中点同士の距離と等しい距離の点が中点以外にもう一つできてしまう場合の三角形はどんな三角形か．

疑問

三角形 $\mathrm{△}ABC$ において，辺 $AB$ の中点 $N$ を取り，辺 $AC$の半分を半径とする円を描いた時， この円が辺 $BC$と交わるのは中点連結定理の通り，辺 $BC$の中点が一つ必ずあるが，それ以外に辺 $BC$上に交点を持つ場合はどのような条件か？

前提条件

三角形 $\mathrm{△}ABC$ を考えるにあたり，辺 $BC$ になるように拡大縮小し，それを$x$ 軸と重なるように回転させます．この操作により，一般性は失われないと考えます．
これにより，点$A$の座標のみを考えます．

座標は次のように設定します． $$\begin{array}{rcl}A& =& (x_A,y_A)\\ B& =& (x_B,y_B)=(0,0)\\ C& =& (x_C,y_C)=(1,0)\end{array}$$ 辺 $AB$ の中点 $N$は次のように決まります． $$\begin{array}{rcl}N& =& (\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2})\\ & =& (\frac{x_A+0}{2},\frac{y_A+0}{2})\\ & =& (\frac{x_A}{2},\frac{y_A}{2})\end{array}$$ 辺 $BC$ の中点 $M$は次のように決まります． $$\begin{array}{rcl}M& =& (\frac{x_B+x_C}{2},\frac{y_B+y_C}{2})\\ & =& (\frac{0+1}{2},\frac{0+0}{2})\\ & =& (\frac{1}{2},0)\end{array}$$ また辺 $AC$の長さの平方は，頂点$A,C$の具体的な座標を用いて次のように決まります． $$\begin{array}{rcl}|AC{|}^2& =& (x_A-x_C{)}^2+(y_A-y_C{)}^2\\ & =& (x_A-1{)}^2+(y_A-0{)}^2\\ & =& (x_A-1{)}^2+y_A^2\end{array}$$

円の方程式を作る

円の中心を$(x_{\mathrm{center}},y_{\mathrm{center}})$，円の半径を$r$とすると，円の式は次のようになります． $$\begin{array}{rcl}(x-x_{\mathrm{center}}{)}^2+(y-y_{\mathrm{center}}{)}^2& =& r^2\end{array}$$ 円の中心に点$M$の座標を，円の半径に辺 $AC$の長さの半分を代入します． $$\begin{array}{rcl}{(x-\frac{x_A}{2})}^2+{(y-\frac{y_A}{2})}^2& =& {\left(\frac{|AC|}{2}\right)}^2\end{array}$$ 右辺を展開して辺 $AC$の長さの平方を作ります． $$\begin{array}{rcl}{(x-\frac{x_A}{2})}^2+{(y-\frac{y_A}{2})}^2& =& {\left(\frac{|AC|}{2}\right)}^2\\ & =& \frac{|AC{|}^2}{2^2}\\ & =& \frac{|AC{|}^2}{4}\end{array}$$ ここに辺 $AC$の長さを頂点$A,C$の具体的な座標を用いたものに置き換えます． $$\begin{array}{rcl}{(x-\frac{x_A}{2})}^2+{(y-\frac{y_A}{2})}^2& =& \frac{|AC{|}^2}{4}\\ & =& \frac{(x_A-1{)}^2+y_A^2}{4}\end{array}$$

円の方程式と辺 $BC$との交点を求める

回転させたために，辺 $BC$は$x$軸$(y=0)$となっています．よって円の式の$y$を$0$として$x$ついて解きます． $$\begin{array}{rcl}{(x-\frac{x_A}{2})}^2+{(y-\frac{y_A}{2})}^2& =& \frac{(x_A-1{)}^2+y_A^2}{4}\\ {(x-\frac{x_A}{2})}^2+{(0-\frac{y_A}{2})}^2& =& \frac{(x_A-1{)}^2+y_A^2}{4}\cdots y=0\\ {(x-\frac{x_A}{2})}^2+\frac{y_A^2}{4}& =& \frac{(x_A-1{)}^2+y_A^2}{4}\\ \frac{4}{4}{(x-\frac{x_A}{2})}^2+\frac{y_A^2}{4}& =& \frac{(x_A-1{)}^2+y_A^2}{4}\\ 4{(x-\frac{x_A}{2})}^2\cancel{+y_A^2}& =& (x_A-1{)}^2\cancel{+y_A^2}\cdots \mathrm{両}\mathrm{辺}4\mathrm{倍}\mathrm{し}\mathrm{た}．\\ 4{(x-\frac{x_A}{2})}^2& =& (x_A-1{)}^2\\ {(x-\frac{x_A}{2})}^2& =& \frac{(x_A-1{)}^2}{4}\\ x-\frac{x_A}{2}& =& \pm \sqrt{\frac{(x_A-1{)}^2}{4}}\\ & =& \pm \frac{x_A-1}{2}\\ x& =& \frac{x_A}{2}\pm \frac{x_A-1}{2}\\ & =& \frac{x_A\pm (x_A-1)}{2}\cdots y_A\mathrm{に}\mathrm{よ}\mathrm{ら}\mathrm{な}\mathrm{い}\mathrm{こ}\mathrm{と}\mathrm{が}\mathrm{わ}\mathrm{か}\mathrm{る}．\end{array}$$
この結果から，$x$は$y_A$ に依存しないことがわかります．また，根号が外れているため，虚数解にはなりません．
この式は「中点でないのに中線定理の関係式に当てはめると成立する点ができてしまう場合の三角形はどんな三角形か．」でもでてきます．

場合分けで考える

$\pm$ 以降が0の時(重解)
$\pm$ 以降 $$\begin{array}{rcl}(x_A-1)& =& 0\\ x_A& =& 1\end{array}$$ これを代入する． $$\begin{array}{r}x=\frac{x_A+(x_A-1)}{2}=\frac{1\pm (1-1)}{2}=\frac{1}{2}\text{（辺 }BC\text{ の中点）}\end{array}$$ $\pm$ がマイナスの時 $$\begin{array}{r}{x}_{-}=\frac{x_A-(x_A-1)}{2}=\frac{1}{2}\text{（辺 }BC\text{ の中点）}\end{array}$$ この場合，$y_A$ だけでなく $x_A$ にも依存しません．この時も，辺 $BC$ の中点となります．
$\pm$ がプラスの時 $$\begin{array}{r}{x}_{+}=\frac{x_A+(x_A-1)}{2}=\frac{2x_A-1}{2}=x_A-\frac{1}{2}\end{array}$$ この式は単調増加凾数ですから，$x_A$が増えると$x_{+}$が増え，$x_A$が減ればと$x_{+}$が減る関係です．
ここから $x_A$ を求めると， $$\begin{array}{r}{x}_A=\frac{2x_{+}+1}{2}=x_{+}+\frac{1}{2}\end{array}$$ $x_A$は具体的には，次のようになります． $$\begin{array}{rcl}{x}_{+}=0& \mathrm{の}\mathrm{時}，& x_A=\frac{1}{2}\\ x_{+}=1& \mathrm{の}\mathrm{時}，& x_A=\frac{3}{2}\end{array}$$

まとめ

$x_{-}$側の解

$x_{-}=\frac{1}{2}$（中点）は常に成立します．

$x_A\in (\frac{1}{2},\frac{3}{2})\setminus \{1\}$

この範囲では，$x_{+}$側の解として別の $BC$ 上の中点でない点も辺$BC$上に交点を持ちます．したがって，交点を持つのは$x_{-}$側の 解である中点と，この「中点でない点」の2点となります．

$x_A=1$

この場合，$x_{+},x_{-}=\frac{1}{2}$ となり，$x_{+}=x_{-}$ で重解となります．したがって，成立するのは $x_{+},x_{-}=\frac{1}{2}$ の重解であり，中点の1点だけとなります．この時，$x_A=x_C$ であり，$\mathrm{△}ABC$ は $\mathrm{\angle }C$ を直角とする直角三角形です．

$x_A\notin (\frac{1}{2},\frac{3}{2})\setminus \{1\}$

この場合，$x_{+}$ の別の点は $BC$ 上の点とはならないため，成立するのは $x_{-}$側の中点の1点だけとなります．

以上から，辺 $AB$ の中点 $N$ を取り，辺 $AC$の半分を半径とする円を描いた時， この円が辺 $BC$と交わるのが，中点$M$以外に交点を持つ$\mathrm{△}ABC$は， $BC$を$x$軸とする座標系において点$A$の$x$座標の値が，点$C$の$x$座標を中心として前後$\frac{|BC|}{2}$分の幅の間にあるときです．
ただし範囲内でも点$C$の$x$座標と等しい時は，中点$M$だけの1つになります．

中点でないのに中線定理の関係式に当てはめると成立する点ができてしまう場合の三角形はどんな三角形か．

疑問

三角形 $\mathrm{△}ABC$ において，辺 $BC$ の中点 $M$ を取ると，中線定理により次の関係式が成り立ちます． $$\begin{array}{rcl}|AB{|}^2+|AC{|}^2& =& 2(|BM{|}^2+|AM{|}^2)\text{（中点 }M\text{ の場合）}\end{array}$$
ここで，辺 $BC$ 上の任意の点 $P(t)$ に対しても同様の式が成り立つか，またその条件を確認します．変数 $t$ は，点 $P$ の位置を表し，$B$ 側を $0$，$C$ 側を $1$ とします． $$\begin{array}{rcl}|AB{|}^2+|AC{|}^2& =& 2(|BP(t){|}^2+|AP(t){|}^2)\text{（点 }P(t)\text{ の場合）}\end{array}$$

前提条件

三角形 $\mathrm{△}ABC$ を考えるにあたり，辺 $BC$ の長さが $1$ になるように拡大縮小し，それを$x$ 軸と重なるように回転させます．この操作により，一般性は失われないと考えます．
これにより，点$A$の座標のみを考えます．

座標は次のように設定します． $$\begin{array}{rcl}A& =& (x_A,y_A)\\ B& =& (x_B,y_B)=(0,0)\\ C& =& (x_C,y_C)=(1,0)\\ P& =& (x_P,y_P)=((x_C-x_B)t+x_B,(y_C-y_B)t+y_B)=(t,0)(t\in [0,1],BC\mathrm{上}\mathrm{の}\mathrm{点})\end{array}$$

式を変形して $t$ の方程式を作る

次の式を考えます． $$\begin{array}{r}|AB{|}^2+|AC{|}^2=2(|BP{|}^2+|AP{|}^2)\end{array}$$ ここで，点 $P$ の位置を考慮すると，次のように変形できます． $$\begin{array}{r}|AB{|}^2+|AC{|}^2=2\{(|BC|t{)}^2+|AP{|}^2\}\end{array}$$ ここで，次のように定義します． $$\begin{array}{rcl}|a{|}^2& =& |BC{|}^2\\ |b{|}^2& =& |AC{|}^2\\ |c{|}^2& =& |AB{|}^2\\ |AP{|}^2& =& (x_P-x_A{)}^2+(y_P-y_A{)}^2\\ c_x& =& x_A-x_B\\ c_y& =& y_A-y_B\end{array}$$
これを用いて式を変形を進めると， $$\begin{array}{rcl}|c{|}^2+|b{|}^2& =& 2\{(|a|t{)}^2+(x_P-x_A{)}^2+(y_P-y_A{)}^2\}\\ & =& 2[|a{|}^2{t}^2+{\{(x_C-x_B)t+x_B-x_A\}}^2+{\{(y_C-y_B)t+y_B-y_A\}}^2]\\ & =& 2[|a{|}^2{t}^2+{\{(x_C-x_B)t-(x_A-x_B)\}}^2+{\{(y_C-y_B)t-(y_A-y_B)\}}^2]\\ & =& 2\{|a{|}^2{t}^2+(a_{x}t-c_x{)}^2+(a_{y}t-c_y{)}^2\}\\ & =& 2\{|a{|}^2{t}^2+a_x^2{t}^2-2a_x{c}_{x}t+c_x^2+a_y^2{t}^2-2a_y{c}_{y}t+c_y^2\}\\ & =& 2\{|a{|}^2{t}^2+(a_x^2+a_y^2)t^2-2t(a_x{c}_x+a_y{c}_y)+(c_x^2+c_y^2)\}\\ & =& 2(|a{|}^2{t}^2+|a{|}^2{t}^2-2t\cdot |a||c|\cos \left(\mathrm{\angle }B\right)+|c{|}^2)\cdots a_x{c}_x+a_y{c}_y=|a||c|\cos \left(\mathrm{\angle }B\right)\\ & =& 2(2|a{|}^2{t}^2-2|a||c|\cos \left(\mathrm{\angle }B\right)\cdot t+|c{|}^2)\\ & =& 4|a{|}^2{t}^2-4|a||c|\cos \left(\mathrm{\angle }B\right)t+2|c{|}^2\end{array}$$ となります．
ここで左辺を移項します． $$\begin{array}{r}\\ 0& =& 4|a{|}^2{t}^2-4|a||c|\cos \left(\mathrm{\angle }B\right)t+2|c{|}^2-|c{|}^2-|b{|}^2\\ & =& 4|a{|}^2{t}^2-4|a||c|\cos \left(\mathrm{\angle }B\right)t+|c{|}^2-|b{|}^2\\ & =& 4|a{|}^2{t}^2-4|a|(s|a|)\cos \left(\mathrm{\angle }B\right)t+(s|a|{)}^2-(r|a|{)}^2\cdots |b|=r|a|,|c|=s|a|\\ & =& 4|a{|}^2\{t^2-s\cos \left(\mathrm{\angle }B\right)t+\frac{s^2-r^2}{4}\}\\ & =& t^2-s\cos \left(\mathrm{\angle }B\right)t+\frac{s^2-r^2}{4}\end{array}$$ まず$s\cos \left(\mathrm{\angle }B\right)$ですが，$s$ は辺 $AB=c$ と辺 $BC=a$ の比率であり，辺 $BC$ の長さ$|a|$は $1$としていますから，$s$は辺 $AB=c$の長さです．
点 $B$ は $(0,0)$ で原点ですから，$s\cos \left(\mathrm{\angle }B\right)$は点$A$の$x$座標となります． $$\begin{array}{rcl}s\cos \left(\mathrm{\angle }B\right)& =& x_A\end{array}$$ また，$r$の平方を点$A=(x_A,y_A)$及び点$C=(1,0)$の座標から以下のようになります． $$\begin{array}{rcl}{r}^2& =& |b{|}^2\\ & =& (x_A-x_C{)}^2+(y_A-y_C{)}^2\\ & =& (x_A-1{)}^2+(y_A-0{)}^2\\ & =& (x_A-1{)}^2+y_A^2\end{array}$$ $s$の平方を点$A=(x_A,y_A)$及び点$B=(0,0)$の座標から以下のようになります． $$\begin{array}{rcl}{s}^2& =& |c{|}^2\\ & =& (x_A-x_B{)}^2+(y_A-y_B{)}^2\\ & =& (x_A-0{)}^2+(y_A-0{)}^2\\ & =& x_A^2+y_A^2\end{array}$$ これらを用いて方程式の式変形を続けます． $$\begin{array}{rcl}0& =& t^2-s\cos \left(\mathrm{\angle }B\right)t+\frac{s^2-r^2}{4}\\ & =& t^2-x_{A}t+\frac{(x_A^2+y_A^2)-\{(x_A-1{)}^2+y_A^2\}}{4}\\ & =& t^2-x_{A}t+\frac{\cancel{x_A^2}+\cancel{y_A^2}\cancel{-x_A^2}+x_A-1\cancel{-y_A^2}}{4}\\ & =& t^2-x_{A}t+\frac{x_A-1}{4}\end{array}$$

二次方程式なので解の公式を用いる

解の公式を適用します． $$\begin{array}{rcl}t& =& \frac{-(-x_A)\pm \sqrt{(-x_A{)}^2-4\cdot \frac{x_A-1}{4}}}{2}\\ & =& \frac{x_A\pm \sqrt{x_A^2-x_A+1}}{2}\\ & =& \frac{x_A\pm \sqrt{(x_A-1{)}^2}}{2}\\ & =& \frac{x_A\pm (x_A-1)}{2}\end{array}$$ この結果から，$t$は$y_A$ に依存しないことがわかります．また，根号が外れているため，虚数解にはなりません．
この式は「中点同士の距離と等しい距離の点が中点以外にもう一つできてしまう場合の三角形はどんな三角形か．」でもでてきます．

場合分けで考える

$\pm$ 以降が0の時(重解)
$\pm$ 以降 $$\begin{array}{rcl}(x_A-1)& =& 0\\ x_A& =& 1\end{array}$$ これを代入してみます． $$\begin{array}{r}{t}_{-}=\frac{x_A+(x_A-1)}{2}=\frac{1\pm (1-1)}{2}=\frac{1}{2}\text{（辺 }BC\text{ の中点）}\end{array}$$ $\pm$ がマイナスの時 $$\begin{array}{r}{t}_{-}=\frac{x_A-(x_A-1)}{2}=\frac{1}{2}\end{array}$$ この場合，$y_A$ だけでなく $x_A$ にも依存しません．この時，点 $P$ は次のようになります． $$\begin{array}{r}P(t=\frac{1}{2})=M\text{（辺 }BC\text{ の中点）}\end{array}$$ $\pm$ がプラスの時 $$\begin{array}{r}{t}_{+}=\frac{x_A+(x_A-1)}{2}=\frac{2x_A-1}{2}=x_A-\frac{1}{2}\end{array}$$ この式は単調増加凾数ですから，$x_A$が増えると$t_{+}$が増え，$x_A$が減ればと$t_{+}$が減る関係です．
ここから $x_A$ を求めると， $$\begin{array}{r}{x}_A=\frac{2t_{+}+1}{2}=t_{+}+\frac{1}{2}\end{array}$$ $x_A$は具体的には，次のようになります． $$\begin{array}{rcl}{t}_{+}=0& \mathrm{の}\mathrm{時}，& x_A=\frac{1}{2}\\ t_{+}=1& \mathrm{の}\mathrm{時}，& x_A=\frac{3}{2}\end{array}$$

まとめ

$t_{-}$側の解

$t_{-}=\frac{1}{2}$（中点）は常に成立します．

$x_A\in (\frac{1}{2},\frac{3}{2})\setminus \{1\}$

この範囲では，$t_{+}$側の解として別の $BC$ 上の中点でない点も関係式を満たします．したがって，成立するのは$t_{-}$側の 解である中点と，この「中点でない点」の2点となります．

$x_A=1$

この場合，$t_{+},t_{-}=\frac{1}{2}$ となり，$t_{+}=t_{-}$ で重解となります．したがって，成立するのは $t_{+},t_{-}=\frac{1}{2}$ の重解であり，中点の1点だけとなります．この時，$x_A=x_C$ であり，$\mathrm{△}ABC$ は $\mathrm{\angle }C$ を直角とする直角三角形です．

$x_A\notin (\frac{1}{2},\frac{3}{2})\setminus \{1\}$

この場合，$t_{+}$ の別の点は $BC$ 上の点とはならないため，成立するのは $t_{-}$側の中点の1点だけとなります．

以上から，中線定理の最初に書いた関係式が$BC$の中点以外でも成立する点を$BC$上に持つ$\mathrm{△}ABC$は，$BC$を$x$軸とする座標系において点$A$の$x$座標の値が，点$C$の$x$座標を中心として前後$\frac{|BC|}{2}$分の幅の間にあるときです． 「中点でない点」を$BC$上に持つので，関係式が成立する点の数は2つになります．ただしその範囲外もしくは，範囲内でも点$C$の$x$座標と等しい時は，関係式が成立する点の数は中点の1つだけになります．

Bezier曲線上の各点における接線ベクトルqと，その各点から任意の点zへのベクトルpとの内積が0となる媒介変数tを探す

Bezier曲線上の各点における接線ベクトル$\overrightarrow{q}$と，その各点から任意の点$z$へのベクトル$\overrightarrow{p}$との内積が$0$となる媒介変数$t$を探す

準備1

$$\begin{array}{rcl}(1-t{)}^3& =& 1-3t+3t^2-t^3\\ (1-t{)}^{2}t& =& t-2t^2+t^3\\ (1-t)t^2& =& t^2-t^3\\ (1-t{)}^2& =& 1-2t+t^2\\ (1-t)t& =& t-t^2\end{array}$$

準備2

$$\begin{array}{r}\\ P_{\mathrm{original}0}& =& (x_0,y_0)\cdots \mathrm{通}\mathrm{過}\mathrm{点}\\ P_{\mathrm{original}1}& =& (x_1,y_1)\cdots \mathrm{制}\mathrm{御}\mathrm{点}\\ P_{\mathrm{original}2}& =& (x_2,y_2)\cdots \mathrm{制}\mathrm{御}\mathrm{点}\\ P_{\mathrm{original}3}& =& (x_3,y_3)\cdots \mathrm{通}\mathrm{過}\mathrm{点}\\ Z& =& (z_x,z_y)\cdots \mathrm{任}\mathrm{意}\mathrm{の}\mathrm{点}\end{array}$$ $Z$を原点$0,0$に移動させるように各点を平行移動する．平行移動しても求める$t$は変わらない． $$\begin{array}{r}\\ P_0& =& (x_0-z_x,y_0-z_y)=(a,p)\cdots Z\mathrm{を}\mathrm{原}\mathrm{点}\mathrm{に}\mathrm{移}\mathrm{動}\mathrm{さ}\mathrm{せ}\mathrm{る}\mathrm{よ}\mathrm{う}\mathrm{に}\mathrm{平}\mathrm{行}\mathrm{移}\mathrm{動}\mathrm{し}\mathrm{た}\mathrm{通}\mathrm{過}\mathrm{点}\\ P_1& =& (x_1-z_x,y_1-z_y)=(b,q)\cdots Z\mathrm{を}\mathrm{原}\mathrm{点}\mathrm{に}\mathrm{移}\mathrm{動}\mathrm{さ}\mathrm{せ}\mathrm{る}\mathrm{よ}\mathrm{う}\mathrm{に}\mathrm{平}\mathrm{行}\mathrm{移}\mathrm{動}\mathrm{し}\mathrm{た}\mathrm{制}\mathrm{御}\mathrm{点}\\ P_2& =& (x_2-z_x,y_2-z_y)=(c,r)\cdots Z\mathrm{を}\mathrm{原}\mathrm{点}\mathrm{に}\mathrm{移}\mathrm{動}\mathrm{さ}\mathrm{せ}\mathrm{る}\mathrm{よ}\mathrm{う}\mathrm{に}\mathrm{平}\mathrm{行}\mathrm{移}\mathrm{動}\mathrm{し}\mathrm{た}\mathrm{制}\mathrm{御}\mathrm{点}\\ P_3& =& (x_3-z_x,y_3-z_y)=(d,s)\cdots Z\mathrm{を}\mathrm{原}\mathrm{点}\mathrm{に}\mathrm{移}\mathrm{動}\mathrm{さ}\mathrm{せ}\mathrm{る}\mathrm{よ}\mathrm{う}\mathrm{に}\mathrm{平}\mathrm{行}\mathrm{移}\mathrm{動}\mathrm{し}\mathrm{た}\mathrm{通}\mathrm{過}\mathrm{点}\end{array}$$

3次のベジェ曲線(媒介変数$t$表示)

$$\begin{array}{r}\\ \mathrm{Bezier}(t|P_0,P_1,P_2,P_3)& =& (X(t|a,b,c,d),Y(t|p,q,r,s))t\in [0,1]\cdots 3\mathrm{次}\mathrm{の}\mathrm{ベ}\mathrm{ジ}\mathrm{ェ}\mathrm{曲}\mathrm{線}\\ X(t|a,b,c,d)& =& a(1-t{)}^3+3b(1-t{)}^{2}t+3c(1-t)t^2+d{t}^3\\ & =& a(1-3t+3t^2-t^3)+3b(t-2t^2+t^3)+3c(t^2-t^3)+d{t}^3\cdots \mathrm{準}\mathrm{備}\mathrm{参}\mathrm{照}\\ & =& a-3at+3a{t}^2-a{t}^3+3bt-6b{t}^2+3b{t}^3+3c{t}^2-3c{t}^3+d{t}^3\\ & =& a-3at+3bt+3a{t}^2-6b{t}^2+3c{t}^2-a{t}^3+3b{t}^3-3c{t}^3+d{t}^3\\ & =& a+(-3a+3b)t+(3a-6b+3c)t^2+(-a+3b-3c+d)t^3\\ & =& A+3Bt+3C{t}^2+D{t}^3\cdots A=a,B=-a+b,C=a-2b+c,D=-a+3b-3c+d\\ Y(t|p,q,r,s)& =& p(1-t{)}^3+3q(1-t{)}^{2}t+3r(1-t)t^2+s{t}^3\\ & =& a+(-3p+3q)t+(3p-6q+3r)t^2+(-p+3q-3r+s)t^3\\ & =& P+3Qt+3R{t}^2+S{t}^3\cdots P=p,Q=-p+q,R=p-2q+r,S=-p+3q-3r+s\end{array}$$

3次のベジェ曲線の$X(t),Y(t)$の微分

$$\begin{array}{r}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}X(t)& =& 3B+6Ct+3D{t}^2\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}Y(t)& =& 3Q+6Rt+3S{t}^2\end{array}$$ 任意の点$Z(z_x,z_y)$とBezier曲線上の点$\mathrm{Bezier}(t|P_{\mathrm{original}0},P_{\mathrm{original}1},P_{\mathrm{original}2},P_{\mathrm{original}3})$とのベクトル $$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{p}& =& (X(t|P_{\mathrm{original}0},P_{\mathrm{original}1},P_{\mathrm{original}2},P_{\mathrm{original}3})-z_x,Y(t|P_{\mathrm{original}0},P_{\mathrm{original}1},P_{\mathrm{original}2},P_{\mathrm{original}3})-z_y)\end{array}$$ 平行移動した$P_0=(a,p),P_1=(b,q),P_2=(c,r),P_3=(d,s)$を用いると任意の点$Z(z_x,z_y)$は原点$(0,0)$になるので以下のように表せる． $$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{p}& =& (X(t|a,b,c,d),Y(t|p,q,r,s))\\ & =& (A+3Bt+3C{t}^2+D{t}^3,P+3Qt+3R{t}^2+S{t}^3)\end{array}$$ またこの時のBezier曲線上の点の接線は以下となる． $$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{q}& =& (\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}X(t|a,b,c,d),\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}Y(t|p,q,r,s))\\ & =& (3B+6Ct+3D{t}^2,3Q+6Rt+3S{t}^2)\end{array}$$ この両ベクトルが直角をなす時，つまり内積が$0$となる時の$t$を求める． $$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}& =& |\overrightarrow{p}||\overrightarrow{q}|\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)=|\overrightarrow{p}||\overrightarrow{q}|\cdot 0=0\cdots \theta \mathrm{は}\overrightarrow{p}\mathrm{と}\overrightarrow{q}\mathrm{の}\mathrm{な}\mathrm{す}\mathrm{角}\mathrm{で}\mathrm{直}\mathrm{角}\frac{\pi }{2}\mathrm{と}\mathrm{す}\mathrm{る}\mathrm{の}\mathrm{で}\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)=0．\mathrm{よ}\mathrm{っ}\mathrm{て}\mathrm{内}\mathrm{積}\mathrm{全}\mathrm{体}\mathrm{も}0．\\ 0& =& \overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}=p_x{q}_x+p_y{q}_y\cdots \mathrm{内}\mathrm{積}\mathrm{の}\mathrm{成}\mathrm{分}\mathrm{表}\mathrm{示}\\ & =& X(t|a,b,c,d)(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}X(t|a,b,c,d))+Y(t|p,q,r,s)(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}Y(t|p,q,r,s))\\ & =& (A+3Bt+3C{t}^2+D{t}^3)(3B+6Ct+3D{t}^2)+(P+3Qt+3R{t}^2+S{t}^3)(3Q+6Rt+3S{t}^2)\\ & =& A(3B+6Ct+3D{t}^2)+3Bt(3B+6Ct+3D{t}^2)+3C{t}^2(3B+6Ct+3D{t}^2)+D{t}^3(3B+6Ct+3D{t}^2)\\ & & +P(3Q+6Rt+3S{t}^2)+3Qt(3Q+6Rt+3S{t}^2)+3R{t}^2(3Q+6Rt+3S{t}^2)+S{t}^3(3Q+6Rt+3S{t}^2)\\ & =& 3AB+6ACt+3AD{t}^2+9B^{2}t+18BC{t}^2+9BD{t}^3+9BC{t}^2+18C^2{t}^3+9CD{t}^4+3BD{t}^3+6CD{t}^4+3D^2{t}^5\\ & & +3PQ+6PRt+3PS{t}^2+9Q^{2}t+18QR{t}^2+9QS{t}^3+9QR{t}^2+18R^2{t}^3+9RS{t}^4+3QS{t}^3+6RS{t}^4+3S^2{t}^5\\ & =& 3AB+3(2AC+3B^2)t+3(AD+9BC)t^2+3(4BD+6C^2)t^3+3\cdot 5CD{t}^4+3D^2{t}^5\\ & & +3PQ+3(2PR+3Q^2)t+3(PS+9QR)t^2+3(4QS+6R^2)t^3+3\cdot 5RS{t}^4+3S^2{t}^5\\ & =& 3(AB+(2AC+3B^2)t+(AD+9BC)t^2+(4BD+6C^2)t^3+5CD{t}^4+D^2{t}^5)\\ & & +3(PQ+(2PR+3Q^2)t+(PS+9QR)t^2+(4QS+6R^2)t^3+5RS{t}^4+S^2{t}^5)\\ 0& =& AB+(2AC+3B^2)t+(AD+9BC)t^2+(4BD+6C^2)t^3+5CD{t}^4+D^2{t}^5\\ & & +PQ+(2PR+3Q^2)t+(PS+9QR)t^2+(4QS+6R^2)t^3+5RS{t}^4+S^2{t}^5\cdots \mathrm{両}\mathrm{辺}3\mathrm{で}\mathrm{割}\mathrm{っ}\mathrm{た}．\mathrm{左}\mathrm{辺}\mathrm{は}0\mathrm{な}\mathrm{の}\mathrm{で}\mathrm{変}\mathrm{わ}\mathrm{ら}\mathrm{ず}．\\ & =& (AB+PQ)+(2AC+3B^2+2PR+3Q^2)t+(AD+9BC+PS+9QR)t^2+(4BD+6C^2+4QS+6R^2)t^3+(5CD+5RS)t^4+(D^2+S^2)t^5\\ & =& {\alpha }_0+{\alpha }_{1}t+{\alpha }_2{t}^2+{\alpha }_3{t}^3+{\alpha }_4{t}^4+{\alpha }_5{t}^5\\ & & \cdots {\alpha }_0=AB+PQ\\ & & \cdots {\alpha }_1=2AC+3B^2+2PR+3Q^2\\ & & \cdots {\alpha }_2=AD+9BC+PS+9QR\\ & & \cdots {\alpha }_3=4BD+6C^2+4QS+6R^2\\ & & \cdots {\alpha }_4=5CD+5RS\\ & & \cdots {\alpha }_5=D^2+S^2\\ & & \cdots A=a,B=-a+b,C=a-2b+c,D=-a+3b-3c+d\\ & & \cdots P=p,Q=-p+q,R=p-2q+r,S=-p+3q-3r+s\end{array}$$
$t$を求めるには この5次方程式を解けばよいが，5次ということで数値計算で解く等が必要．
解は5つあるわけだが，その内実数であるものを選ぶ．
また，$t\in [0,1]$であるので，$t<0$なら$t=0$，$t>1$なら$t=1$とする．
この式はBezier曲線と任意点との距離の凾数を微分して得る方程式に等しい．

任意の点とBezier曲線とで最小となる長さ(距離)を求める

任意の点$Z$とBezier曲線$\mathrm{Bezier}(t)$とで最小となる長さ$L$(距離)を求める

3次のベジェ曲線(媒介変数$t$表示)

任意の点$Z$とBezier曲線$\mathrm{Bezier}(t)$との長さ$L$

$$\begin{array}{rcl}{\mathrm{Anchor}}_0& =& (a,p)\cdots \mathrm{通}\mathrm{過}\mathrm{点}\\ {\mathrm{Handle}}_0& =& (b,q)\cdots \mathrm{制}\mathrm{御}\mathrm{点}\\ {\mathrm{Handle}}_1& =& (c,r)\cdots \mathrm{制}\mathrm{御}\mathrm{点}\\ {\mathrm{Anchor}}_1& =& (d,s)\cdots \mathrm{通}\mathrm{過}\mathrm{点}\\ \mathrm{Bezier}(t|{\mathrm{Anchor}}_0,{\mathrm{Handle}}_0,{\mathrm{Handle}}_1,{\mathrm{Anchor}}_1)& =& (X(t|a,b,c,d),Y(t|p,q,r,s))t\in [0,1]\\ & & \cdots 3\mathrm{次}\mathrm{の}\mathrm{ベ}\mathrm{ジ}\mathrm{ェ}\mathrm{曲}\mathrm{線}\end{array}$$ $$\begin{array}{r}\\ X(t|a,b,c,d)& =& a(1-t{)}^3+3b(1-t{)}^{2}t+3c(1-t)t^2+d{t}^3\\ & =& a(1-3t+3t^2-t^3)+3b(t-2t^2+t^3)+3c(t^2-t^3)+d{t}^3\\ & =& a+3(-a+b)t+3(a-2b+c)t^2+(-a+3b-3c+d)t^3\\ & =& A+3Bt+3C{t}^2+D{t}^3\cdots A=a,B=-a+b,C=a-2b+c,D=-a+3b-3c+d\\ & =& X(t|A,B,C,D)\\ Y(t|p,q,r,s)& =& p(1-t{)}^3+3q(1-t{)}^{2}t+3r(1-t)t^2+s{t}^3\\ & =& a+3(-p+q)t+3(p-2q+r)t^2+(-p+3q-3r+s)t^3\\ & =& P+3Qt+3R{t}^2+S{t}^3\cdots P=p,Q=-p+q,R=p-2q+r,S=-p+3q-3r+s\\ & =& Y(t|P,Q,R,S)\end{array}$$

3次のベジェ曲線の$X(t),Y(t)$の微分

$$\begin{array}{r}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}X(t)& =& 3B+6Ct+3D{t}^2\\ & =& 3(B+2Ct+D{t}^2)\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}Y(t)& =& 3Q+6Rt+3S{t}^2\\ & =& 3(Q+2Rt+S{t}^2)\end{array}$$

任意の点$Z$からベジェ曲線の$X(t),Y(t)$の距離

$$\begin{array}{r}\\ Z& =& (z_x,z_y)\cdots \mathrm{任}\mathrm{意}\mathrm{の}\mathrm{点}\\ L& =& \sqrt{{(X(t|a,b,c,d)-z_x)}^2+{(Y(t|p,q,r,s)-z_y)}^2}\cdots \mathrm{任}\mathrm{意}\mathrm{の}\mathrm{点}z\mathrm{と}Bezier\mathrm{曲}\mathrm{線}\mathrm{と}\mathrm{の}\mathrm{距}\mathrm{離}\end{array}$$ $Z=(0,0)$になるように$z_x,z_y$だけ，$a,b,c,d,p,q,r,s$を平行移動する．距離は変わらないので$L$． $$\begin{array}{r}\\ L& =& \sqrt{X^2(t|a-z_x,b-z_x,c-z_x,d-z_x)+Y^2(t|p-z_y,q-z_y,r-z_y,s-z_y)}\end{array}$$ 平行移動後の係数を改めて$a^{\prime }=a-z_x,b^{\prime }=b-z_x,c^{\prime }=c-z_x,d^{\prime }=d-z_x,p^{\prime }=p-z_y,q^{\prime }=q-z_y,r^{\prime }r-z_y,s=s^{\prime }-z_y$と定義し直して計算を続ける． $$\begin{array}{r}\\ L& =& \sqrt{{(X(t|a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime },d^{\prime }))}^2+{(Y(t|p^{\prime },q^{\prime },r^{\prime },s^{\prime }))}^2}\\ & =& \sqrt{{(X(t|A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }))}^2+{(Y(t|P^{\prime },Q^{\prime },R^{\prime },S^{\prime }))}^2}\\ & & \cdots A^{\prime }=a^{\prime },B^{\prime }=-a^{\prime }+b^{\prime },C^{\prime }=a^{\prime }-2b^{\prime }+c^{\prime },D^{\prime }=-a^{\prime }+3b^{\prime }-3c^{\prime }+d^{\prime }\\ & & \cdots P^{\prime }=p^{\prime },Q^{\prime }=-p^{\prime }+q^{\prime },R^{\prime }=p^{\prime }-2q^{\prime }+r^{\prime },S^{\prime }=-p^{\prime }+3q^{\prime }-3r^{\prime }+s^{\prime }\end{array}$$

$L$を極値とする$t$を求める

$$\begin{array}{rcl}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}L& =& 0\cdots L\mathrm{の}\mathrm{微}\mathrm{分}\mathrm{が}0\mathrm{と}\mathrm{な}\mathrm{る}t\mathrm{が}，L\mathrm{の}\mathrm{極}\mathrm{値}．\mathrm{そ}\mathrm{の}\mathrm{中}\mathrm{で}\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{の}\mathrm{距}\mathrm{離}L\mathrm{と}\mathrm{な}\mathrm{る}\mathrm{も}\mathrm{の}\mathrm{を}\mathrm{探}\mathrm{す}．\end{array}$$ $$\begin{array}{rcl}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}L& =& \frac{1}{2}{(X^2(t)+Y^2(t))}^{-\frac{1}{2}}\left\{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(X^2(t)+Y^2(t))\right\}\\ & =& \frac{1}{2}{(X^2(t)+Y^2(t))}^{-\frac{1}{2}}\{(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{X}^2(t))+(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{Y}^2(t))\}\\ & =& \frac{1}{2}{(X^2(t)+Y^2(t))}^{-\frac{1}{2}}\{2X(t)(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}X(t))+2Y(t)(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}Y(t))\}\\ & =& \frac{X(t)(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}X(t))+Y(t)(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}Y(t))}{\sqrt{X^2(t)+Y^2(t)}}\cdots \mathrm{分}\mathrm{母}\mathrm{は}\mathrm{常}\mathrm{に}0\mathrm{以}\mathrm{上}\mathrm{な}\mathrm{の}\mathrm{で}，0\mathrm{と}\mathrm{な}\mathrm{る}\mathrm{場}\mathrm{合}\mathrm{を}\mathrm{除}\mathrm{け}\mathrm{ば}，\mathrm{分}\mathrm{子}\mathrm{だ}\mathrm{け}\mathrm{考}\mathrm{え}\mathrm{れ}\mathrm{ば}\mathrm{よ}\mathrm{い}．\end{array}$$ $$\begin{array}{r}\\ 0& =& X(t)(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}X(t))+Y(t)(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}Y(t))\\ & =& (A^{\prime }+3B^{\prime }t+3C^{\prime }{t}^2+D^{\prime }{t}^3)\cdot 3(B^{\prime }+2C^{\prime }t+D^{\prime }{t}^2)+(P^{\prime }+3Q^{\prime }t+3R^{\prime }{t}^2+S^{\prime }{t}^3)\cdot 3(Q^{\prime }+2R^{\prime }t+S^{\prime }{t}^2)\\ & =& 3\{(A^{\prime }+3B^{\prime }t+3C^{\prime }{t}^2+D^{\prime }{t}^3)(B^{\prime }+2C^{\prime }t+D^{\prime }{t}^2)+(P^{\prime }+3Q^{\prime }t+3R^{\prime }{t}^2+S^{\prime }{t}^3)(Q^{\prime }+2R^{\prime }t+S^{\prime }{t}^2)\}\\ 0& =& (A^{\prime }+3B^{\prime }t+3C^{\prime }{t}^2+D^{\prime }{t}^3)(B^{\prime }+2C^{\prime }t+D^{\prime }{t}^2)+(P^{\prime }+3Q^{\prime }t+3R^{\prime }{t}^2+S^{\prime }{t}^3)(Q^{\prime }+2R^{\prime }t+S^{\prime }{t}^2)\cdots \mathrm{両}\mathrm{辺}3\mathrm{で}\mathrm{割}\mathrm{っ}\mathrm{た}．\mathrm{左}\mathrm{辺}\mathrm{は}0\mathrm{な}\mathrm{の}\mathrm{で}\mathrm{割}\mathrm{っ}\mathrm{て}\mathrm{も}\mathrm{変}\mathrm{わ}\mathrm{ら}\mathrm{な}\mathrm{い}．\\ & =& A^{\prime }(B^{\prime }+2C^{\prime }t+D^{\prime }{t}^2)+3B^{\prime }t(B^{\prime }+2C^{\prime }t+D^{\prime }{t}^2)+3C^{\prime }{t}^2(B^{\prime }+2C^{\prime }t+D^{\prime }{t}^2)+D^{\prime }{t}^3(B^{\prime }+2C^{\prime }t+D^{\prime }{t}^2)\\ & & +P^{\prime }(Q^{\prime }+2R^{\prime }t+S^{\prime }{t}^2)+3Q^{\prime }t(Q^{\prime }+2R^{\prime }t+S^{\prime }{t}^2)+3R^{\prime }{t}^2(Q^{\prime }+2R^{\prime }t+S^{\prime }{t}^2)+S^{\prime }{t}^3(Q^{\prime }+2R^{\prime }t+S^{\prime }{t}^2)\\ & =& A^{\prime }{B}^{\prime }+2A^{\prime }{C}^{\prime }t+A^{\prime }{D}^{\prime }{t}^2+3{B^{\prime }}^{2}t+6B^{\prime }{C}^{\prime }{t}^2+3B^{\prime }{D}^{\prime }{t}^3+3B^{\prime }{C}^{\prime }{t}^2+6{C^{\prime }}^2{t}^3+3C^{\prime }{D}^{\prime }{t}^4+B^{\prime }{D}^{\prime }{t}^3+2C^{\prime }{D}^{\prime }{t}^4+{D^{\prime }}^2{t}^5\\ & & +P^{\prime }{Q}^{\prime }+2P^{\prime }{R}^{\prime }t+P^{\prime }{S}^{\prime }{t}^2+3{Q^{\prime }}^{2}t+6Q^{\prime }{R}^{\prime }{t}^2+3Q^{\prime }{S}^{\prime }{t}^3+3Q^{\prime }{R}^{\prime }{t}^2+6{R^{\prime }}^2{t}^3+3R^{\prime }{S}^{\prime }{t}^4+Q^{\prime }{S}^{\prime }{t}^3+2R^{\prime }{S}^{\prime }{t}^4+{S^{\prime }}^2{t}^5\\ & =& A^{\prime }{B}^{\prime }+(2A^{\prime }{C}^{\prime }+3{B^{\prime }}^2)t+(A^{\prime }{D}^{\prime }+9B^{\prime }{C}^{\prime })t^2+(4B^{\prime }{D}^{\prime }+6{C^{\prime }}^2)t^3+5C^{\prime }{D}^{\prime }{t}^4+{D^{\prime }}^2{t}^5\\ & & +P^{\prime }{Q}^{\prime }+(2P^{\prime }{R}^{\prime }+3{Q^{\prime }}^2)t+(P^{\prime }{S}^{\prime }+9Q^{\prime }{R}^{\prime })t^2+(4Q^{\prime }{S}^{\prime }+6{R^{\prime }}^2)t^3+5R^{\prime }{S}^{\prime }{t}^4+{S^{\prime }}^2{t}^5\\ & =& A^{\prime \prime }+B^{\prime \prime }t+C^{\prime \prime }{t}^2+D^{\prime \prime }{t}^3+E^{\prime \prime }{t}^4+F^{\prime \prime }{t}^5\\ & & +P^{\prime \prime }+Q^{\prime \prime }t+R^{\prime \prime }{t}^2+S^{\prime \prime }{t}^3+T^{\prime \prime }{t}^4+U^{\prime \prime }{t}^5\\ & & \cdots A^{\prime \prime }=A^{\prime }{B}^{\prime },B^{\prime \prime }=2A^{\prime }{C}^{\prime }+3{B^{\prime }}^2,C^{\prime \prime }=A^{\prime }{D}^{\prime }+9B^{\prime }{C}^{\prime },D^{\prime \prime }=4B^{\prime }{D}^{\prime }+6{C^{\prime }}^2,E^{\prime \prime }=5C^{\prime }{D}^{\prime },F^{\prime \prime }={D^{\prime }}^2\\ & & \cdots P^{\prime \prime }=P^{\prime }{Q}^{\prime },Q^{\prime \prime }=2P^{\prime }{R}^{\prime }+3{Q^{\prime }}^2,R^{\prime \prime }=P^{\prime }{S}^{\prime }+9Q^{\prime }{R}^{\prime },S^{\prime \prime }=4Q^{\prime }{S}^{\prime }+6{R^{\prime }}^2,T^{\prime \prime }=5R^{\prime }{S}^{\prime },U^{\prime \prime }={S^{\prime }}^2\\ & =& (A^{\prime \prime }+P^{\prime \prime })+(B^{\prime \prime }+Q^{\prime \prime })t+(C^{\prime \prime }+R^{\prime \prime })t^2+(D^{\prime \prime }+S^{\prime \prime })t^3+(E^{\prime \prime }+T^{\prime \prime })t^4+(F^{\prime \prime }+U^{\prime \prime })t^5\\ & =& {\alpha }_0+{\alpha }_{1}t+{\alpha }_2{t}^2+{\alpha }_3{t}^3+{\alpha }_4{t}^4+{\alpha }_5{t}^5\\ & & \cdots {\alpha }_0=A^{\prime \prime }+P^{\prime \prime }=A^{\prime }{B}^{\prime }+P^{\prime }{Q}^{\prime }\\ & & \cdots {\alpha }_1=B^{\prime \prime }+Q^{\prime \prime }=2A^{\prime }{C}^{\prime }+3{B^{\prime }}^2+2P^{\prime }{R}^{\prime }+3{Q^{\prime }}^2\\ & & \cdots {\alpha }_2=C^{\prime \prime }+R^{\prime \prime }=A^{\prime }{D}^{\prime }+9B^{\prime }{C}^{\prime }+P^{\prime }{S}^{\prime }+9Q^{\prime }{R}^{\prime }\\ & & \cdots {\alpha }_3=D^{\prime \prime }+S^{\prime \prime }=4B^{\prime }{D}^{\prime }+6{C^{\prime }}^2+4Q^{\prime }{S}^{\prime }+6{R^{\prime }}^2\\ & & \cdots {\alpha }_4=E^{\prime \prime }+T^{\prime \prime }=5C^{\prime }{D}^{\prime }+5R^{\prime }{S}^{\prime }\\ & & \cdots {\alpha }_5=F^{\prime \prime }+U^{\prime \prime }={D^{\prime }}^2+{S^{\prime }}^2\\ \\ & & \cdots A^{\prime }=a^{\prime },B^{\prime }=-a^{\prime }+b^{\prime },C^{\prime }=a^{\prime }-2b^{\prime }+c^{\prime },D^{\prime }=-a^{\prime }+3b^{\prime }-3c^{\prime }+d^{\prime }\\ & & \cdots P^{\prime }=p^{\prime },Q^{\prime }=-p^{\prime }+q^{\prime },R^{\prime }=p^{\prime }-2q^{\prime }+r^{\prime },S^{\prime }=-p^{\prime }+3q^{\prime }-3r^{\prime }+s^{\prime }\\ \\ & & \cdots a^{\prime }=a-z_x,b^{\prime }=b-z_x,c^{\prime }=c-z_x,d^{\prime }=d-z_x\\ & & \cdots p^{\prime }=p-z_y,q^{\prime }=q-z_y,r^{\prime }r-z_y,s=s^{\prime }-z_y\end{array}$$
$t$を求めるには この5次方程式を解けばよいが，5次ということで数値計算で解く等が必要．
解は5つあるわけだが，その内実数であるものを選ぶ．
また，$t\in [0,1]$であるので，$t<0$なら$t=0$，$t>1$なら$t=1$とする．
この式は任意点からBezier曲線上の各点へ引いた線分の中で，接線とが直角に交わる時の点を求める方程式に等しい．

最小となる$L$を求める

得られた$t$は$L$を極値とするものなので，その中でも$L$が最小となるものを採用する．

lim x→π/2 cot(x) を求める

$\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{lim}\cot \left(x\right)$を求める

高階の微分を求めておく

準備として$\csc \left(x\right)$の微分を求める． $$\begin{array}{rcl}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\csc \left(x\right)& =& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{1}{\sin \left(x\right)}\\ & =& {\sin }^{-1}\left(x\right)\\ & =& -{\sin }^{-2}\left(x\right)(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin \left(x\right))\cdots u=\sin \left(x\right),f=u^{-1},\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=-u^{-2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\\ & =& -{\sin }^{-2}\left(x\right)(\cos \left(x\right))\\ & =& -\frac{\cos \left(x\right)}{{\sin }^2\left(x\right)}\\ & =& -\frac{1}{\sin \left(x\right)}\frac{\cos \left(x\right)}{\sin \left(x\right)}\\ & =& -\csc \left(x\right)\cot \left(x\right)\end{array}$$ 一階から順に求めておく． $$\begin{array}{rcl}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cot \left(x\right)& =& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\cos \left(x\right)}{\sin \left(x\right)}\\ & =& \frac{(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cos \left(x\right))\sin \left(x\right)-\cos \left(x\right)(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin \left(x\right))}{{\sin }^2\left(x\right)}\cdots {\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}\\ & & \cdots {\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }={\left(u{v}^{-1}\right)}^{\prime }=u{\left(v^{-1}\right)}^{\prime }+\left(u^{\prime }\right)v^{-1}=u(-v^{-2}{v}^{\prime })+\left(u^{\prime }\right)v^{-1}\cdot v{v}^{-1}=v^{-2}(u^{\prime }v-u{v}^{\prime })=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}\\ & =& \frac{(-\sin \left(x\right))\sin \left(x\right)-\cos \left(x\right)(\cos \left(x\right))}{{\sin }^2\left(x\right)}\\ & =& -\frac{{\sin }^2\left(x\right)+{\cos }^2\left(x\right)}{{\sin }^2\left(x\right)}\\ & =& -\frac{1}{{\sin }^2\left(x\right)}\\ & =& -{\csc }^2\left(x\right)\\ \\ \frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}\cot \left(x\right)& =& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-{\csc }^2\left(x\right))\\ & =& -2\csc \left(x\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\csc \left(x\right)\cdots u=\csc \left(x\right),f=-u^2,\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=-2u\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\\ & =& -2\csc \left(x\right)(-\csc \left(x\right)\cot \left(x\right))\cdots \mathrm{準}\mathrm{備}\mathrm{参}\mathrm{照}\\ & =& 2{\csc }^2\left(x\right)\cot \left(x\right)\cdots \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\csc }^2\left(x\right)=-2{\csc }^2\left(x\right)\cot \left(x\right)\mathrm{で}\mathrm{も}\mathrm{あ}\mathrm{る}(\mathrm{後}\mathrm{で}\mathrm{使}\mathrm{う})．\\ \\ \frac{{\mathrm{d}}^3}{\mathrm{d}{x}^3}\cot \left(x\right)& =& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2{\csc }^2\left(x\right)\cot \left(x\right))\\ & =& 2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}({\csc }^2\left(x\right)\cot \left(x\right))\\ & =& 2\{(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\csc }^2\left(x\right))\cot \left(x\right)+{\csc }^2\left(x\right)(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cot \left(x\right))\}\cdots (uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }\\ & =& 2\{(-2{\csc }^2\left(x\right)\cot \left(x\right))\cot \left(x\right)+{\csc }^2\left(x\right)(-{\csc }^2\left(x\right))\}\cdots \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\csc }^2\left(x\right)=-2{\csc }^2\left(x\right)\cot \left(x\right),\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cot \left(x\right)=-{\csc }^2\left(x\right)\\ & =& -2(2{\csc }^2\left(x\right){\cot }^2\left(x\right)+{\csc }^4\left(x\right))\\ \\ \frac{{\mathrm{d}}^4}{\mathrm{d}{x}^4}\cot \left(x\right)& =& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-2(2{\csc }^2\left(x\right){\cot }^2\left(x\right)+{\csc }^4\left(x\right)))\\ & =& -2\left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2{\csc }^2\left(x\right){\cot }^2\left(x\right)+{\csc }^4\left(x\right))\right]\\ & =& -2[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2{\csc }^2\left(x\right){\cot }^2\left(x\right))+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}({\csc }^4\left(x\right))]\cdots (u+v{)}^{\prime }=u^{\prime }+v^{\prime }\\ & =& -2[2\{(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\csc }^2\left(x\right)){\cot }^2\left(x\right)+{\csc }^2\left(x\right)(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\cot }^2\left(x\right))\}+4{\csc }^3\left(x\right)(-\csc \left(x\right)\cot \left(x\right))]\cdots (uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime },u=\csc \left(x\right),f=u^4,\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=4u^3\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x},\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\csc \left(x\right)=-\csc \left(x\right)\cot \left(x\right)\\ & =& -2[2\{(-2{\csc }^2\left(x\right)\cot \left(x\right)){\cot }^2\left(x\right)+{\csc }^2\left(x\right)(2\cot \left(x\right)(-{\csc }^2\left(x\right)))\}-4{\csc }^4\left(x\right)\cot \left(x\right)]\cdots \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\csc }^2\left(x\right)=-2{\csc }^2\left(x\right)\cot \left(x\right),u=\cot \left(x\right),f=u^2,\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=2u\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x},\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cot \left(x\right)=-{\csc }^2\left(x\right)\\ & =& -2[2\{-2{\csc }^2\left(x\right){\cot }^3\left(x\right)-2{\csc }^4\left(x\right)\cot \left(x\right)\}-4{\csc }^4\left(x\right)\cot \left(x\right)]\\ & =& -2[-4{\csc }^2\left(x\right){\cot }^3\left(x\right)-4{\csc }^4\left(x\right)\cot \left(x\right)-4{\csc }^4\left(x\right)\cot \left(x\right)]\\ & =& -2[-4{\csc }^2\left(x\right){\cot }^3\left(x\right)-8{\csc }^4\left(x\right)\cot \left(x\right)]\\ & =& 8{\csc }^2\left(x\right)\cot \left(x\right)({\cot }^2\left(x\right)+2{\csc }^2\left(x\right))\\ \\ \frac{{\mathrm{d}}^5}{\mathrm{d}{x}^5}\cot \left(x\right)& =& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{8{\csc }^2\left(x\right)\cot \left(x\right)({\cot }^2\left(x\right)+2{\csc }^2\left(x\right))\}\\ & =& 4\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{2{\csc }^2\left(x\right)\cot \left(x\right)({\cot }^2\left(x\right)+2{\csc }^2\left(x\right))\}\\ & =& 4\{(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}2{\csc }^2\left(x\right)\cot \left(x\right))({\cot }^2\left(x\right)+2{\csc }^2\left(x\right))+2{\csc }^2\left(x\right)\cot \left(x\right)\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}({\cot }^2\left(x\right)+2{\csc }^2\left(x\right))\right)\}\\ & =& 4[\{-2(2{\csc }^2\left(x\right){\cot }^2\left(x\right)+{\csc }^4\left(x\right))\}({\cot }^2\left(x\right)+2{\csc }^2\left(x\right))+2{\csc }^2\left(x\right)\cot \left(x\right)(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\cot }^2\left(x\right)+2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\csc }^2\left(x\right))]\\ & =& 4[(-4{\csc }^2\left(x\right){\cot }^2\left(x\right)-2{\csc }^4\left(x\right))({\cot }^2\left(x\right)+2{\csc }^2\left(x\right))+2{\csc }^2\left(x\right)\cot \left(x\right)\{(-2{\csc }^2\left(x\right)\cot \left(x\right))+2(-2{\csc }^2\left(x\right)\cot \left(x\right))\}]\\ & =& 4\{(-4{\csc }^2\left(x\right){\cot }^2\left(x\right)({\cot }^2\left(x\right)+2{\csc }^2\left(x\right))-2{\csc }^4\left(x\right)({\cot }^2\left(x\right)+2{\csc }^2\left(x\right)))+2{\csc }^2\left(x\right)\cot \left(x\right)\cdot -2{\csc }^2\left(x\right)\cot \left(x\right)+2{\csc }^2\left(x\right)\cot \left(x\right)\cdot 2(-2{\csc }^2\left(x\right)\cot \left(x\right))\}\\ & =& 4(-4{\csc }^2\left(x\right){\cot }^4\left(x\right)-8{\csc }^4\left(x\right){\cot }^2\left(x\right)-2{\csc }^4\left(x\right){\cot }^2\left(x\right)-4{\csc }^6\left(x\right)-4{\csc }^4\left(x\right){\cot }^2\left(x\right)-8{\csc }^4\left(x\right){\cot }^2\left(x\right))\\ & =& 4(-4{\csc }^2\left(x\right){\cot }^4\left(x\right)-4{\csc }^6\left(x\right)-22{\csc }^4\left(x\right){\cot }^2\left(x\right))\\ & =& -8(2{\csc }^6\left(x\right)+2{\csc }^2\left(x\right){\cot }^4\left(x\right)+11{\csc }^4\left(x\right){\cot }^2\left(x\right))\end{array}$$

$x=\frac{\pi }{2}$でのテーラー展開を求めておく

$$\begin{array}{rcl}\cot \left(x\right)& =& \frac{1}{0!}\left[{\frac{{\mathrm{d}}^0}{\mathrm{d}{x}^0}\cot \left(x\right)|}_{x=\frac{\pi }{2}}\right]{(x-\frac{\pi }{2})}^0\\ & & +\frac{1}{1!}\left[{\frac{{\mathrm{d}}^1}{\mathrm{d}{x}^1}\cot \left(x\right)|}_{x=\frac{\pi }{2}}\right]{(x-\frac{\pi }{2})}^1\\ & & +\frac{1}{2!}\left[{\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}\cot \left(x\right)|}_{x=\frac{\pi }{2}}\right]{(x-\frac{\pi }{2})}^2\\ & & +\frac{1}{3!}\left[{\frac{{\mathrm{d}}^3}{\mathrm{d}{x}^3}\cot \left(x\right)|}_{x=\frac{\pi }{2}}\right]{(x-\frac{\pi }{2})}^3\\ & & +\frac{1}{4!}\left[{\frac{{\mathrm{d}}^4}{\mathrm{d}{x}^4}\cot \left(x\right)|}_{x=\frac{\pi }{2}}\right]{(x-\frac{\pi }{2})}^4\\ & & +\frac{1}{5!}\left[{\frac{{\mathrm{d}}^5}{\mathrm{d}{x}^5}\cot \left(x\right)|}_{x=\frac{\pi }{2}}\right]{(x-\frac{\pi }{2})}^5\\ & & +\cdots \\ & =& \frac{1}{1}[\cot \left(\frac{\pi }{2}\right)]{(x-\frac{\pi }{2})}^0\\ & & +\frac{1}{1}[-{\csc }^2\left(\frac{\pi }{2}\right)]{(x-\frac{\pi }{2})}^1\\ & & +\frac{1}{2}[2\cot \left(\frac{\pi }{2}\right){\csc }^2\left(\frac{\pi }{2}\right)]{(x-\frac{\pi }{2})}^2\\ & & +\frac{1}{6}[-2(2{\csc }^2\left(\frac{\pi }{2}\right){\cot }^2\left(\frac{\pi }{2}\right)+{\csc }^4\left(\frac{\pi }{2}\right))]{(x-\frac{\pi }{2})}^3\\ & & +\frac{1}{24}[8{\csc }^2\left(\frac{\pi }{2}\right)\cot \left(\frac{\pi }{2}\right)({\cot }^2\left(\frac{\pi }{2}\right)+2{\csc }^2\left(\frac{\pi }{2}\right))]{(x-\frac{\pi }{2})}^4\\ & & +\frac{1}{120}[-8(2{\csc }^6\left(\frac{\pi }{2}\right)+2{\csc }^2\left(\frac{\pi }{2}\right){\cot }^4\left(\frac{\pi }{2}\right)+11{\csc }^4\left(\frac{\pi }{2}\right){\cot }^2\left(\frac{\pi }{2}\right))]{(x-\frac{\pi }{2})}^5\\ & & +\cdots \\ & =& \left[0\right]\cdot 1\\ & & +[-1\cdot 1^2](x-\frac{\pi }{2})\\ & & +\frac{1}{2}[2\cdot 0\cdot 1^2]{(x-\frac{\pi }{2})}^2\\ & & +\frac{1}{6}[-2(2\cdot 1^2\cdot 0^2+1^4)]{(x-\frac{\pi }{2})}^3\\ & & +\frac{1}{24}[8\cdot 1^2\cdot 0(0^2+2\cdot 1^2)]{(x-\frac{\pi }{2})}^4\\ & & +\frac{1}{120}[-8(2\cdot 1^6+2\cdot 1^2\cdot 0^4+11\cdot 1^4\cdot 0^2)]{(x-\frac{\pi }{2})}^5\\ & & +\cdots \\ & =& -(x-\frac{\pi }{2})-\frac{2}{6}{(x-\frac{\pi }{2})}^3-\frac{16}{120}{(x-\frac{\pi }{2})}^5+\cdots \\ & =& -(x-\frac{\pi }{2})-\frac{1}{3}{(x-\frac{\pi }{2})}^3-\frac{2}{15}{(x-\frac{\pi }{2})}^5+\cdots \end{array}$$

$\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{lim}\cot \left(x\right)$を求める

$$\begin{array}{r}\\ \underset{x\to \frac{\pi }{2}}{lim}\cot \left(x\right)& =& \underset{x\to \frac{\pi }{2}}{lim}[-(x-\frac{\pi }{2})-\frac{1}{3}{(x-\frac{\pi }{2})}^3-\frac{2}{15}{(x-\frac{\pi }{2})}^5+\cdots ]\\ & =& 0\end{array}$$