内積と外積が組み合わされた式 ( スカラー三重積 )

内積と外積が組み合わされた式

外積したものと内積をとった場合 $$ \begin{eqnarray} \mathbf{A}\cdot\left(\mathbf{B}\times\mathbf{C}\right) &=&\left(x_a\mathbf{i}+y_a\mathbf{j}+z_a\mathbf{k}\right) \cdot \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ x_b&y_b&z_b\\ x_c&y_c&z_c\\ \end{vmatrix} \\&=& \left( x_a\mathbf{i} +y_a\mathbf{j} +z_a\mathbf{k} \right) \cdot \left( \left(y_bz_c-y_cz_b\right)\mathbf{i} +\left(x_cz_b-x_bz_c\right)\mathbf{j} +\left(x_by_c-x_cy_b\right)\mathbf{k} \right) \\&=& x_a\left(y_bz_c-y_cz_b\right) +y_a\left(x_cz_b-x_bz_c\right) +z_a\left(x_by_c-x_cy_b\right) \\&=& x_ay_bz_c +x_by_cz_a +x_cy_az_b -x_ay_cz_b -x_by_az_c -x_cy_bz_a \end{eqnarray} $$ $$ \begin{eqnarray} \left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right)\cdot\mathbf{C} &=& \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ x_a&y_a&z_a\\ x_b&y_b&z_b\\ \end{vmatrix} \cdot \left(x_c\mathbf{i}+y_c\mathbf{j}+z_c\mathbf{k}\right) \\&=& \left( \left(y_az_b-y_bz_a\right)\mathbf{i} +\left(x_bz_a-x_az_b\right)\mathbf{j} +\left(x_ay_b-x_by_a\right)\mathbf{k} \right) \cdot \left( x_c\mathbf{i} +y_c\mathbf{j} +z_c\mathbf{k} \right) \\&=& \left(y_az_b-y_bz_a\right)x_c +\left(x_bz_a-x_az_b\right)y_c +\left(x_ay_b-x_by_a\right)z_c \\&=& x_cy_az_b-x_cy_bz_a +x_by_cz_a-x_ay_cz_b +x_ay_bz_c-x_by_az_c \\&=& x_ay_bz_c +x_by_cz_a +x_cy_az_b -x_ay_cz_b -x_by_az_c -x_cy_bz_a \end{eqnarray} $$ 以上より内積と外積の位置が入れ替わった上記2式が等しいことがわかった． この計算をスカラー三重積と呼ぶ． $$ \begin{eqnarray} \mathbf{A}\cdot\left(\mathbf{B}\times\mathbf{C}\right) &=&\left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right)\cdot\mathbf{C} \end{eqnarray} $$

スカラー三重積と循環シフト

前述の等式の各ベクトルの表す文字を循環シフトさせて文字を入れ替え，更に2つの等式を用意する． $$ \begin{eqnarray} \mathbf{A}\cdot\left(\mathbf{B}\times\mathbf{C}\right) &=&\left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right)\cdot\mathbf{C}\;\cdots\;前述の等式 \\ \mathbf{B}\cdot\left(\mathbf{C}\times\mathbf{A}\right) &=&\left(\mathbf{B}\times\mathbf{C}\right)\cdot\mathbf{A} =\mathbf{A}\cdot\left(\mathbf{B}\times\mathbf{C}\right) \;\cdots\;\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=\mathbf{B}\cdot\mathbf{A} \\ \mathbf{C}\cdot\left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right) &=&\left(\mathbf{C}\times\mathbf{A}\right)\cdot\mathbf{B} =\mathbf{B}\cdot\left(\mathbf{C}\times\mathbf{A}\right) \;\cdots\;\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=\mathbf{B}\cdot\mathbf{A} \end{eqnarray} $$ 以上より6つの“内積と外積が組み合わされた式”は等しいことがわかった． $$ \begin{eqnarray} \mathbf{A}\cdot\left(\mathbf{B}\times\mathbf{C}\right) &=&\mathbf{B}\cdot\left(\mathbf{C}\times\mathbf{A}\right) \\&=&\mathbf{C}\cdot\left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right) \\&=&\left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right)\cdot\mathbf{C} \\&=&\left(\mathbf{B}\times\mathbf{C}\right)\cdot\mathbf{A} \\&=&\left(\mathbf{C}\times\mathbf{A}\right)\cdot\mathbf{B} \end{eqnarray} $$
(これらは\(\mathbf{A}\),\(\mathbf{B}\),\(\mathbf{C}\)を循環シフトした並びであり，\(\mathbf{A}\),\(\mathbf{C}\),\(\mathbf{B}\)のような入替えを含めた並びにはならない点に注意)