間違いしかありません.コメントにてご指摘いただければ幸いです(気が付いた点を特に断りなく頻繁に書き直していますのでご注意ください).

cosの逆数(sec)の三乗の積分

1cos3(θ)dθ=sec3(θ)dθsec(θ)=1cos(θ)=1cos(θ)1cos2(θ)dθ=1cos(θ){tan(θ)}dθ{tan(θ)}={sin(θ)cos(θ)}={sin(θ)}1cos(θ)+sin(θ){1cos(θ)}=cos(θ)1cos(θ)+sin(θ)sin(θ)cos2(θ)=cos(θ)cos(θ)+sin2(θ)cos2(θ)=cos2(θ)+sin2(θ)cos2(θ)=1cos2(θ)=tan(θ)cos(θ)sin(θ)cos2(θ)tan(θ)dθfgdx=[fg]fgdx=tan(θ)cos(θ)1cos(θ)tan2(θ)dθ=tan(θ)cos(θ)1cos(θ)sin2(θ)cos2(θ)dθ=tan(θ)cos(θ)sin2(θ)cos3(θ)dθ=tan(θ)cos(θ)1cos2(θ)cos3(θ)dθ=tan(θ)cos(θ){1cos3(θ)cos2(θ)cos3(θ)}dθ=tan(θ)cos(θ){1cos3(θ)1cos(θ)}dθ=tan(θ)cos(θ)1cos3(θ)dθ+1cos(θ)dθ21cos3(θ)dθ=tan(θ)cos(θ)+1cos(θ)dθ=tan(θ)cos(θ)+12ln|1+sin(θ)1sin(θ)|1cos(θ)dθ=12ln|1+sin(θ)1sin(θ)|+C(C:)1cos3(θ)dθ=12{tan(θ)cos(θ)+12ln|1+sin(θ)1sin(θ)|}+CC:=12{tan(θ)cos(θ)+ln|1cos(θ)+tan(θ)|}+C1+sin(θ)1sin(θ)={1cos(θ)+tan(θ)}2=12{sec(θ)tan(θ)+ln|sec(θ)+tan(θ)|}+Csec(θ)=1cos(θ)

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