ラグランジュ方程式

ラグランジュ方程式

位置\(q\), 速度\(\dot{q}\)(\(=\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d}t}\)), 系を特徴付ける凾数(ラグランジアン)\(L(q, \dot{q}, t)\)とすると \(L\)の時間\(t\)での積分である作用\(S\)が最小になるように系は運動する(最小作用の原理/ハミルトンの原理)． $$\begin{eqnarray*} S&=&\int_{t_1}^{t_2} L(q,\dot{q},t)\,\mathrm{d}t\\ \end{eqnarray*}$$ よって\(S\)が最小となるような\(q(t)\)が系の運動である．
\( q(t) \)から微小量\(\delta q(t)\)ずれた\(q(t)+\delta q(t)\)を通る\(L(q+\delta q,\dot{q}+\delta \dot{q},t)\)では，\(S\)は増加する． \( q(t) \)を通る時との差を\(\delta S\)とする．
(ただし\(\delta q(t)\)は\(\delta q(t_1)=\delta q(t_2) =0\)とし，始点と終点では，ずれはないものとする(境界条件を満たす)) $$\begin{eqnarray*} \delta S & \equiv &\int_{t_1}^{t_2} L(q+\delta q,\dot{q}+\delta \dot{q},t)\,\mathrm{d}t - \int_{t_1}^{t_2} L(q,\dot{q},t)\,\mathrm{d}t\\ & = &\int_{t_1}^{t_2} \left\{ L(q+\delta q,\dot{q}+\delta \dot{q},t) - L(q,\dot{q},t)\right\}\,\mathrm{d}t\\ & = &\int_{t_1}^{t_2} \left[ L(q,\dot{q},t) + \left\{ \frac{\partial L(q,\dot{q},t)}{\partial q} \delta q +\frac{\partial L(q,\dot{q},t)}{\partial\dot{q}} \delta \dot{q} \right\} - L(q,\dot{q},t)\right] \,\mathrm{d}t\\ &&\,\dots\,L(q+\delta q,\dot{q}+\delta \dot{q},t) \fallingdotseq L(q,\dot{q},t) + \left\{ \frac{\partial L(q,\dot{q},t)}{\partial q} \delta q +\frac{\partial L(q,\dot{q},t) }{\partial\dot{q}} \delta \dot{q} \right\}\;2次以降を無視\\ & = &\int_{t_1}^{t_2} \left\{ \frac{\partial L(q,\dot{q},t)}{\partial q} \delta q +\frac{\partial L(q,\dot{q},t)}{\partial\dot{q}} \delta \dot{q} \right\}\,\mathrm{d}t\\ &=&\int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial L}{\partial q} \delta q \,\mathrm{d}t +\int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial L}{\partial\dot{q}} \delta \dot{q} \,\mathrm{d}t\\ &=&\int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial L}{\partial q} \delta q \,\mathrm{d}t +\int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\,\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t} \delta q \,\mathrm{d}t\\ &&\,\dots\,\delta \dot{q} = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}\delta q \\ &=&\int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial L}{\partial q} \delta q \,\mathrm{d}t +\left[\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\,\delta q \right]_{t_1}^{t_2} -\int_{t_1}^{t_2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\,\delta q \,\mathrm{d}t\\ &&\,\dots\, \href{https://shikitenkai.blogspot.com/2020/02/blog-post_7.html}{\int_{a}^{b} fg \,\mathrm{d}x=\left[fG\right]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} f'G \mathrm{d}x}\\ &=&\int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial L}{\partial q} \delta q \,\mathrm{d}t -\int_{t_1}^{t_2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\,\delta q \,\mathrm{d}t\\ &&\,\dots\,\left[\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\,\delta q \right]_{t_1}^{t_2}=0 \,\dots\,\delta q(t_1)=\delta q(t_2)=0 \\ &=&\int_{t_1}^{t_2} \left\{\frac{\partial L}{\partial q} \delta q - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\,\delta q \right\}\,\mathrm{d}t\\ &=&\int_{t_1}^{t_2} \left\{\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right\}\delta q \,\mathrm{d}t \end{eqnarray*}$$ 任意の\(\delta q\)において\(\delta S=0\)となるには\(\{\}\)の中が常に0となる必要がある． $$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial q} -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial L}{\partial\dot{q}}&=&0\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial L}{\partial\dot{q}} -\frac{\partial L}{\partial q}&=&0\\ \end{eqnarray*}$$ ラグランジアンに2階以上の\(q\)の微分が含まれないのはつまり，位置と速度でその後の運動が決まること合致する．