直角三角形を作成し面積の公式より求める方法
\(点P(x_p, y_p)\)から\(x軸\)と水平に\(直線ax+by+c=0\)に向かって線分を引き\(交点A(x_a, y_a=y_p)\)と，\(点P\)から\(x軸\)と垂直に\(直線ax+by+c=0\)に向かって線分を引き\(交点B(x_b=x_p, y_b)\)を用意する．\(\triangle ABP\)は\(\angle P\)を直角とした直角三角形のため，\(\triangle ABP\)の面積は\(\frac{1}{2}\cdot\overline{AP}\cdot\overline{BP}\)となる．一方で，\(\overline{AB}\)を底辺として考えると\(点P\)への\(高さd\)を用いることで，\(\triangle ABP\)の面積は\(\frac{1}{2}\cdot\overline{AB}\cdot d\)で表せる． この2式が同一の面積 を示すので等式にして，式変形で\(d\)を求める(\(d\)は\(点P(x_p, y_p)\)と\(直線ax+by+c=0\)との距離となる)．
$$
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2}\cdot\overline{AP}\cdot\overline{BP}&=&\frac{1}{2}\cdot\overline{AB}\cdot d
\\\overline{AP}\cdot\overline{BP}&=&\overline{AB}\cdot d
\\d&=&\frac{\overline{AP}\cdot\overline{BP}}{\overline{AB}}
\end{eqnarray}
$$
\(\overline{AP}\)を求める．
$$
\begin{eqnarray}
ax_a+by_p+c&=&0\;\cdots\;y_a=y_pなのでy=y_pとしてx_aを求める．
\\x_a&=&-\frac{b}{a}y_p-\frac{c}{a}
\\\overline{AP}&=&\left|x_a-x_p\right|
\\&=&\left|-\frac{b}{a}y_p-\frac{c}{a}-x_p\right|
\\&=&\left|-\frac{1}{a}\left(ax_p+by_p+c\right)\right|
\\&=&\left|\frac{1}{a}\left(ax_p+by_p+c\right)\right|
\end{eqnarray}
$$
\(\overline{BP}\)を求める．
$$
\begin{eqnarray}
ax_p+by_b+c&=&0\;\cdots\;x_b=x_pなのでx=x_pとしてy_bを求める．
\\y_b&=&-\frac{a}{b}x_p-\frac{c}{b}
\\\overline{BP}&=&\left|y_b-y_p\right|
\\&=&\left|-\frac{a}{b}x_p-\frac{c}{b}-y_p\right|
\\&=&\left|-\frac{1}{b}\left(ax_p+by_p+c\right)\right|
\\&=&\left|\frac{1}{b}\left(ax_p+by_p+c\right)\right|
\end{eqnarray}
$$
\(\overline{AB}\)を求める．
$$
\begin{eqnarray}
\overline{AB}&=&\sqrt{\overline{AP}^2+\overline{BP}^2}
\\&=&\sqrt{\left|\frac{1}{a}\left(ax_p+by_p+c\right)\right|^2+\left|\frac{1}{b}\left(ax_p+by_p+c\right)\right|^2}
\\&=&\sqrt{\frac{1}{a^2}\left|ax_p+by_p+c\right|^2+\frac{1}{b^2}\left|ax_p+by_p+c\right|^2}
\\&=&\sqrt{\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right) \left|ax_p+by_p+c\right|^2}
\\&=&\sqrt{\left(\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}\right) \left|ax_p+by_p+c\right|^2}
\\&=&\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\left|ab\right|}\left|ax_p+by_p+c\right|
\end{eqnarray}
$$
\(d\)を求める．
$$
\begin{eqnarray}
\\d&=&\frac{\overline{AP}\cdot\overline{BP}}{\overline{AB}}
\\&=&\frac{\overline{AP}\cdot\overline{BP}}{\sqrt{\overline{AP}^2+\overline{BP}^2}}
\\&=&\frac{\left|\frac{1}{a}\left(ax_p+by_p+c\right)\right|\cdot\left|\frac{1}{b}\left(ax_p+by_p+c\right)\right|}{\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\left|ab\right|}\left|ax_p+by_p+c\right|}
\\&=&\frac{\frac{1}{\left|ab\right|}\left|ax_p+by_p+c\right|^2}{\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\left|ab\right|}\left|ax_p+by_p+c\right|}
\\&=&\frac{\left|ax_p+by_p+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{eqnarray}
$$
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