直交する直線の式より交点を求め，距離を求める方法
\(点P(x_p, y_p)\)と\(直線ax+by+c=0\)の距離の公式を導く．
$$
\begin{eqnarray}
ax+by+c&=&0
\\y&=&-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}
\end{eqnarray}
$$
傾き\(\alpha\)の直線に直交する直線の傾きは\(-\frac{1}{\alpha}\)となるので上記の直線の場合，直交する直線の傾きは以下のようになる．
$$
\begin{eqnarray}
-\frac{1}{\alpha}&=&-\frac{1}{-\frac{a}{b}}
\\&=&\frac{b}{a}
\end{eqnarray}
$$
上記傾きの直線が\(点P(x_p, y_p)\)を通るのでこの直線の式は以下のようになる．
$$
\begin{eqnarray}
y-y_p&=&\frac{b}{a}\left(x-x_p\right)
\\y&=&\frac{b}{a}\left(x-x_p\right)+y_p
\\&=&\frac{b}{a}x-\frac{b}{a}x_p+y_p
\end{eqnarray}
$$
もとの\(直線 y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}\)と上記の直交する\(直線 y=\frac{b}{a}x-\frac{b}{a}x_p+y_p\)との\(交点Q(x_q, y_q)\)を求める．
$$
\begin{eqnarray}
\\-\frac{a}{b}x_q-\frac{c}{b}&=&\frac{b}{a}x_q-\frac{b}{a}x_p+y_p
\\-\frac{a}{b}x_q-\frac{b}{a}x_q&=&-\frac{b}{a}x_p+y_p+\frac{c}{b}
\\\left(-\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)x_q&=&-\frac{b}{a}x_p+y_p+\frac{c}{b}
\\-\frac{a^2+b^2}{ab}x_q&=&-\frac{b}{a}x_p+y_p+\frac{c}{b}
\\x_q&=&\frac{-ab}{a^2+b^2}\left(-\frac{b}{a}x_p+y_p+\frac{c}{b}\right)
\\&=&\frac{1}{a^2+b^2}\left(b^2x_p-aby_p-ac\right)
\\
\\y_q&=&-\frac{a}{b}x_q-\frac{c}{b}
\\&=&-\frac{a}{b}\left\{\frac{1}{a^2+b^2}\left(b^2x_p-aby_p-ac\right)\right\}-\frac{c}{b}
\\&=&\frac{1}{a^2+b^2}\left(-abx_p+a^2y_p+\frac{a^2}{b}c\right)-\frac{c}{b}
\\&=&\frac{1}{a^2+b^2}\left\{-abx_p+a^2y_p+\frac{a^2}{b}c-\left(a^2+b^2\right)\frac{c}{b}\right\}
\\&=&\frac{1}{a^2+b^2}\left\{-abx_p+a^2y_p+\frac{c}{b}\left(a^2-a^2-b^2\right)\right\}
\\&=&\frac{1}{a^2+b^2}\left(-abx_p+a^2y_p-\frac{b^2c}{b}\right)
\\&=&\frac{1}{a^2+b^2}\left(-abx_p+a^2y_p-bc\right)
\end{eqnarray}
$$
以上より\(点P(x_p, y_p)\)と\(点Q(x_q, y_q)\)の距離を求める．
$$
\begin{eqnarray}
\\x_q-x_p&=&\frac{1}{a^2+b^2}\left(b^2x_p-aby_p-ac\right)-x_p
\\&=&\frac{1}{a^2+b^2}\left\{b^2x_p-aby_p-ac-\left(a^2+b^2\right)x_p\right\}
\\&=&\frac{1}{a^2+b^2}\left(b^2x_p-aby_p-ac-a^2x_p-b^2x_p\right)
\\&=&\frac{1}{a^2+b^2}\left(-a^2x_p-aby_p-ac\right)
\\&=&\frac{-a}{a^2+b^2}\left(ax_p+by_p+c\right)
\\
\\\left(x_q-x_p\right)^2&=&\left\{\frac{-a}{a^2+b^2}\left(ax_p+by_p+c\right)\right\}^2
\\&=&\left(\frac{-a}{a^2+b^2}\right)^2\left(ax_p+by_p+c\right)^2
\\&=&\frac{ \left(-a\right)^2 }{ \left(a^2+b^2\right)^2 }\left(ax_p+by_p+c\right)^2
\\&=&\frac{ a^2 }{ \left(a^2+b^2\right)^2 }\left(ax_p+by_p+c\right)^2
\\
\\y_q-y_p&=&\frac{1}{a^2+b^2}\left(-abx_p+a^2y_p-bc\right)-y_p
\\&=&\frac{1}{a^2+b^2}\left\{-abx_p+a^2y_p-bc-\left(a^2+b^2\right)y_p\right\}
\\&=&\frac{1}{a^2+b^2}\left(-abx_p+a^2y_p-bc-a^2y_p-b^2y_p\right)
\\&=&\frac{1}{a^2+b^2}\left(-abx_p-b^2y_p-bc\right)
\\&=&\frac{-b}{a^2+b^2}\left(ax_p+by_p+c\right)
\\
\\\left(y_q-y_p\right)^2&=&\left\{\frac{-b}{a^2+b^2}\left(ax_p+by_p+c\right)\right\}^2
\\&=&\left(\frac{-b}{a^2+b^2}\right)^2\left(ax_p+by_p+c\right)^2
\\&=&\frac{ \left(-b\right)^2 }{ \left(a^2+b^2\right)^2 }\left(ax_p+by_p+c\right)^2
\\&=&\frac{ b^2 }{ \left(a^2+b^2\right)^2 }\left(ax_p+by_p+c\right)^2
\\
\\\left(x_q-x_p\right)^2+\left(y_q-y_p\right)^2
&=&\frac{ a^2 }{ \left(a^2+b^2\right)^2 }\left(ax_p+by_p+c\right)^2 + \frac{ b^2 }{ \left(a^2+b^2\right)^2 }\left(ax_p+by_p+c\right)^2
\\&=&\left\{ \frac{ a^2 }{ \left(a^2+b^2\right)^2 } + \frac{ b^2 }{ \left(a^2+b^2\right)^2 }\right\} \left(ax_p+by_p+c\right)^2
\\&=&\frac{a^2+b^2}{\left(a^2+b^2\right)^2}\left(ax_p+by_p+c\right)^2
\\&=&\frac{1}{a^2+b^2}\left(ax_p+by_p+c\right)^2
\\&=&\frac{\left(ax_p+by_p+c\right)^2}{a^2+b^2}
\\
\\\sqrt{\left(x_q-x_p\right)^2+\left(y_q-y_p\right)^2}
&=&\sqrt{\frac{\left(ax_p+by_p+c\right)^2}{a^2+b^2}}
\\&=&\frac{\left|ax_p+by_p+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{eqnarray}
$$
与えられる\(直線\)が\(直線y=ax+b\)の形の場合，上記公式の\(b=1\)で\(c\)を\(b\)と表すことになる．よって公式は以下のように変わることになる．
$$
\begin{eqnarray}
\sqrt{\left(x_q-x_p\right)^2+\left(y_q-y_p\right)^2}
&=&\frac{\left|ax_p+y_p+b\right|}{\sqrt{a^2+1^2}}
\end{eqnarray}
$$
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