積の積分 / 部分積分

積の積分 / 部分積分

$f$,$g$が$x$の凾数とし，$f^{\prime }$,$g^{\prime }$をそれぞれのxでの微分とする． $$\begin{array}{rcl}(fg{)}^{\prime }& =& f^{\prime }g+f{g}^{\prime }\dots (fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }\\ f^{\prime }g& =& (fg{)}^{\prime }-f{g}^{\prime }\\ \int f^{\prime }g\mathrm{d}x& =& \int (fg{)}^{\prime }\mathrm{d}x-\int f{g}^{\prime }\mathrm{d}x\\ & =& fg-\int f{g}^{\prime }\mathrm{d}x\end{array}$$ $F$の微分を$f$として，$f$を$F$に，$f^{\prime }$を$f$に置き換える． $$\begin{array}{rcl}\int fg\mathrm{d}x& =& Fg-\int F{g}^{\prime }\mathrm{d}x\\ {\int }_a^{b}fg\mathrm{d}x& =& {\left[Fg\right]}_a^b-{\int }_a^{b}F{g}^{\prime }\mathrm{d}x\end{array}$$