任意の点\(Z\)とBezier曲線\(\mathrm{Bezier}(t)\)とで最小となる長さ\(L\)(距離)を求める
3次のベジェ曲線(媒介変数\(t\)表示)
任意の点\(Z\)とBezier曲線\(\mathrm{Bezier}(t)\)との長さ\(L\)
$$\begin{eqnarray}
\mathrm{Anchor}_0&=&(a, p)\;\cdots\;通過点
\\\mathrm{Handle}_0&=&(b, q)\;\cdots\;制御点
\\\mathrm{Handle}_1&=&(c, r)\;\cdots\;制御点
\\\mathrm{Anchor}_1&=&(d, s)\;\cdots\;通過点
\\\mathrm{Bezier}(t|\mathrm{Anchor}_0,\mathrm{Handle}_0,\mathrm{Handle}_1,\mathrm{Anchor}_1)&=&\left(X(t|a,b,c,d),Y(t|p,q,r,s)\right)\;
t\in[0,1]
\\&&\;\cdots\;3次のベジェ曲線
\end{eqnarray}$$
$$\begin{eqnarray}
\\X(t|a,b,c,d)&=&a(1-t)^3+3b(1-t)^2t+3c(1-t)t^2+d\;t^3
\\&=&a(1-3t+3t^2-t^3)+3b(t-2t^2+t^3)+3c(t^2-t^3)+d\;t^3
\\&=&a+3(-a+b)t+3(a-2b+c)t^2+(-a+3b-3c+d)t^3
\\&=&A+3Bt+3Ct^2+Dt^3
\;\cdots\;A=a, B=-a+b, C=a-2b+c, D=-a+3b-3c+d
\\&=&X(t|A,B,C,D)
\\Y(t|p,q,r,s)&=&p(1-t)^3+3q(1-t)^2t+3r(1-t)t^2+st^3
\\&=&a+3(-p+q)t+3(p-2q+r)t^2+(-p+3q-3r+s)t^3
\\&=&P+3Qt+3Rt^2+St^3
\;\cdots\;P=p, Q=-p+q, R=p-2q+r, S=-p+3q-3r+s
\\&=&Y(t|P,Q,R,S)
\end{eqnarray}$$
3次のベジェ曲線の\(X(t), Y(t)\)の微分
$$\begin{eqnarray}
\\\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}X(t)
&=&3B+6Ct+3Dt^2
\\&=&3\left(B+2Ct+Dt^2\right)
\\\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}Y(t)
&=&3Q+6Rt+3St^2
\\&=&3\left(Q+2Rt+St^2\right)
\end{eqnarray}$$
任意の点\(Z\)からベジェ曲線の\(X(t), Y(t)\)の距離
$$\begin{eqnarray}
\\Z&=&(z_x, z_y)\;\cdots\;任意の点
\\L&=&\sqrt{\left(X(t|a,b,c,d)-z_x\right)^2+\left(Y(t|p,q,r,s)-z_y\right)^2}\;\cdots\;任意の点zとBezier曲線との距離
\end{eqnarray}$$
\(Z=(0,0)\)になるように\(z_x,z_y\)だけ，\(a,b,c,d,p,q,r,s\)を平行移動する．距離は変わらないので\(L\)．
$$\begin{eqnarray}
\\L&=&\sqrt{X^2(t|a-z_x,b-z_x,c-z_x,d-z_x)+Y^2(t|p-z_y,q-z_y,r-z_y,s-z_y)}
\end{eqnarray}$$
平行移動後の係数を改めて\(a^\prime=a-z_x,b^\prime=b-z_x,c^\prime=c-z_x,d^\prime=d-z_x,p^\prime=p-z_y,q^\prime=q-z_y,r^\prime~r-z_y,s=s^\prime-z_y\)と定義し直して計算を続ける．
$$\begin{eqnarray}
\\L&=&\sqrt{\left(X(t|a^\prime,b^\prime,c^\prime,d^\prime)\right)^2+\left(Y(t|p^\prime,q^\prime,r^\prime,s^\prime)\right)^2}
\\&=&\sqrt{\left(X(t|A^\prime,B^\prime,C^\prime,D^\prime)\right)^2+\left(Y(t|P^\prime,Q^\prime,R^\prime,S^\prime)\right)^2}
\\&&\;\cdots\;
A^\prime=a^\prime
,B^\prime=-a^\prime+b^\prime
,C^\prime=a^\prime-2b^\prime+c^\prime
,D^\prime=-a^\prime+3b^\prime-3c^\prime+d^\prime
\\&&\;\cdots\;
P^\prime=p^\prime
,Q^\prime=-p^\prime+q^\prime
,R^\prime=p^\prime-2q^\prime+r^\prime
,S^\prime=-p^\prime+3q^\prime-3r^\prime+s^\prime
\end{eqnarray}$$
\(L\)を極値とする\(t\)を求める
$$\begin{eqnarray}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}L&=&0\;\cdots\;Lの微分が0となるtが，Lの極値．その中で最小の距離Lとなるものを探す．
\end{eqnarray}$$
$$\begin{eqnarray}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}L&=&\frac{1}{2}\left(X^2(t)+Y^2(t)\right)^{-\frac{1}{2}}
\left\{
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(X^2(t)+Y^2(t)\right)
\right\}
\\&=&\frac{1}{2}\left(X^2(t)+Y^2(t)\right)^{-\frac{1}{2}}
\left\{
\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}X^2(t)\right)
+\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}Y^2(t)\right)
\right\}
\\&=&\frac{1}{2}\left(X^2(t)+Y^2(t)\right)^{-\frac{1}{2}}
\left\{
2X(t)\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}X(t)\right)
+2Y(t)\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}Y(t)\right)
\right\}
\\&=&\frac{X(t)\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}X(t)\right)
+Y(t)\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}Y(t)\right)}{\sqrt{X^2(t)+Y^2(t)}}
\;\cdots\;分母は常に0以上なので，0となる場合を除けば，分子だけ考えればよい．
\end{eqnarray}$$
$$\begin{eqnarray}
\\0&=&X(t)\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}X(t)\right)
+Y(t)\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}Y(t)\right)
\\&=&
\left(A^\prime+3B^\prime t+3C^\prime t^2+D^\prime t^3\right)
\cdot 3\left(B^\prime+2C^\prime t+D^\prime t^2\right)
+\left(P^\prime+3Q^\prime t+3R^\prime t^2+S^\prime t^3\right)
\cdot 3\left(Q^\prime+2R^\prime t+S^\prime t^2\right)
\\&=&3\left\{
\left(A^\prime+3B^\prime t+3C^\prime t^2+D^\prime t^3\right)
\left(B^\prime+2C^\prime t+D^\prime t^2\right)
+\left(P^\prime+3Q^\prime t+3R^\prime t^2+S^\prime t^3\right)
\left(Q^\prime+2R^\prime t+S^\prime t^2\right)
\right\}
\\0&=&\left(A^\prime+3B^\prime t+3C^\prime t^2+D^\prime t^3\right)
\left(B^\prime+2C^\prime t+D^\prime t^2\right)
+\left(P^\prime+3Q^\prime t+3R^\prime t^2+S^\prime t^3\right)
\left(Q^\prime+2R^\prime t+S^\prime t^2\right)\;\cdots\;両辺3で割った．左辺は0なので割っても変わらない．
\\&=&
A^\prime \left(B^\prime+2C^\prime t+D^\prime t^2\right)
+3B^\prime t\left(B^\prime+2C^\prime t+D^\prime t^2\right)
+3C^\prime t^2\left(B^\prime+2C^\prime t+D^\prime t^2\right)
+D^\prime t^3\left(B^\prime+2C^\prime t+D^\prime t^2\right)
\\&&+P^\prime \left(Q^\prime+2R^\prime t+S^\prime t^2\right)
+3Q^\prime t\left(Q^\prime+2R^\prime t+S^\prime t^2\right)
+3R^\prime t^2\left(Q^\prime+2R^\prime t+S^\prime t^2\right)
+S^\prime t^3\left(Q^\prime+2R^\prime t+S^\prime t^2\right)
\\&=&
A^\prime B^\prime+2A^\prime C^\prime t+A^\prime D^\prime t^2
+3{B^{\prime}}^2 t+6B^\prime C^\prime t^2+3B^\prime D^\prime t^3
+3B^\prime C^\prime t^2+ 6{C^{\prime}}^2 t^3+ 3C^\prime D^\prime t^4
+B^\prime D^\prime t^3+2C^\prime D^\prime t^4+{D^{\prime}}^2 t^5
\\&&
+P^\prime Q^\prime+2P^\prime R^\prime t+P^\prime S^\prime t^2
+3{Q^{\prime}}^2 t+6Q^\prime R^\prime t^2+3Q^\prime S^\prime t^3
+3Q^\prime R^\prime t^2+ 6{R^{\prime}}^2 t^3+ 3R^\prime S^\prime t^4
+Q^\prime S^\prime t^3+2R^\prime S^\prime t^4+{S^{\prime}}^2 t^5
\\&=&
A^\prime B^\prime
+\left(2A^\prime C^\prime+3{B^{\prime}}^2\right)t
+\left(A^\prime D^\prime+9B^\prime C^\prime\right)t^2
+\left(4B^\prime D^\prime+ 6{C^{\prime}}^2 \right)t^3
+5C^\prime D^\prime t^4
+{D^{\prime}}^2 t^5
\\&&
+P^\prime Q^\prime
+\left(2P^\prime R^\prime+3{Q^{\prime}}^2\right)t
+\left(P^\prime S^\prime+9Q^\prime R^\prime\right)t^2
+\left(4Q^\prime S^\prime+ 6{R^{\prime}}^2\right)t^3
+5R^\prime S^\prime t^4
+{S^{\prime}}^2 t^5
\\&=&
A^{\prime\prime}
+B^{\prime\prime}t
+C^{\prime\prime}t^2
+D^{\prime\prime}t^3
+E^{\prime\prime}t^4
+F^{\prime\prime}t^5
\\&&
+P^{\prime\prime}
+Q^{\prime\prime}t
+R^{\prime\prime}t^2
+S^{\prime\prime}t^3
+T^{\prime\prime}t^4
+U^{\prime\prime}t^5
\\&&\;\cdots\;A^{\prime\prime}=A^\prime B^\prime
,B^{\prime\prime}=2A^\prime C^\prime+3{B^{\prime}}^2
,C^{\prime\prime}=A^\prime D^\prime+9B^\prime C^\prime
,D^{\prime\prime}=4B^\prime D^\prime+ 6{C^{\prime}}^2
,E^{\prime\prime}=5C^\prime D^\prime
,F^{\prime\prime}={D^{\prime}}^2
\\&&\;\cdots\;P^{\prime\prime}=P^\prime Q^\prime
,Q^{\prime\prime}=2P^\prime R^\prime+3{Q^{\prime}}^2
,R^{\prime\prime}=P^\prime S^\prime+9Q^\prime R^\prime
,S^{\prime\prime}=4Q^\prime S^\prime+ 6{R^{\prime}}^2
,T^{\prime\prime}=5R^\prime S^\prime
,U^{\prime\prime}={S^{\prime}}^2
\\&=&\left(A^{\prime\prime}+P^{\prime\prime}\right)
+\left(B^{\prime\prime}+Q^{\prime\prime}\right)t
+\left(C^{\prime\prime}+R^{\prime\prime}\right)t^2
+\left(D^{\prime\prime}+S^{\prime\prime}\right)t^3
+\left(E^{\prime\prime}+T^{\prime\prime}\right)t^4
+\left(F^{\prime\prime}+U^{\prime\prime}\right)t^5
\\&=&\alpha_0+\alpha_1 t+\alpha_2 t^2+\alpha_3 t^3+\alpha_4 t^4+\alpha_5 t^5
\\&&\;\cdots\;\alpha_0=A^{\prime\prime}+P^{\prime\prime}=A^\prime B^\prime+P^\prime Q^\prime
\\&&\;\cdots\;\alpha_1=B^{\prime\prime}+Q^{\prime\prime}
=2A^\prime C^\prime+3{B^{\prime}}^2 +2P^\prime R^\prime+3{Q^{\prime}}^2
\\&&\;\cdots\;\alpha_2=C^{\prime\prime}+R^{\prime\prime}
=A^\prime D^\prime+9B^\prime C^\prime+P^\prime S^\prime+9Q^\prime R^\prime
\\&&\;\cdots\;\alpha_3=D^{\prime\prime}+S^{\prime\prime}
=4B^\prime D^\prime+ 6{C^{\prime}}^2 +4Q^\prime S^\prime+ 6{R^{\prime}}^2
\\&&\;\cdots\;\alpha_4=E^{\prime\prime}+T^{\prime\prime}
=5C^\prime D^\prime+5R^\prime S^\prime
\\&&\;\cdots\;\alpha_5=F^{\prime\prime}+U^{\prime\prime}\
={D^{\prime}}^2+{S^{\prime}}^2
\\\;
\\&&\;\cdots\;
A^\prime=a^\prime
,\;B^\prime=-a^\prime+b^\prime
,\;C^\prime=a^\prime-2b^\prime+c^\prime
,\;D^\prime=-a^\prime+3b^\prime-3c^\prime+d^\prime
\\&&\;\cdots\;
P^\prime=p^\prime
,\;Q^\prime=-p^\prime+q^\prime
,\;R^\prime=p^\prime-2q^\prime+r^\prime
,\;S^\prime=-p^\prime+3q^\prime-3r^\prime+s^\prime
\\\;
\\&&\;\cdots\;a^\prime=a-z_x,\;b^\prime=b-z_x,\;c^\prime=c-z_x,\;d^\prime=d-z_x
\\&&\;\cdots\;p^\prime=p-z_y,\;q^\prime=q-z_y,\;r^\prime~r-z_y,\;s=s^\prime-z_y
\end{eqnarray}$$
\(t\)を求めるには この5次方程式を解けばよいが，5次ということで数値計算で解く等が必要．
解は5つあるわけだが，その内実数であるものを選ぶ．
また，\(t\in[0, 1]\)であるので，\(t\lt0\)なら\(t=0\)，\(t\gt1\)なら\(t=1\)とする．
この式は任意点からBezier曲線上の各点へ引いた線分の中で，接線とが直角に交わる時の点を求める方程式に等しい．
最小となる\(L\)を求める
得られた\(t\)は\(L\)を極値とするものなので，その中でも\(L\)が最小となるものを採用する．
