ラグランジュ方程式

ラグランジュ方程式

位置$q$, 速度$\dot{q}$($=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$), 系を特徴付ける凾数(ラグランジアン)$L(q,\dot{q},t)$とすると $L$の時間$t$での積分である作用$S$が最小になるように系は運動する(最小作用の原理/ハミルトンの原理)． $$\begin{array}{rcl}S& =& {\int }_{t_1}^{t_2}L(q,\dot{q},t)\mathrm{d}t\end{array}$$ よって$S$が最小となるような$q(t)$が系の運動である．
$q(t)$から微小量$\delta q(t)$ずれた$q(t)+\delta q(t)$を通る$L(q+\delta q,\dot{q}+\delta \dot{q},t)$では，$S$は増加する． $q(t)$を通る時との差を$\delta S$とする．
(ただし$\delta q(t)$は$\delta q(t_1)=\delta q(t_2)=0$とし，始点と終点では，ずれはないものとする(境界条件を満たす)) $$\begin{array}{rcl}\delta S& \equiv & {\int }_{t_1}^{t_2}L(q+\delta q,\dot{q}+\delta \dot{q},t)\mathrm{d}t-{\int }_{t_1}^{t_2}L(q,\dot{q},t)\mathrm{d}t\\ & =& {\int }_{t_1}^{t_2}\{L(q+\delta q,\dot{q}+\delta \dot{q},t)-L(q,\dot{q},t)\}\mathrm{d}t\\ & =& {\int }_{t_1}^{t_2}[L(q,\dot{q},t)+\{\frac{\partial L(q,\dot{q},t)}{\partial q}\delta q+\frac{\partial L(q,\dot{q},t)}{\partial \dot{q}}\delta \dot{q}\}-L(q,\dot{q},t)]\mathrm{d}t\\ & & \dots L(q+\delta q,\dot{q}+\delta \dot{q},t)\fallingdotseq L(q,\dot{q},t)+\{\frac{\partial L(q,\dot{q},t)}{\partial q}\delta q+\frac{\partial L(q,\dot{q},t)}{\partial \dot{q}}\delta \dot{q}\}2\mathrm{次}\mathrm{以}\mathrm{降}\mathrm{を}\mathrm{無}\mathrm{視}\\ & =& {\int }_{t_1}^{t_2}\{\frac{\partial L(q,\dot{q},t)}{\partial q}\delta q+\frac{\partial L(q,\dot{q},t)}{\partial \dot{q}}\delta \dot{q}\}\mathrm{d}t\\ & =& {\int }_{t_1}^{t_2}\frac{\partial L}{\partial q}\delta q\mathrm{d}t+{\int }_{t_1}^{t_2}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta \dot{q}\mathrm{d}t\\ & =& {\int }_{t_1}^{t_2}\frac{\partial L}{\partial q}\delta q\mathrm{d}t+{\int }_{t_1}^{t_2}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\delta q\mathrm{d}t\\ & & \dots \delta \dot{q}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\delta q\\ & =& {\int }_{t_1}^{t_2}\frac{\partial L}{\partial q}\delta q\mathrm{d}t+{\left[\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta q\right]}_{t_1}^{t_2}-{\int }_{t_1}^{t_2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta q\mathrm{d}t\\ & & \dots {\int }_a^{b}fg\mathrm{d}x={\left[fG\right]}_a^b-{\int }_a^b{f}^{\prime }G\mathrm{d}x\\ & =& {\int }_{t_1}^{t_2}\frac{\partial L}{\partial q}\delta q\mathrm{d}t-{\int }_{t_1}^{t_2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta q\mathrm{d}t\\ & & \dots {\left[\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta q\right]}_{t_1}^{t_2}=0\dots \delta q(t_1)=\delta q(t_2)=0\\ & =& {\int }_{t_1}^{t_2}\{\frac{\partial L}{\partial q}\delta q-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta q\}\mathrm{d}t\\ & =& {\int }_{t_1}^{t_2}\{\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\}\delta q\mathrm{d}t\end{array}$$ 任意の$\delta q$において$\delta S=0$となるには$\{\}$の中が常に0となる必要がある． $$\begin{array}{rcl}\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}& =& 0\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}-\frac{\partial L}{\partial q}& =& 0\end{array}$$ ラグランジアンに2階以上の$q$の微分が含まれないのはつまり，位置と速度でその後の運動が決まること合致する．