式展開
間違いしかありません．コメントにてご指摘いただければ幸いです(気が付いた点を特に断りなく頻繁に書き直していますのでご注意ください)．
内積と外積が組み合わされた式 ( スカラー三重積 )
内積と外積が組み合わされた式
外積したものと内積をとった場合
A
⋅
(
B
×
C
)
=
(
x
a
i
+
y
a
j
+
z
a
k
)
⋅
|
i
j
k
x
b
y
b
z
b
x
c
y
c
z
c
|
=
(
x
a
i
+
y
a
j
+
z
a
k
)
⋅
(
(
y
b
z
c
−
y
c
z
b
)
i
+
(
x
c
z
b
−
x
b
z
c
)
j
+
(
x
b
y
c
−
x
c
y
b
)
k
)
=
x
a
(
y
b
z
c
−
y
c
z
b
)
+
y
a
(
x
c
z
b
−
x
b
z
c
)
+
z
a
(
x
b
y
c
−
x
c
y
b
)
=
x
a
y
b
z
c
+
x
b
y
c
z
a
+
x
c
y
a
z
b
−
x
a
y
c
z
b
−
x
b
y
a
z
c
−
x
c
y
b
z
a
(
A
×
B
)
⋅
C
=
|
i
j
k
x
a
y
a
z
a
x
b
y
b
z
b
|
⋅
(
x
c
i
+
y
c
j
+
z
c
k
)
=
(
(
y
a
z
b
−
y
b
z
a
)
i
+
(
x
b
z
a
−
x
a
z
b
)
j
+
(
x
a
y
b
−
x
b
y
a
)
k
)
⋅
(
x
c
i
+
y
c
j
+
z
c
k
)
=
(
y
a
z
b
−
y
b
z
a
)
x
c
+
(
x
b
z
a
−
x
a
z
b
)
y
c
+
(
x
a
y
b
−
x
b
y
a
)
z
c
=
x
c
y
a
z
b
−
x
c
y
b
z
a
+
x
b
y
c
z
a
−
x
a
y
c
z
b
+
x
a
y
b
z
c
−
x
b
y
a
z
c
=
x
a
y
b
z
c
+
x
b
y
c
z
a
+
x
c
y
a
z
b
−
x
a
y
c
z
b
−
x
b
y
a
z
c
−
x
c
y
b
z
a
以上より内積と外積の位置が入れ替わった上記2式が等しいことがわかった． この計算をスカラー三重積と呼ぶ．
A
⋅
(
B
×
C
)
=
(
A
×
B
)
⋅
C
スカラー三重積と循環シフト
前述の等式の各ベクトルの表す文字を循環シフトさせて文字を入れ替え，更に2つの等式を用意する．
前
述
の
等
式
A
⋅
(
B
×
C
)
=
(
A
×
B
)
⋅
C
⋯
前
述
の
等
式
B
⋅
(
C
×
A
)
=
(
B
×
C
)
⋅
A
=
A
⋅
(
B
×
C
)
⋯
A
⋅
B
=
B
⋅
A
C
⋅
(
A
×
B
)
=
(
C
×
A
)
⋅
B
=
B
⋅
(
C
×
A
)
⋯
A
⋅
B
=
B
⋅
A
以上より6つの“内積と外積が組み合わされた式”は等しいことがわかった．
A
⋅
(
B
×
C
)
=
B
⋅
(
C
×
A
)
=
C
⋅
(
A
×
B
)
=
(
A
×
B
)
⋅
C
=
(
B
×
C
)
⋅
A
=
(
C
×
A
)
⋅
B
(これらは
A
,
B
,
C
を循環シフトした並びであり，
A
,
C
,
B
のような入替えを含めた並びにはならない点に注意)
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