(sin(x)+3)/(cos(x)+2)の最大値最小値 (直線の傾きとして解く)

問い

(問いを知った動画) $$\begin{array}{r}\frac{\sin \left(\theta \right)+3}{\cos \left(\theta \right)+2}\mathrm{の}\frac{-\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2}\mathrm{に}\mathrm{お}\mathrm{け}\mathrm{る}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{値}\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{値}\end{array}$$

直線の傾きとして求める

(別解: 一階微分を用いて極値として解く)
問いを知った動画の通り解いてみる．

与式を直線の傾きとみて幾何の問題として解く

$$\begin{array}{rcl}k& =& \frac{\sin \left(\theta \right)+3}{\cos \left(\theta \right)+2}\\ & =& \frac{\sin \left(\theta \right)-(-3)}{\cos \left(\theta \right)-(-2)}\\ & & \cdots \mathrm{点}(\cos \left(\theta \right),\sin \left(\theta \right))\mathrm{と}\mathrm{点}(-2,-3)\mathrm{を}\mathrm{通}\mathrm{る}\mathrm{直}\mathrm{線}l\mathrm{の}\mathrm{傾}\mathrm{き}\end{array}$$

直線の方程式

$$\begin{array}{r}\\ y-(-3)& =& k(x-(-2))\\ 0& =& kx-y+2k-3\cdots ax+by+c=0\mathrm{の}\mathrm{形}\mathrm{で}\mathrm{の}\mathrm{直}\mathrm{線}l\mathrm{の}\mathrm{式}\end{array}$$ $\mathrm{点}(\cos \left(\theta \right),\sin \left(\theta \right))$は原点を中心とした半径1の円(単位円)上の点を意味する．
よってこの直線$l$は，点(-2,-3)から半径1の円(単位円)への接線ということになる．
この接線は円の中心点(原点)からの距離が1となる直線である．

点と直線の距離

$$\begin{array}{r}\\ d& =& \frac{|ap+bq+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdots \mathrm{直}\mathrm{線}ax+by+c=0\mathrm{と}\mathrm{点}(p,q)\mathrm{と}\mathrm{の}\mathrm{距}\mathrm{離}d\mathrm{の}\mathrm{式}\\ 1& =& \frac{|k\cdot 0-1\cdot 0+2k-3|}{\sqrt{k^2+(-1{)}^2}}\cdots \mathrm{こ}\mathrm{こ}\mathrm{で}\mathrm{は}(p,q)\mathrm{は}\mathrm{原}\mathrm{点}\mathrm{な}\mathrm{の}\mathrm{で}(0,0)\\ & =& \frac{|2k-3|}{\sqrt{k^2+1}}\\ \sqrt{k^2+1}& =& |2k-3|\\ k^2+1& =& (2k-3{)}^2\\ & =& 4k^2-12k+9\\ 0& =& 3k^2-12k+8\cdots \mathrm{単}\mathrm{位}\mathrm{円}\mathrm{に}\mathrm{円}\mathrm{の}\mathrm{外}\mathrm{の}\mathrm{点}\mathrm{か}\mathrm{ら}\mathrm{接}\mathrm{線}\mathrm{を}\mathrm{引}\mathrm{く}\mathrm{と}2\mathrm{つ}\mathrm{の}\mathrm{直}\mathrm{線}{l}_{1,2}\mathrm{が}\mathrm{引}\mathrm{け}\mathrm{る}\mathrm{た}\mathrm{め}\mathrm{傾}\mathrm{き}\mathrm{も}2\mathrm{つ}\mathrm{得}\mathrm{ら}\mathrm{れ}\mathrm{る}\end{array}$$

二次方程式の解(の公式)

$$\begin{array}{r}\\ k_{l_{1,2}}& =& \frac{-(-12)\pm \sqrt{(-12{)}^2-4\cdot 3\cdot 8}}{2\cdot 3}\cdots a{x}^2+bx+c=0\mathrm{に}\mathrm{お}\mathrm{い}\mathrm{て}x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ & =& \frac{12\pm \sqrt{144-96}}{6}\\ & =& \frac{12\pm \sqrt{48}}{6}\\ & =& \frac{12\pm 4\sqrt{3}}{6}\\ & =& \frac{6\pm 2\sqrt{3}}{3}\\ & =& \frac{2}{3}(3\pm \sqrt{3})\end{array}$$

解と図との対応

$$\begin{array}{r}\\ k_{l_1}& =& \frac{2}{3}(3+\sqrt{3})\\ k_{l_2}& =& \frac{2}{3}(3-\sqrt{3})\\ k_{l_1}& >& k_{l_2}\cdots \mathrm{よ}\mathrm{っ}\mathrm{て}\mathrm{傾}\mathrm{き}\mathrm{の}\mathrm{大}\mathrm{小}\mathrm{関}\mathrm{係}\mathrm{か}\mathrm{ら}\mathrm{図}\mathrm{中}{l}_1\mathrm{の}\mathrm{傾}\mathrm{き}{k}_{l_1}\mathrm{で}\mathrm{あ}\mathrm{り},l_2\mathrm{の}\mathrm{傾}\mathrm{き}\mathrm{が}{k}_{l_2}\mathrm{で}\mathrm{あ}\mathrm{る}\end{array}$$ 図より$l_1$の接点位置の角度${\theta }_1$は$\frac{\pi }{2}$を超えているので範囲外となり，点$(0,1)$を通る直線$j$の傾きが最大値となる． $$\begin{array}{rclrclrclrc}{k}_j& =& \frac{\sin \left(\theta \right)+3}{\cos \left(\theta \right)+2}& =& \frac{\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)+3}{\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)+2}& =& \frac{1+3}{0+2}& =& \frac{4}{2}& =& 2\end{array}$$

答え

以上より与式の最大値最小値はそれぞれ，最大値$2$，最小値$\frac{2}{3}(3-\sqrt{3})$となる．

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確認:角度${\theta }_{1,2}$を求める

直交する直線の傾き

直線$l$と直交する直線$l^{\prime }$の傾き$s$が$\tan \left(\theta \right)$となる． また直交する直線同士の傾きは掛け合わせると-1となる． $$\begin{array}{rcl}{k}_1\cdot s_1& =& -1\\ s_1& =& \frac{-1}{k_1}\\ k_2\cdot s_2& =& -1\\ s_2& =& \frac{-1}{k_2}\end{array}$$

$s_1$から${\theta }_1$を求める

直線$l_1$と直交する直線$l_1^{\prime }$の傾き$s_1$を求める． $$\begin{array}{r}\\ s_1& =& \frac{-1}{k_1}\\ & =& \frac{-1}{\frac{2}{3}(3+\sqrt{3})}\cdots k_1=\frac{2}{3}(3+\sqrt{3})\\ & =& \frac{3}{2}\frac{-1}{3+\sqrt{3}}\\ & =& \frac{3}{2}\frac{-1}{3+\sqrt{3}}\frac{3-\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}\\ & =& \frac{3}{2}\frac{-3+\sqrt{3}}{9-3}\\ & =& \frac{3}{2}\frac{-3+\sqrt{3}}{6}\\ & =& \frac{3}{2}\frac{1}{6}(-3+\sqrt{3})\\ & =& \frac{1}{4}(-3+\sqrt{3})\\ & =& \frac{-3+\sqrt{3}}{4}<0\\ {\theta }_1& =& {\tan }^{-1}\left(\frac{-3+\sqrt{3}}{4}\right),{\tan }^{-1}\left(\frac{-3+\sqrt{3}}{4}\right)+\pi \cdots {\tan }^{-1}\mathrm{の}\mathrm{値}\mathrm{域}\mathrm{を}\frac{-\pi }{2}\mathrm{か}\mathrm{ら}\frac{\pi }{2}\mathrm{と}\mathrm{す}\mathrm{る}\end{array}$$ $s_1$が負の値ということは$s_1=\tan \left({\theta }_1\right)$とした際の${\theta }_1$は単位円第二,四象限上の点の角度となる．
が，図よりこの角度は単位円第二象限上の点の角度なので${\theta }_1={\tan }^{-1}\left(s_1\right)+\pi ={\tan }^{-1}\left(\frac{-3+\sqrt{3}}{4}\right)+\pi$となる．

$s_2$から${\theta }_2$を求める

直線$l_2$と直交する直線$l_2^{\prime }$の傾き$s_2$を求める． $$\begin{array}{r}\\ s_2& =& \frac{-1}{k_2}\\ & =& \frac{-1}{\frac{2}{3}(3-\sqrt{3})}\cdots k_2=\frac{2}{3}(3-\sqrt{3})\\ & =& \frac{3}{2}\frac{-1}{3-\sqrt{3}}\\ & =& \frac{3}{2}\frac{-1}{3-\sqrt{3}}\frac{3+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}\\ & =& \frac{3}{2}\frac{-3-\sqrt{3}}{9-3}\\ & =& \frac{3}{2}\frac{-3-\sqrt{3}}{6}\\ & =& \frac{3}{2}\frac{1}{6}(-3-\sqrt{3})\\ & =& \frac{1}{4}(-3-\sqrt{3})\\ & =& \frac{-3-\sqrt{3}}{4}<0\\ {\theta }_2& =& {\tan }^{-1}\left(\frac{-3-\sqrt{3}}{4}\right),{\tan }^{-1}\left(\frac{-3-\sqrt{3}}{4}\right)+\pi \cdots {\tan }^{-1}\mathrm{の}\mathrm{値}\mathrm{域}\mathrm{を}\frac{-\pi }{2}\mathrm{か}\mathrm{ら}\frac{\pi }{2}\mathrm{と}\mathrm{す}\mathrm{る}\end{array}$$ $s_2$が負の値ということは$s_2=\tan \left({\theta }_2\right)$とした際の${\theta }_2$は単位円第二,四象限上の点の角度となる．
が，図よりこの角度は単位円第四象限上の点の角度なので${\theta }_2={\tan }^{-1}\left(s_2\right)={\tan }^{-1}\left(\frac{-3-\sqrt{3}}{4}\right)$となる．