式展開: (sin(x)+3)/(cos(x)+2)の最大値最小値 (一階微分を用いて極値として解く)

問い

\begin{array}{r} \frac{\sin (θ) + 3}{\cos (θ) + 2} の \frac{- π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2} に お け る 最 大 値 最 小 値 を 求 め よ \end{array}

一階微分の解で求める

(別解:直線の傾きとして解く)

極値を得るため一階微分を求める

\begin{array}{rcl} f (θ) & = & \frac{\sin (θ) + 3}{\cos (θ) + 2} \\ f^{'} (θ) & = & {(\sin (θ) + 3) {(\cos (θ) + 2)}^{- 1}}^{'} \\ = & (\sin (θ) + 3) {{(\cos (θ) + 2)}^{- 1}}^{'} + {(\sin (θ) + 3)}^{'} {(\cos (θ) + 2)}^{- 1} \dots (f g)^{'} = f g^{'} + f^{'} g \\ = & (\sin (θ) + 3) {(- 1) {(\cos (θ) + 2)}^{- 2} {(\cos (θ) + 2)}^{'}} + \cos (θ) {(\cos (θ) + 2)}^{- 1} \\ = & (\sin (θ) + 3) {(- 1) {(\cos (θ) + 2)}^{- 2} (- \sin (θ))} + \cos (θ) {(\cos (θ) + 2)}^{- 1} \\ = & (\sin (θ) + 3) \frac{\sin (θ)}{{(\cos (θ) + 2)}^{2}} + \frac{\cos (θ)}{\cos (θ) + 2} \\ = & \frac{(\sin (θ) + 3) \sin (θ)}{{(\cos (θ) + 2)}^{2}} + \frac{\cos (θ)}{\cos (θ) + 2} \frac{\cos (θ) + 2}{\cos (θ) + 2} \\ = & \frac{(\sin (θ) + 3) \sin (θ)}{{(\cos (θ) + 2)}^{2}} + \frac{\cos (θ) (\cos (θ) + 2)}{{(\cos (θ) + 2)}^{2}} \\ = & \frac{(\sin (θ) + 3) \sin (θ) + \cos (θ) (\cos (θ) + 2)}{{(\cos (θ) + 2)}^{2}} \\ = & \frac{\sin {(θ)}^{2} + 3 \sin (θ) + \cos {(θ)}^{2} + 2 \cos (θ)}{{(\cos (θ) + 2)}^{2}} \\ = & \frac{1 + 3 \sin (θ) + 2 \cos (θ)}{{(\cos (θ) + 2)}^{2}} \dots \sin {(θ)}^{2} + \cos {(θ)}^{2} = 1 \\ \dots \cos (θ) は \pm 1 の 範 囲 な の で 分 母 が 0 や \infty の 心 配 は な い \end{array}

極値を得るため一階微分が0となる解を求める

\begin{array}{rcl} f^{'} (θ) & = & 0 \dots f の 極 大 極 小 値 と な る θ を 求 め る \\ 1 + 3 \sin (θ) + 2 \cos (θ) & = & 0 \dots f^{'} の 分 子 が 0 に な れ ば f^{'} 自 体 も 0 で あ る の で 分 子 の み \\ 1 + \sqrt{3^{2} + 2^{2}} \sin (θ + \tan^{- 1} (\frac{2}{3})) & = & 0 \dots 三 角 凾 数 の 合 成 a \sin (θ) + b \cos (θ) = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \sin (θ + \tan^{- 1} (\frac{b}{a})) \\ 1 + \sqrt{13} \sin (θ + \tan^{- 1} (\frac{2}{3})) & = & 0 \\ \sqrt{13} \sin (θ + \tan^{- 1} (\frac{2}{3})) & = & - 1 \\ \sin (θ + \tan^{- 1} (\frac{2}{3})) & = & \frac{- 1}{\sqrt{13}} \end{array}

$\sin$ の逆凾数

\begin{array}{rcl} θ + \tan^{- 1} (\frac{2}{3}) & = & \sin^{- 1} (\frac{- 1}{\sqrt{13}}), - π - \sin^{- 1} (\frac{- 1}{\sqrt{13}}) \\ \dots 三 角 凾 数 は 単 射 で は な い の で ， 逆 凾 数 を 得 る た め に 制 限 が 加 え ら れ る \\ \dots y = \sin^{- 1} (x) と す る と 定 義 域 - 1 \leq x \leq 1 ， 値 域 \frac{π}{2} \leq y \leq - \frac{- π}{2} \\ \dots 制 限 が な け れ ば 一 つ の y 軸 の 値 (\sin (x)) に 対 し て y 軸 か ら x 軸 方 向 の 正 負 に 等 距 離 と な る 単 位 円 上 の 2 つ の 点 に 対 す る 角 度 (θ_{1}, θ_{2}) で あ り 2 つ 値 を 持 つ \\ \dots \frac{- 1}{\sqrt{13}} は 負 な の で 制 限 の な い 状 態 で は 単 位 円 第 三, 四 象 限 上 の 点 に 対 す る 角 度 (θ_{1}, θ_{2}) で あ る \\ \dots 制 限 を 考 慮 す る と \sin^{- 1} (\frac{- 1}{\sqrt{13}}) は 単 位 円 第 四 象 限 上 の 点 へ の 角 度 (θ_{1}) の 値 の み を 表 す \\ \dots こ の た め 第 三 象 限 の 点 へ の 角 度 (θ_{2}) の 値 は - π か ら \sin^{- 1} (\frac{- 1}{\sqrt{13}}) の 値 を 引 い た も の と し て 得 る よ う に す る \end{array}

$\sin^{- 1} (\frac{- 1}{\sqrt{13}})$ のケース

\begin{array}{rcl} θ_{1} + \tan^{- 1} (\frac{2}{3}) & = & \sin^{- 1} (\frac{- 1}{\sqrt{13}}) \\ θ_{1} & = & \sin^{- 1} (\frac{- 1}{\sqrt{13}}) - \tan^{- 1} (\frac{2}{3}) \\ = & \tan^{- 1} (\frac{\frac{- 1}{\sqrt{13}}}{\sqrt{1 - {(\frac{- 1}{\sqrt{13}})}^{2}}}) - \tan^{- 1} (\frac{2}{3}) \\ = & \tan^{- 1} (\frac{\frac{- 1}{\sqrt{13}}}{\sqrt{1 - \frac{1}{13}}}) - \tan^{- 1} (\frac{2}{3}) \\ = & \tan^{- 1} (\frac{\frac{- 1}{\sqrt{13}}}{\sqrt{\frac{13}{13} - \frac{1}{13}}}) - \tan^{- 1} (\frac{2}{3}) \\ = & \tan^{- 1} (\frac{\frac{- 1}{\sqrt{13}}}{\sqrt{\frac{12}{13}}}) - \tan^{- 1} (\frac{2}{3}) \\ = & \tan^{- 1} (\frac{\frac{- 1}{\sqrt{13}}}{\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{13}}} \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}) - \tan^{- 1} (\frac{2}{3}) \\ = & \tan^{- 1} (\frac{- 1}{\sqrt{12}}) - \tan^{- 1} (\frac{2}{3}) \\ = & \tan^{- 1} (\frac{- 1}{2 \sqrt{3}}) - \tan^{- 1} (\frac{2}{3}) \\ = & \tan^{- 1} (\frac{\frac{- 1}{2 \sqrt{3}} - \frac{2}{3}}{1 + \frac{- 1}{2 \sqrt{3}} \frac{2}{3}}) \dots \tan^{- 1} (u) \pm \tan^{- 1} (v) = \tan^{- 1} (\frac{u \pm v}{1 \mp u v}) \\ = & \tan^{- 1} (\frac{\frac{- 3 - 4 \sqrt{3}}{6 \sqrt{3}}}{1 + \frac{- 2}{6 \sqrt{3}}}) \dots \frac{- 1}{2 \sqrt{3}} \frac{2}{3} = \frac{- 2}{6 \sqrt{3}} = - 0.192 \dots \\ = & \tan^{- 1} (\frac{\frac{- 3 - 4 \sqrt{3}}{6 \sqrt{3}}}{\frac{- 2 + 6 \sqrt{3}}{6 \sqrt{3}}} \frac{6 \sqrt{3}}{6 \sqrt{3}}) \\ = & \tan^{- 1} (\frac{- 3 - 4 \sqrt{3}}{- 2 + 6 \sqrt{3}} \frac{- 2 - 6 \sqrt{3}}{- 2 + 6 \sqrt{3}}) \\ = & \tan^{- 1} (\frac{6 + 18 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} + 72}{4 - 108}) \\ = & \tan^{- 1} (\frac{78 + 26 \sqrt{3}}{- 104}) \\ = & \tan^{- 1} (\frac{- 3 - \sqrt{3}}{4}) \\ \tan (θ_{1}) & = & \frac{- 3 - \sqrt{3}}{4} < 0 \\ \dots \tan (θ_{1}) が 負 の 値 と い う こ と は θ_{1} は 単 位 円 第 二, 四 象 限 上 の 点 の 角 度 と な る \\ \dots \tan^{- 1} の 制 限 か ら θ_{1} は 単 位 円 第 四 象 限 上 の 点 の 角 度 の 値 で あ る \\ \dots こ れ は 問 い の θ の 条 件 の 範 囲 に な っ て い る ． \end{array}

$- π - \sin^{- 1} (\frac{- 1}{\sqrt{13}})$ のケース

\begin{array}{rcl} θ_{2} + \tan^{- 1} (\frac{2}{3}) & = & - π - \sin^{- 1} (\frac{- 1}{\sqrt{13}}) \\ θ_{2} & = & - π - \sin^{- 1} (\frac{- 1}{\sqrt{13}}) - \tan^{- 1} (\frac{2}{3}) \\ = & - π - \tan^{- 1} (\frac{\frac{- 1}{\sqrt{13}}}{\sqrt{1 - {(\frac{- 1}{\sqrt{13}})}^{2}}}) - \tan^{- 1} (\frac{2}{3}) \\ = & - π - \tan^{- 1} (\frac{\frac{- 1}{\sqrt{13}}}{\sqrt{1 - \frac{1}{13}}}) - \tan^{- 1} (\frac{2}{3}) \\ = & - π - \tan^{- 1} (\frac{\frac{- 1}{\sqrt{13}}}{\sqrt{\frac{13}{13} - \frac{1}{13}}}) - \tan^{- 1} (\frac{2}{3}) \\ = & - π - \tan^{- 1} (\frac{\frac{- 1}{\sqrt{13}}}{\sqrt{\frac{12}{13}}}) - \tan^{- 1} (\frac{2}{3}) \\ = & - π - \tan^{- 1} (\frac{\frac{- 1}{\sqrt{13}}}{\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{13}}} \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}) - \tan^{- 1} (\frac{2}{3}) \\ = & - π - \tan^{- 1} (\frac{- 1}{\sqrt{12}}) - \tan^{- 1} (\frac{2}{3}) \\ = & - π - \tan^{- 1} (\frac{- 1}{2 \sqrt{3}}) - \tan^{- 1} (\frac{2}{3}) \\ = & - π - (\tan^{- 1} (\frac{- 1}{2 \sqrt{3}}) + \tan^{- 1} (\frac{2}{3})) \\ = & - π - \tan^{- 1} (\frac{\frac{- 1}{2 \sqrt{3}} + \frac{2}{3}}{1 - \frac{- 1}{2 \sqrt{3}} \frac{2}{3}}) \dots \tan^{- 1} (u) \pm \tan^{- 1} (v) = \tan^{- 1} (\frac{u \pm v}{1 \mp u v}) \\ = & - π - \tan^{- 1} (\frac{\frac{- 3 + 4 \sqrt{3}}{6 \sqrt{3}}}{1 + \frac{2}{6 \sqrt{3}}}) \dots \frac{1}{2 \sqrt{3}} \frac{2}{3} = \frac{2}{6 \sqrt{3}} = 0.192 \dots \\ = & - π - \tan^{- 1} (\frac{\frac{- 3 + 4 \sqrt{3}}{6 \sqrt{3}}}{\frac{2 + 6 \sqrt{3}}{6 \sqrt{3}}}) \\ = & - π - \tan^{- 1} (\frac{\frac{- 3 + 4 \sqrt{3}}{6 \sqrt{3}}}{\frac{2 + 6 \sqrt{3}}{6 \sqrt{3}}} \frac{6 \sqrt{3}}{6 \sqrt{3}}) \\ = & - π - \tan^{- 1} (\frac{- 3 + 4 \sqrt{3}}{6 \sqrt{3} + 2} \frac{2 - 6 \sqrt{3}}{2 - 6 \sqrt{3}}) \\ = & - π - \tan^{- 1} (\frac{- 6 + 18 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} - 72}{4 - 108}) \\ = & - π - \tan^{- 1} (\frac{- 78 + 26 \sqrt{3}}{- 104}) \\ = & - π - \tan^{- 1} (\frac{3 - \sqrt{3}}{4}) \\ = & - π + \tan^{- 1} (\frac{- 3 + \sqrt{3}}{4}) \dots - \tan^{- 1} (x) = \tan^{- 1} (- x) \\ θ_{2} + π & = & \tan^{- 1} (\frac{- 3 + \sqrt{3}}{4}) \\ \tan (θ_{2} + π) & = & \frac{- 3 + \sqrt{3}}{4} < 0 \\ \dots \tan (θ_{2} + π) が 負 の 値 と い う こ と は θ_{2} + π は 単 位 円 第 二, 四 象 限 上 の 点 の 角 度 と な る \\ \dots \tan^{- 1} の 制 限 か ら θ_{2} + π は 単 位 円 第 四 象 限 上 の 点 の 角 度 の 値 で あ る \\ \dots θ_{2} は - π に 第 四 象 限 の 点 の 角 度 の 値 (負 の 値) を 加 え た も の で あ り 単 位 円 第 二 象 限 上 の 点 の 角 度 の 値 と な る \\ \dots こ れ は 問 い の θ の 条 件 の 範 囲 に な っ て い な い \end{array}

$\tan$ の値から $\sin, \cos$ の値を求める

\begin{array}{rcl} \tan (θ) & = & \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \\ = & \frac{\sin (θ)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (θ)}} \dots \cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ) = 1, \cos (θ) = \sqrt{1 - \sin^{2} (θ)} \\ \tan (θ) \sqrt{1 - \sin^{2} (θ)} & = & \sin (θ) \\ \tan^{2} (θ) (1 - \sin^{2} (θ)) & = & \sin^{2} (θ) \\ \tan^{2} (θ) - \tan^{2} (θ) \sin^{2} (θ) & = & \sin^{2} (θ) \\ \tan^{2} (θ) & = & \sin^{2} (θ) + \tan^{2} (θ) \sin^{2} (θ) \\ \tan^{2} (θ) & = & \sin^{2} (θ) (1 + \tan^{2} (θ)) \\ \frac{\tan^{2} (θ)}{(1 + \tan^{2} (θ))} & = & \sin^{2} (θ) \\ \sin (θ) & = & \frac{\tan (θ)}{\sqrt{1 + \tan^{2} (θ)}} \\ \cos (θ) & = & \frac{\sin (θ)}{\tan (θ)} \\ = & \frac{\frac{\tan (θ)}{\sqrt{1 + \tan^{2} (θ)}}}{\tan (θ)} \\ = & \frac{\tan (θ)}{\tan (θ)} \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2} (θ)}} \\ = & \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2} (θ)}} \end{array}

$\sin, \cos$ の値 / $θ_{1}$ のケース

\begin{array}{rcl} \sin (θ_{1}) & = & \frac{\tan (θ_{1})}{\sqrt{1 + \tan^{2} (θ_{1})}} \\ = & \frac{\frac{- 3 - \sqrt{3}}{4}}{\sqrt{1 + {(\frac{- 3 - \sqrt{3}}{4})}^{2}}} \\ = & \frac{\frac{- 3 - \sqrt{3}}{4}}{\sqrt{1 + \frac{9 + 6 \sqrt{3} + 3}{16}}} \\ = & \frac{\frac{- 3 - \sqrt{3}}{4}}{\sqrt{\frac{16 + 12 + 6 \sqrt{3}}{16}}} \\ = & \frac{\frac{- 3 - \sqrt{3}}{4}}{\sqrt{\frac{28 + 6 \sqrt{3}}{16}}} \\ = & \frac{\frac{- 3 - \sqrt{3}}{4}}{\frac{1}{4} \sqrt{28 + 6 \sqrt{3}}} \\ = & \frac{- 3 - \sqrt{3}}{\sqrt{28 + 6 \sqrt{3}}} \\ = & \frac{- 3 - \sqrt{3}}{\sqrt{27 + 6 \sqrt{3} + 1}} \\ = & \frac{- 3 - \sqrt{3}}{\sqrt{{(3 \sqrt{3})}^{2} + 6 \sqrt{3} + 1}} \\ = & \frac{- 3 - \sqrt{3}}{\sqrt{{(1 + 3 \sqrt{3})}^{2}}} \\ = & \frac{- 3 - \sqrt{3}}{1 + 3 \sqrt{3}} \\ = & \frac{- 3 - \sqrt{3}}{1 + 3 \sqrt{3}} \frac{1 - 3 \sqrt{3}}{1 - 3 \sqrt{3}} \\ = & \frac{- 3 + 9 \sqrt{3} - \sqrt{3} + 9}{1 - 27} \\ = & \frac{6 + 8 \sqrt{3}}{26} \\ = & \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{13} \\ \cos (θ_{1}) & = & \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2} (θ_{1})}} \\ = & \frac{1}{\sqrt{1 + {(\frac{- 3 - \sqrt{3}}{4})}^{2}}} \\ = & \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{3 + 6 \sqrt{3} + 9}{16}}} \\ = & \frac{1}{\sqrt{\frac{16 + 3 + 6 \sqrt{3} + 9}{16}}} \\ = & \frac{1}{\sqrt{\frac{28 + 6 \sqrt{3}}{16}}} \\ = & \frac{1}{\frac{1}{4} \sqrt{28 + 6 \sqrt{3}}} \\ = & \frac{4}{\sqrt{28 + 6 \sqrt{3}}} \\ = & \frac{4}{\sqrt{27 + 6 \sqrt{3} + 1}} \\ = & \frac{4}{\sqrt{(3 \sqrt{3})^{2} + 6 \sqrt{3} + 1}} \\ = & \frac{4}{\sqrt{(1 + 3 \sqrt{3})^{2}}} \\ = & \frac{4}{1 + 3 \sqrt{3}} \\ = & \frac{4}{1 + 3 \sqrt{3}} \frac{1 - 3 \sqrt{3}}{1 - 3 \sqrt{3}} \\ = & \frac{4 (1 - 3 \sqrt{3})}{1 - 27} \\ = & \frac{4 (1 - 3 \sqrt{3})}{- 26} \\ = & \frac{2 (- 1 + 3 \sqrt{3})}{13} \\ = & \frac{- 2 + 6 \sqrt{3}}{13} \end{array}

$\frac{\sin (θ_{1}) + 3}{\cos (θ_{1}) + 2}$ の値

\begin{array}{rcl} \frac{\sin (θ_{1}) + 3}{\cos (θ_{1}) + 2} & = & \frac{\frac{- 3 - 4 \sqrt{3}}{13} + 3}{- 2 + \frac{6 \sqrt{3}}{13} + 2} \\ = & \frac{\frac{- 3 - 4 \sqrt{3} + 39}{13}}{\frac{- 2 + 6 \sqrt{3} + 26}{13}} \\ = & \frac{\frac{36 - 4 \sqrt{3} + 39}{13}}{\frac{24 + 6 \sqrt{3} + 26}{13}} \frac{13}{13} \\ = & \frac{36 - 4 \sqrt{3}}{24 + 6 \sqrt{3}} \\ = & \frac{4 (9 - \sqrt{3})}{6 (4 + \sqrt{3})} \\ = & \frac{4}{6} \frac{9 - \sqrt{3}}{4 + \sqrt{3}} \\ = & \frac{2}{3} \frac{9 - \sqrt{3}}{4 + \sqrt{3}} \frac{4 - \sqrt{3}}{4 - \sqrt{3}} \\ = & \frac{2}{3} \frac{36 - 9 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} + 3}{16 - 3} \\ = & \frac{2}{3} \frac{39 - 13 \sqrt{3}}{- 13} \\ = & \frac{2}{3} (3 - \sqrt{3}) \end{array}

$\sin, \cos$ の値 / $θ_{2}$ のケース

\begin{array}{rcl} \sin (θ_{2} + π) & = & \frac{\tan (θ_{2} + π)}{\sqrt{1 + \tan^{2} (θ_{2} + π)}} \\ = & \frac{\frac{- 3 + \sqrt{3}}{4}}{\sqrt{1 + {(\frac{- 3 + \sqrt{3}}{4})}^{2}}} \\ = & \frac{\frac{- 3 + \sqrt{3}}{4}}{\sqrt{1 + \frac{9 - 6 \sqrt{3} + 3}{16}}} \\ = & \frac{\frac{- 3 + \sqrt{3}}{4}}{\sqrt{\frac{16 + 9 - 6 \sqrt{3} + 3}{16}}} \\ = & \frac{\frac{- 3 + \sqrt{3}}{4}}{\sqrt{\frac{28 - 6 \sqrt{3}}{16}}} \\ = & \frac{\frac{- 3 + \sqrt{3}}{4}}{\frac{1}{4} \sqrt{28 - 6 \sqrt{3}}} \frac{4}{4} \\ = & \frac{- 3 + \sqrt{3}}{\sqrt{28 - 6 \sqrt{3}}} \\ = & \frac{- 3 + \sqrt{3}}{\sqrt{1 - 6 \sqrt{3} + 27}} \\ = & \frac{- 3 + \sqrt{3}}{\sqrt{1 - 6 \sqrt{3} + {(3 \sqrt{3})}^{2}}} \\ = & \frac{- 3 + \sqrt{3}}{\sqrt{{(1 - 3 \sqrt{3})}^{2}}} \\ = & \frac{- 3 + \sqrt{3}}{| 1 - 3 \sqrt{3} |} \\ = & \frac{- 3 + \sqrt{3}}{- (1 - 3 \sqrt{3})} \dots 3 \sqrt{3} > 1 よ り 1 - 3 \sqrt{3} < 0, A < 0 の 時 | A | = - A \\ = & \frac{- 3 + \sqrt{3}}{- 1 + 3 \sqrt{3}} \\ = & \frac{- 3 + \sqrt{3}}{- 1 + 3 \sqrt{3}} \frac{- 1 - 3 \sqrt{3}}{- 1 - 3 \sqrt{3}} \\ = & \frac{3 + 9 \sqrt{3} - \sqrt{3} - 9}{1 - 27} \\ = & \frac{- 6 + 8 \sqrt{3}}{- 26} \\ = & \frac{3 - 4 \sqrt{3}}{13} \\ \sin (θ_{2}) & = & - \frac{3 - 4 \sqrt{3}}{13} \dots \sin (x + π) = - \sin (x) = \sin (- x) \\ = & \frac{- 3 + 4 \sqrt{3}}{13} \\ \cos (θ_{2} + π) & = & \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2} (θ_{2})}} \\ = & \frac{1}{\sqrt{1 + {(\frac{- 3 + \sqrt{3}}{4})}^{2}}} \\ = & \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{9 - 6 \sqrt{3} + 3}{16}}} \\ = & \frac{1}{\sqrt{\frac{16 + 9 - 6 \sqrt{3} + 3}{16}}} \\ = & \frac{1}{\sqrt{\frac{28 - 6 \sqrt{3}}{16}}} \\ = & \frac{1}{\frac{1}{4} \sqrt{28 - 6 \sqrt{3}}} \\ = & \frac{1}{\frac{1}{4} \sqrt{28 - 6 \sqrt{3}}} \frac{4}{4} \\ = & \frac{4}{\sqrt{28 - 6 \sqrt{3}}} \\ = & \frac{4}{\sqrt{1 - 6 \sqrt{3} + 27}} \\ = & \frac{4}{\sqrt{1 - 6 \sqrt{3} + {(3 \sqrt{3})}^{2}}} \\ = & \frac{4}{\sqrt{{(1 - 3 \sqrt{3})}^{2}}} \\ = & \frac{4}{| 1 - 3 \sqrt{3} |} \\ = & \frac{4}{- (1 - 3 \sqrt{3})} \dots 3 \sqrt{3} > 1 よ り 1 - 3 \sqrt{3} < 0, A < 0 の 時 | A | = - A \\ = & \frac{4}{- 1 + 3 \sqrt{3}} \\ = & \frac{4}{- 1 + 3 \sqrt{3}} \frac{- 1 - 3 \sqrt{3}}{- 1 - 3 \sqrt{3}} \\ = & \frac{4 (- 1 - 3 \sqrt{3})}{1 - 27} \\ = & \frac{4 (- 1 - 3 \sqrt{3})}{- 26} \\ = & \frac{- 2 (- 1 - 3 \sqrt{3})}{13} \\ = & \frac{2 + 6 \sqrt{3}}{13} \\ \cos (θ_{2}) & = & - \frac{2 + 6 \sqrt{3}}{13} \\ = & \frac{- 2 - 6 \sqrt{3}}{13} \end{array}

$\frac{\sin (θ_{2}) + 3}{\cos (θ_{2}) + 2}$ の値

\begin{array}{rcl} \frac{\sin (θ_{2}) + 3}{\cos (θ_{2}) + 2} & = & \frac{\frac{- 3 + 4 \sqrt{3}}{13} + 3}{\frac{- 2 - 6 \sqrt{3}}{13} + 2} \\ = & \frac{\frac{- 3 + 4 \sqrt{3} + 39}{13}}{\frac{- 2 - 6 \sqrt{3} + 26}{13}} \\ = & \frac{\frac{36 + 4 \sqrt{3}}{13}}{\frac{24 - 6 \sqrt{3}}{13}} \\ = & \frac{36 + 4 \sqrt{3}}{24 - 6 \sqrt{3}} \\ = & \frac{4}{6} \frac{9 + \sqrt{3}}{4 - \sqrt{3}} \\ = & \frac{2}{3} \frac{9 + \sqrt{3}}{4 - \sqrt{3}} \\ = & \frac{2}{3} \frac{9 + \sqrt{3}}{4 - \sqrt{3}} \frac{4 + \sqrt{3}}{4 + \sqrt{3}} \\ = & \frac{2}{3} \frac{36 + 9 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} + 3}{16 - 3} \\ = & \frac{2}{3} \frac{39 + 13 \sqrt{3}}{13} \\ = & \frac{2}{3} (3 + \sqrt{3}) \end{array}

$\frac{\sin (θ_{1}, 2) + 3}{\cos (θ_{1}, 2) + 2}$ の比較

\begin{array}{rcl} \frac{\sin (θ_{1}) + 3}{\cos (θ_{1}) + 2} & = & \frac{2}{3} (3 - \sqrt{3}) \\ \frac{\sin (θ_{2}) + 3}{\cos (θ_{2}) + 2} & = & \frac{2}{3} (3 + \sqrt{3}) \\ よ り \\ \frac{\sin (θ_{1}) + 3}{\cos (θ_{1}) + 2} < \frac{\sin (θ_{2}) + 3}{\cos (θ_{2}) + 2} \end{array}

よって

θ_{1}

が最小値，

θ_{2}

が最大値の角度となるが，

θ_{2}

は範囲外のため，範囲内での最大を求める必要がある．

\begin{array}{rclrc} θ = \frac{π}{2} の 場 合 & : & \frac{\sin (\frac{π}{2}) + 3}{\cos (\frac{π}{2}) + 2} & = & \frac{1 + 3}{0 + 2} = \frac{4}{2} = 2 \\ θ = \frac{- π}{2} の 場 合 & : & \frac{\sin (\frac{- π}{2}) + 3}{\cos (\frac{- π}{2}) + 2} & = & \frac{- 1 + 3}{0 + 2} = \frac{2}{2} = 1 \end{array}

θ = \frac{π}{2}

の値の方が大きいのでこれが範囲内での最大値となる．

答え

以上より与式の最大値最小値はそれぞれ，最大値

2

，最小値

\frac{2}{3} (3 - \sqrt{3})

となる．

式展開

(sin(x)+3)/(cos(x)+2)の最大値最小値 (一階微分を用いて極値として解く)

問い

一階微分の解で求める

極値を得るため一階微分を求める

極値を得るため一階微分が0となる解を求める

$\sin$ の逆凾数

$\sin^{- 1} (\frac{- 1}{\sqrt{13}})$ のケース

$- π - \sin^{- 1} (\frac{- 1}{\sqrt{13}})$ のケース

$\tan$ の値から $\sin, \cos$ の値を求める

$\sin, \cos$ の値 / $θ_{1}$ のケース

$\frac{\sin (θ_{1}) + 3}{\cos (θ_{1}) + 2}$ の値

$\sin, \cos$ の値 / $θ_{2}$ のケース

$\frac{\sin (θ_{2}) + 3}{\cos (θ_{2}) + 2}$ の値

$\frac{\sin (θ_{1}, 2) + 3}{\cos (θ_{1}, 2) + 2}$ の比較

答え

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式展開

(sin(x)+3)/(cos(x)+2)の最大値最小値 (一階微分を用いて極値として解く)

問い

一階微分の解で求める

極値を得るため一階微分を求める

極値を得るため一階微分が0となる解を求める

sinの逆凾数

sin−1⁡(−113)のケース

−π−sin−1⁡(−113)のケース

tanの値からsin,cosの値を求める

sin,cosの値 / θ1のケース

sin⁡(θ1)+3cos⁡(θ1)+2の値

sin,cosの値 / θ2のケース

sin⁡(θ2)+3cos⁡(θ2)+2の値

sin⁡(θ1,2)+3cos⁡(θ1,2)+2の比較

答え

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$\sin$ の逆凾数

$\sin^{- 1} (\frac{- 1}{\sqrt{13}})$ のケース

$- π - \sin^{- 1} (\frac{- 1}{\sqrt{13}})$ のケース

$\tan$ の値から $\sin, \cos$ の値を求める

$\sin, \cos$ の値 / $θ_{1}$ のケース

$\frac{\sin (θ_{1}) + 3}{\cos (θ_{1}) + 2}$ の値

$\sin, \cos$ の値 / $θ_{2}$ のケース

$\frac{\sin (θ_{2}) + 3}{\cos (θ_{2}) + 2}$ の値

$\frac{\sin (θ_{1}, 2) + 3}{\cos (θ_{1}, 2) + 2}$ の比較