}\sin \left(ix\right)& =& \frac{e^{i\left(ix\right)}-e^{-i\left(ix\right)}}{2i}\dots x\in \mathbb{R}\\ & =& \frac{e^{-x}-e^x}{2i}\\ & =& \frac{1}{i}\frac{-(e^x-e^{-x})}{2}\\ & =& \frac{i}{i}\frac{-1}{i}\sinh \left(x\right)\\ & =& i\sinh \left(x\right)\end{array}$$

$cosh(ix),sinh(ix)$ (純虚数に対する$\cosh ,\sinh$)

$cosh(ix),sinh(ix)$ (純虚数に対する$\cosh ,\sinh$)