(sin(x)+3)/(cos(x)+2)の最大値最小値 (直線の傾きとして解く)

問い

(問いを知った動画) $$ \begin{eqnarray} \frac{\sin{\left(\theta\right)}+3}{\cos{\left(\theta\right)}+2}の\frac{-\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}における最大値最小値 \end{eqnarray} $$

直線の傾きとして求める

(別解: 一階微分を用いて極値として解く)
問いを知った動画の通り解いてみる．

与式を直線の傾きとみて幾何の問題として解く

$$ \begin{eqnarray} k&=&\frac{\sin{\left(\theta\right)}+3}{\cos{\left(\theta\right)}+2} \\&=&\frac{\sin{\left(\theta\right)}-(-3)}{\cos{\left(\theta\right)}-(-2)} \\&&\;\cdots\;点(\cos{\left(\theta\right)},\sin{\left(\theta\right)})と点(-2,-3)を通る直線lの傾き \end{eqnarray} $$

直線の方程式

$$ \begin{eqnarray} \\y-(-3)&=&k(x-(-2)) \\0&=&kx-y+2k-3 \;\cdots\;ax+by+c=0の形での直線lの式 \end{eqnarray} $$ \(点(\cos{\left(\theta\right)},\sin{\left(\theta\right)})\)は原点を中心とした半径1の円(単位円)上の点を意味する．
よってこの直線\(l\)は，点(-2,-3)から半径1の円(単位円)への接線ということになる．
この接線は円の中心点(原点)からの距離が1となる直線である．

点と直線の距離

$$ \begin{eqnarray} \\d&=&\frac{\left|ap+bq+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}\;\cdots\;\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2020/06/blog-post_11.html}{直線ax+by+c=0と点(p,q)との距離dの式} \\1&=&\frac{\left|k\cdot0-1\cdot0+2k-3\right|}{\sqrt{k^2+(-1)^2}}\;\cdots\;ここでは(p,q)は原点なので(0,0) \\&=&\frac{\left|2k-3\right|}{\sqrt{k^2+1}} \\\sqrt{k^2+1}&=&\left|2k-3\right| \\k^2+1&=&(2k-3)^2 \\&=&4k^2-12k+9 \\0&=&3k^2-12k+8 \;\cdots\;単位円に円の外の点から接線を引くと2つの直線l_{1,2}が引けるため傾きも2つ得られる \end{eqnarray} $$

二次方程式の解(の公式)

$$ \begin{eqnarray} \\k_{l_{1,2}}&=&\frac{-(-12)\pm\sqrt{(-12)^2-4\cdot3\cdot8}}{2\cdot3} \;\cdots\;\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2020/11/blog-post.html}{ax^2+bx+c=0においてx=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}} \\&=&\frac{12\pm\sqrt{144-96}}{6} \\&=&\frac{12\pm\sqrt{48}}{6} \\&=&\frac{12\pm4\sqrt{3}}{6} \\&=&\frac{6\pm2\sqrt{3}}{3} \\&=&\frac{2}{3}(3\pm\sqrt{3}) \end{eqnarray} $$

解と図との対応

$$ \begin{eqnarray} \\k_{l_1}&=&\frac{2}{3}(3+\sqrt{3}) \\k_{l_2}&=&\frac{2}{3}(3-\sqrt{3}) \\k_{l_1}&\gt&k_{l_2}\;\cdots\;よって傾きの大小関係から図中l_1の傾きk_{l_1}であり,l_2の傾きがk_{l_2}である \end{eqnarray} $$ 図より\(l_1\)の接点位置の角度\(\theta_1\)は\(\frac{\pi}{2}\)を超えているので範囲外となり，点\((0,1)\)を通る直線\(j\)の傾きが最大値となる． $$ \begin{eqnarray} k_{j}&=&\frac{\sin{\left(\theta\right)}+3}{\cos{\left(\theta\right)}+2} &=&\frac{\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}+3}{\cos{\left(\frac{\pi}{2}\right)}+2} &=&\frac{1+3}{0+2} &=&\frac{4}{2} &=&2 \end{eqnarray} $$

答え

以上より与式の最大値最小値はそれぞれ，最大値\(2\)，最小値\(\frac{2}{3}\left(3-\sqrt{3}\right)\)となる．

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確認:角度\(\theta_{1,2}\)を求める

直交する直線の傾き

直線\(l\)と直交する直線\(l^{\prime}\)の傾き\(s\)が\(\tan{\left(\theta\right)}\)となる． また直交する直線同士の傾きは掛け合わせると-1となる． $$ \begin{eqnarray} k_{1}\cdot s_{1}&=&-1 \\s_1&=&\frac{-1}{k_{1}} \\k_{2}\cdot s_{2}&=&-1 \\s_2&=&\frac{-1}{k_{2}} \end{eqnarray} $$

\(s_1\)から\(\theta_{1}\)を求める

直線\(l_1\)と直交する直線\(l_1^{\prime}\)の傾き\(s_1\)を求める． $$ \begin{eqnarray} \\s_1&=&\frac{-1}{k_1} \\&=&\frac{-1}{\frac{2}{3}(3+\sqrt{3})} \;\cdots\;k_1=\frac{2}{3}(3+\sqrt{3}) \\&=&\frac{3}{2}\frac{-1}{3+\sqrt{3}} \\&=&\frac{3}{2}\frac{-1}{3+\sqrt{3}}\frac{3-\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}} \\&=&\frac{3}{2}\frac{-3+\sqrt{3}}{9-3} \\&=&\frac{3}{2}\frac{-3+\sqrt{3}}{6} \\&=&\frac{3}{2}\frac{1}{6}\left(-3+\sqrt{3}\right) \\&=&\frac{1}{4}\left(-3+\sqrt{3}\right) \\&=&\frac{-3+\sqrt{3}}{4}\lt0 \\\theta_1&=&\tan^{-1}\left(\frac{-3+\sqrt{3}}{4}\right),\tan^{-1}\left(\frac{-3+\sqrt{3}}{4}\right)+\pi \;\cdots\;\tan^{-1}の値域を\frac{-\pi}{2}から\frac{\pi}{2}とする \end{eqnarray} $$ \(s_1\)が負の値ということは\(s_1=\tan\left(\theta_1\right)\)とした際の\(\theta_1\)は単位円第二,四象限上の点の角度となる．
が，図よりこの角度は単位円第二象限上の点の角度なので\(\theta_1=\tan^{-1}\left(s_1\right)+\pi=\tan^{-1}\left(\frac{-3+\sqrt{3}}{4}\right)+\pi\)となる．

\(s_2\)から\(\theta_{2}\)を求める

直線\(l_2\)と直交する直線\(l_2^{\prime}\)の傾き\(s_2\)を求める． $$ \begin{eqnarray} \\s_2&=&\frac{-1}{k_2} \\&=&\frac{-1}{\frac{2}{3}(3-\sqrt{3})} \;\cdots\;k_2=\frac{2}{3}(3-\sqrt{3}) \\&=&\frac{3}{2}\frac{-1}{3-\sqrt{3}} \\&=&\frac{3}{2}\frac{-1}{3-\sqrt{3}}\frac{3+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} \\&=&\frac{3}{2}\frac{-3-\sqrt{3}}{9-3} \\&=&\frac{3}{2}\frac{-3-\sqrt{3}}{6} \\&=&\frac{3}{2}\frac{1}{6}\left(-3-\sqrt{3}\right) \\&=&\frac{1}{4}\left(-3-\sqrt{3}\right) \\&=&\frac{-3-\sqrt{3}}{4}\lt0 \\\theta_2&=&\tan^{-1}\left(\frac{-3-\sqrt{3}}{4}\right),\tan^{-1}\left(\frac{-3-\sqrt{3}}{4}\right)+\pi \;\cdots\;\tan^{-1}の値域を\frac{-\pi}{2}から\frac{\pi}{2}とする \end{eqnarray} $$ \(s_2\)が負の値ということは\(s_2=\tan\left(\theta_2\right)\)とした際の\(\theta_2\)は単位円第二,四象限上の点の角度となる．
が，図よりこの角度は単位円第四象限上の点の角度なので\(\theta_2=\tan^{-1}\left(s_2\right)=\tan^{-1}\left(\frac{-3-\sqrt{3}}{4}\right)\)となる．