積の積分 / 部分積分

積の積分 / 部分積分

\(f\),\(g\)が\(x\)の凾数とし，\(f'\),\(g'\)をそれぞれのxでの微分とする． $$\begin{eqnarray*} (fg)'&=&f'g+fg' \;\dots\;\href{ https://shikitenkai.blogspot.com/2020/02/blog-post.html }{ (fg)'=f'g+fg'}\\ f'g&=&(fg)'-fg'\\ \int f'g\,\mathrm{d}x&=&\int(fg)' \mathrm{d}x-\int fg' \mathrm{d}x\\ &=&fg-\int fg' \mathrm{d}x\\ \end{eqnarray*}$$ \(F\)の微分を\(f\)として，\(f\)を\(F\)に，\(f'\)を\(f\)に置き換える． $$\begin{eqnarray*} \int fg \,\mathrm{d}x&=&Fg-\int Fg' \mathrm{d}x\\ \int_{a}^{b} fg \,\mathrm{d}x&=&\left[Fg\right]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} Fg' \mathrm{d}x\\ \end{eqnarray*}$$