点と直線の距離 (直角三角形の面積を経由して求める)

直角三角形を作成し面積の公式より求める方法

$\mathrm{点}P(x_p,y_p)$から$x\mathrm{軸}$と水平に$\mathrm{直}\mathrm{線}ax+by+c=0$に向かって線分を引き$\mathrm{交}\mathrm{点}A(x_a,y_a=y_p)$と，$\mathrm{点}P$から$x\mathrm{軸}$と垂直に$\mathrm{直}\mathrm{線}ax+by+c=0$に向かって線分を引き$\mathrm{交}\mathrm{点}B(x_b=x_p,y_b)$を用意する．
$\mathrm{△}ABP$は$\mathrm{\angle }P$を直角とした直角三角形のため，$\mathrm{△}ABP$の面積は$\frac{1}{2}\cdot \overline{AP}\cdot \overline{BP}$となる．一方で，$\overline{AB}$を底辺として考えると$\mathrm{点}P$への$\mathrm{高}\mathrm{さ}d$を用いることで，$\mathrm{△}ABP$の面積は$\frac{1}{2}\cdot \overline{AB}\cdot d$で表せる． この2式が同一の面積 を示すので等式にして，式変形で$d$を求める($d$は$\mathrm{点}P(x_p,y_p)$と$\mathrm{直}\mathrm{線}ax+by+c=0$との距離となる)． $$\begin{array}{rcl}\frac{1}{2}\cdot \overline{AP}\cdot \overline{BP}& =& \frac{1}{2}\cdot \overline{AB}\cdot d\\ \overline{AP}\cdot \overline{BP}& =& \overline{AB}\cdot d\\ d& =& \frac{\overline{AP}\cdot \overline{BP}}{\overline{AB}}\end{array}$$ $\overline{AP}$を求める． $$\begin{array}{rcl}a{x}_a+b{y}_p+c& =& 0\cdots y_a=y_p\mathrm{な}\mathrm{の}\mathrm{で}y=y_p\mathrm{と}\mathrm{し}\mathrm{て}{x}_a\mathrm{を}\mathrm{求}\mathrm{め}\mathrm{る}．\\ x_a& =& -\frac{b}{a}{y}_p-\frac{c}{a}\\ \overline{AP}& =& |x_a-x_p|\\ & =& |-\frac{b}{a}{y}_p-\frac{c}{a}-x_p|\\ & =& |-\frac{1}{a}(a{x}_p+b{y}_p+c)|\\ & =& \left|\frac{1}{a}(a{x}_p+b{y}_p+c)\right|\end{array}$$ $\overline{BP}$を求める． $$\begin{array}{rcl}a{x}_p+b{y}_b+c& =& 0\cdots x_b=x_p\mathrm{な}\mathrm{の}\mathrm{で}x=x_p\mathrm{と}\mathrm{し}\mathrm{て}{y}_b\mathrm{を}\mathrm{求}\mathrm{め}\mathrm{る}．\\ y_b& =& -\frac{a}{b}{x}_p-\frac{c}{b}\\ \overline{BP}& =& |y_b-y_p|\\ & =& |-\frac{a}{b}{x}_p-\frac{c}{b}-y_p|\\ & =& |-\frac{1}{b}(a{x}_p+b{y}_p+c)|\\ & =& \left|\frac{1}{b}(a{x}_p+b{y}_p+c)\right|\end{array}$$ $\overline{AB}$を求める． $$\begin{array}{rcl}\overline{AB}& =& \sqrt{{\overline{AP}}^2+{\overline{BP}}^2}\\ & =& \sqrt{{\left|\frac{1}{a}(a{x}_p+b{y}_p+c)\right|}^2+{\left|\frac{1}{b}(a{x}_p+b{y}_p+c)\right|}^2}\\ & =& \sqrt{\frac{1}{a^2}{|a{x}_p+b{y}_p+c|}^2+\frac{1}{b^2}{|a{x}_p+b{y}_p+c|}^2}\\ & =& \sqrt{(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}){|a{x}_p+b{y}_p+c|}^2}\\ & =& \sqrt{\left(\frac{a^2+b^2}{a^2{b}^2}\right){|a{x}_p+b{y}_p+c|}^2}\\ & =& \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\left|ab\right|}|a{x}_p+b{y}_p+c|\end{array}$$ $d$を求める． $$\begin{array}{r}\\ d& =& \frac{\overline{AP}\cdot \overline{BP}}{\overline{AB}}\\ & =& \frac{\overline{AP}\cdot \overline{BP}}{\sqrt{{\overline{AP}}^2+{\overline{BP}}^2}}\\ & =& \frac{\left|\frac{1}{a}(a{x}_p+b{y}_p+c)\right|\cdot \left|\frac{1}{b}(a{x}_p+b{y}_p+c)\right|}{\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\left|ab\right|}|a{x}_p+b{y}_p+c|}\\ & =& \frac{\frac{1}{\left|ab\right|}{|a{x}_p+b{y}_p+c|}^2}{\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\left|ab\right|}|a{x}_p+b{y}_p+c|}\\ & =& \frac{|a{x}_p+b{y}_p+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{array}$$