式展開: カイ二乗分布の導出

カイ二乗分布の導出

カイ二乗 $χ^{2}$ 分布の導出

$k = 1$ のXの確率密度凾数

\begin{array}{rcl} X & = & Z_{1}^{2} \dots Z_{1} : 標 準 正 規 分 布 に 従 う 確 率 変 数 \\ F_{1} (X = t) & = & \int_{0}^{t} f_{1} (x) d x \dots k = 1 の X の 累 積 分 布 凾 数 F_{1}, 確 率 密 度 凾 数 f_{1} \\ F_{1} (X = t) & = & \int_{- \sqrt{t}}^{+ \sqrt{t}} g (z_{1}) d z_{1} \dots Z_{1} = \pm \sqrt{X}, x : 0 \to t, z_{1} : 0 \to \pm \sqrt{t} 標 準 正 規 分 布 の 確 率 密 度 凾 数 g \\ = & 2 \int_{0}^{\sqrt{t}} g (z_{1}) d z_{1} \dots 標 準 正 規 分 布 は 偶 凾 数 (y 軸 (x ＝ 0) で 左 右 対 称), Z_{1} \geq 0 の み 考 え れ ば よ く す る \\ = & 2 \int_{0}^{t} g (\sqrt{x}) \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} d x \\ \dots Z_{1} = \sqrt{X} (Z_{1} \geq 0) よ り \frac{d z_{1}}{d x} = \frac{d}{d x} \sqrt{x} = \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}, d z_{1} = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} d x \\ \dots z_{1} : 0 \to \sqrt{t}, x : 0 \to t \\ = & \int_{0}^{t} g (\sqrt{x}) x^{- \frac{1}{2}} d x \\ \int_{0}^{t} f_{1} (x) d x & = & \int_{0}^{t} g (\sqrt{x}) x^{- \frac{1}{2}} d x \dots 累 積 分 布 凾 数 同 士 な の で 等 し い (0 か ら 任 意 の t (> 0) ま で の 定 積 分 が 等 し い) \\ f_{1} (x) & = & g (\sqrt{x}) x^{- \frac{1}{2}} \dots 0 か ら 任 意 の t (> 0) ま で の 定 積 分 が 等 し い \to 0 か ら t の 範 囲 で 等 し い \to 各 t で の 微 分 が 等 し い \to 被 積 分 凾 数 同 士 も 等 し い \\ = & \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{2}} x^{- \frac{1}{2}} \dots 標 準 正 規 分 布 の 確 率 密 度 凾 数 : g (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{x^{2}}{2}} \\ = & \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{x}{2}} x^{- \frac{1}{2}} \end{array}

$k = 2$ のXの確率密度凾数

k = 2

\begin{array}{rcl} X & = & Z_{1}^{2} + Z_{2}^{2} \dots Z_{1}, Z_{2} : 互 い に 独 立 に 標 準 正 規 分 布 に 従 う 確 率 変 数 \\ Y & = & Z_{1}^{2} \\ X - Y & = & Z_{2}^{2} \\ f_{2} (x) & = & \int_{0}^{\infty} f_{1} (y) f_{1} (x - y) d y \dots k = 2 の X の 確 率 密 度 凾 数 f_{2}, Z_{1} と Z_{2} は 独 立 な の で 同 時 確 率 は f_{1} (Z_{1}) と f_{1} (Z_{2}) の 積 \\ = & \int_{0}^{x} {\frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{y}{2}} y^{- \frac{1}{2}}} \cdot {\frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{(x - y)}{2}} (x - y)^{- \frac{1}{2}}} d y \\ = & \frac{1}{\sqrt{2 π}} \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{0}^{x} e^{- \frac{y}{2}} e^{- \frac{(x - y)}{2}} y^{- \frac{1}{2}} (x - y)^{- \frac{1}{2}} d y \\ = & \frac{1}{2 π} \int_{0}^{x} e^{- \frac{y}{2} - \frac{(x - y)}{2}} y^{- \frac{1}{2}} (x - y)^{- \frac{1}{2}} d y \\ = & \frac{1}{2 π} e^{- \frac{x}{2}} \int_{0}^{x} y^{- \frac{1}{2}} (x - y)^{- \frac{1}{2}} d y \\ = & \frac{1}{2 π} e^{- \frac{x}{2}} π \dots \int_{0}^{a} \frac{1}{\sqrt{x} \sqrt{a - x}} d x = π \\ = & \frac{1}{2} e^{- \frac{x}{2}} \end{array}

$k = 3$ のXの確率密度凾数

\begin{array}{rcl} X & = & Z_{1}^{2} + Z_{2}^{2} + Z_{3}^{2} \dots Z_{1}, Z_{2}, Z_{3} : 互 い に 独 立 に 標 準 正 規 分 布 に 従 う 確 率 変 数 \\ Y & = & Z_{1}^{2} + Z_{2}^{2} \\ X - Y & = & Z_{3}^{2} \\ f_{3} (x) & = & \int_{0}^{\infty} f_{2} (y) f_{1} (x - y) d y \dots k = 3 の X の 確 率 密 度 凾 数 f_{3}, Y と Z_{3} は 独 立 な の で 同 時 確 率 は f_{2} (Y) と f_{1} (Z_{3}) の 積 \\ = & \int_{0}^{x} {\frac{1}{2} e^{- \frac{y}{2}}} \cdot {\frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{(x - y)}{2}} (x - y)^{- \frac{1}{2}}} d y \\ = & \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{0}^{x} e^{- \frac{y}{2}} e^{- \frac{(x - y)}{2}} (x - y)^{- \frac{1}{2}} d y \\ = & \frac{1}{2 \sqrt{2 π}} \int_{0}^{x} e^{- \frac{y}{2} - \frac{(x - y)}{2}} (x - y)^{- \frac{1}{2}} d y \\ = & \frac{1}{2 \sqrt{2 π}} e^{- \frac{x}{2}} \int_{0}^{x} (x - y)^{- \frac{1}{2}} d y \\ = & \frac{1}{2 \sqrt{2 π}} e^{- \frac{x}{2}} 2 x^{\frac{1}{2}} \dots \int_{0}^{a} \frac{1}{\sqrt{a - x}} d x = 2 a^{\frac{1}{2}} \\ = & \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{x}{2}} x^{\frac{1}{2}} \end{array}

$k = 4$ のXの確率密度凾数

\begin{array}{rcl} X & = & Z_{1}^{2} + Z_{2}^{2} + Z_{3}^{2} + Z_{4}^{2} \dots Z_{1}, Z_{2}, Z_{3}, Z_{4} : 互 い に 独 立 に 標 準 正 規 分 布 に 従 う 確 率 変 数 \\ Y & = & Z_{1}^{2} + Z_{2}^{2} + Z_{3}^{2} \\ X - Y & = & Z_{4}^{2} \\ f_{4} (x) & = & \int_{0}^{\infty} f_{3} (y) f_{1} (x - y) d y \dots k = 4 の X の 確 率 密 度 凾 数 f_{4}, Y と Z_{4} は 独 立 な の で 同 時 確 率 は f_{3} (Y) と f_{1} (Z_{4}) の 積 \\ = & \int_{0}^{x} {\frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{y}{2}} y^{\frac{1}{2}}} \cdot {\frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{(x - y)}{2}} (x - y)^{- \frac{1}{2}}} d y \\ = & \frac{1}{\sqrt{2 π}} \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{0}^{x} e^{- \frac{y}{2}} e^{- \frac{(x - y)}{2}} y^{\frac{1}{2}} (x - y)^{- \frac{1}{2}} d y \\ = & \frac{1}{2 π} \int_{0}^{x} e^{- \frac{y}{2} - \frac{(x - y)}{2}} y^{\frac{1}{2}} (x - y)^{- \frac{1}{2}} d y \\ = & \frac{1}{2 π} e^{- \frac{x}{2}} \int_{0}^{x} y^{\frac{1}{2}} (x - y)^{- \frac{1}{2}} d y \\ = & \frac{1}{2 π} e^{- \frac{x}{2}} \frac{x π}{2} \dots \int_{0}^{a} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{a - x}} d x = \frac{a π}{2} \\ = & \frac{1}{4} e^{- \frac{x}{2}} x \end{array}

$k = 5$ のXの確率密度凾数

\begin{array}{rcl} X & = & Z_{1}^{2} + Z_{2}^{2} + Z_{3}^{2} + Z_{4}^{2} + Z_{5}^{2} \dots Z_{1}, Z_{2}, Z_{3}, Z_{4}, Z_{5} : 互 い に 独 立 に 標 準 正 規 分 布 に 従 う 確 率 変 数 \\ Y & = & Z_{1}^{2} + Z_{2}^{2} + Z_{3}^{2} + Z_{4}^{2} \\ X - Y & = & Z_{5}^{2} \\ f_{5} (x) & = & \int_{0}^{\infty} f_{4} (y) f_{1} (x - y) d y \dots k = 5 の X の 確 率 密 度 凾 数 f_{5}, Y と Z_{4} は 独 立 な の で 同 時 確 率 は f_{4} (Y) と f_{1} (Z_{5}) の 積 \\ = & \int_{0}^{x} {\frac{1}{4} e^{- \frac{y}{2}} y} \cdot {\frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{(x - y)}{2}} (x - y)^{- \frac{1}{2}}} d y \\ = & \frac{1}{4} \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{0}^{x} e^{- \frac{y}{2}} e^{- \frac{(x - y)}{2}} y (x - y)^{- \frac{1}{2}} d y \\ = & \frac{1}{4 \sqrt{2 π}} \int_{0}^{x} e^{- \frac{y}{2} - \frac{(x - y)}{2}} y (x - y)^{- \frac{1}{2}} d y \\ = & \frac{1}{4 \sqrt{2 π}} e^{- \frac{x}{2}} \int_{0}^{x} y (x - y)^{- \frac{1}{2}} d y \\ = & \frac{1}{4 \sqrt{2 π}} e^{- \frac{x}{2}} \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} \dots \int_{0}^{a} \frac{x}{\sqrt{a - x}} d x = \frac{4}{3} a^{\frac{3}{2}} \\ = & \frac{1}{3 \sqrt{2 π}} e^{- \frac{x}{2}} x^{\frac{3}{2}} \end{array}

$k = n$ の $X$ の確率密度凾数の類推

\begin{matrix} k = 1 & : & f_{1} (x) = & \frac{1}{\sqrt{2 π}} & e^{- \frac{x}{2}} & x^{- \frac{1}{2}} \\ k = 2 & : & f_{2} (x) = & \frac{1}{2} & e^{- \frac{x}{2}} & x^{0} \\ k = 3 & : & f_{3} (x) = & \frac{1}{\sqrt{2 π}} & e^{- \frac{x}{2}} & x^{\frac{1}{2}} \\ k = 4 & : & f_{4} (x) = & \frac{1}{4} & e^{- \frac{x}{2}} & x^{1} \\ k = 5 & : & f_{5} (x) = & \frac{1}{3 \sqrt{2 π}} & e^{- \frac{x}{2}} & x^{\frac{3}{2}} \\ k = n & : & f_{n} (x) = & α_{n} & e^{- \frac{x}{2}} & x^{\frac{n}{2} - 1} \end{matrix}

係数 $α_{n}$ を求める

\begin{array}{rcl} F_{n} (t) & = & \int_{0}^{t} f_{n} (x) d x \dots 任 意 の n に お け る X の 累 積 分 布 凾 数 F_{n}, 確 率 密 度 凾 数 f_{n} \\ F_{n} (t) & = & \int_{0}^{t} α_{n} e^{- \frac{x}{2}} x^{\frac{n}{2} - 1} d x \dots 前 述 の 類 推 よ り \\ = & α_{n} \int_{0}^{t} e^{- \frac{x}{2}} x^{\frac{n}{2} - 1} d x \dots α_{n} は x に よ ら な い 定 数, \int c f (x) d x = c \int f (x) d x \\ = & α_{n} \int_{0}^{t} e^{- t} (2 u)^{\frac{n}{2} - 1} 2 d u \dots u = \frac{x}{2}, x = 2 u, \frac{d x}{d u} = 2, x : 0 \to \infty, u : 0 \to \infty \\ = & α_{n} \int_{0}^{t} e^{- t} 2^{\frac{n}{2} - 1} t^{\frac{n}{2} - 1} 2 d t \\ = & α_{n} \int_{0}^{t} e^{- t} 2^{\frac{n}{2}} t^{\frac{n}{2} - 1} d t \\ = & α_{n} 2^{\frac{n}{2}} \int_{0}^{t} e^{- t} t^{\frac{n}{2} - 1} d t \\ F_{n} (t = \infty) & = & \int_{0}^{\infty} f_{n} (x) d x \\ = & α_{n} 2^{\frac{n}{2}} \int_{0}^{\infty} e^{- t} t^{\frac{n}{2} - 1} d t \\ = & α_{n} 2^{\frac{n}{2}} Γ (\frac{n}{2}) \dots Γ (s) = \int_{0}^{\infty} e^{- t} t^{s - 1} d t \\ = & α_{n} 2^{\frac{n}{2}} Γ (\frac{n}{2}) \\ = & 1 \dots 全 事 象 は 1 \\ α_{n} & = & \frac{F_{n} (t = \infty)}{2^{\frac{n}{2}} Γ (\frac{n}{2})} \\ = & \frac{1}{2^{\frac{n}{2}} Γ (\frac{n}{2})} \end{array}

係数 $α_{k}$ の確認

\begin{matrix} α_{1} & = & \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} Γ (\frac{1}{2})} & = & \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \sqrt{π}} & = & \frac{1}{\sqrt{2 π}} \\ α_{2} & = & \frac{1}{2^{\frac{2}{2}} Γ (\frac{2}{2})} & = & \frac{1}{2^{1} 1} & = & \frac{1}{2} \\ α_{3} & = & \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} Γ (\frac{3}{2})} & = & \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{π}}{2}} & = & \frac{1}{\sqrt{2 π}} \\ α_{4} & = & \frac{1}{2^{\frac{4}{2}} Γ (\frac{4}{2})} & = & \frac{1}{2^{2} 1} & = & \frac{1}{4} \\ α_{5} & = & \frac{1}{2^{\frac{5}{2}} Γ (\frac{5}{2})} & = & \frac{1}{2^{\frac{5}{2}} \frac{3 \sqrt{π}}{4}} & = & \frac{1}{3 \sqrt{2 π}} \end{matrix}

累積分布凾数の等式より $k = n$ の $X$ の確率密度凾数を求める

\begin{array}{rcl} \int_{0}^{t} f_{n} (x) d x & = & \int_{0}^{t} \frac{1}{2^{\frac{n}{2}} Γ (\frac{n}{2})} e^{- \frac{x}{2}} x^{\frac{n}{2} - 1} d x \dots 累 積 分 布 凾 数 同 士 な の で 等 し い (0 か ら 任 意 の t (> 0) ま で の 定 積 分 が 等 し い) \\ f_{n} (x) & = & \frac{1}{2^{\frac{n}{2}} Γ (\frac{n}{2})} e^{- \frac{x}{2}} x^{\frac{n}{2} - 1} \dots 0 か ら 任 意 の t (> 0) ま で の 定 積 分 が 等 し い \to 0 か ら t の 範 囲 で 等 し い \to 各 t で の 微 分 が 等 し い \to 被 積 分 凾 数 同 士 も 等 し い \end{array}

数学的帰納法による証明

f_{1} (x), f_{n} (x)

を認めた上で，

f_{n + 1} (x)

が

f_{n} (x)

の

n

を

n + 1

とした式になるかを確認する．

\begin{array}{rcl} f_{1} (x) & = & \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{x}{2}} x^{- \frac{1}{2}} \\ f_{n} (x) & = & \frac{1}{2^{\frac{n}{2}} Γ (\frac{n}{2})} e^{- \frac{x}{2}} x^{\frac{n}{2} - 1} \\ f_{n + 1} (x) & = & \frac{1}{2^{\frac{n + 1}{2}} Γ (\frac{n + 1}{2})} e^{- \frac{x}{2}} x^{\frac{n + 1}{2} - 1} \dots f_{n} (x) の n を n + 1 と し た 式, 上 2 式 を 認 め た 上 で こ の 式 が 導 出 で き る か ． \end{array}

\begin{array}{rcl} X & = & Z_{1}^{2} + \dots + Z_{n}^{2} + Z_{n + 1}^{2} \dots Z_{1}, \dots, Z_{n}, Z_{n + 1} : 互 い に 独 立 に 標 準 正 規 分 布 に 従 う 確 率 変 数 \\ Y & = & Z_{1}^{2} + \dots + Z_{n} \\ X - Y & = & Z_{n + 1}^{2} \\ f_{n + 1} (x) & = & \int_{0}^{\infty} f_{n} (y) f_{1} (x - y) d y \\ = & \int_{0}^{\infty} {\frac{1}{2^{\frac{n}{2}} Γ (\frac{n}{2})} e^{- \frac{y}{2}} y^{\frac{n}{2} - 1}} {\frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{x - y}{2}} (x - y)^{- \frac{1}{2}}} d y \\ = & \frac{1}{2^{\frac{n}{2}} Γ (\frac{n}{2})} \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{0}^{\infty} e^{- \frac{y}{2}} e^{- \frac{x - y}{2}} y^{\frac{n}{2} - 1} (x - y)^{- \frac{1}{2}} d y \dots \int c f (x) d x = c \int f (x) d x \\ = & \frac{1}{2^{\frac{n}{2}} Γ (\frac{n}{2})} \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{π}} \int_{0}^{\infty} e^{- \frac{y}{2} - \frac{x - y}{2}} y^{\frac{n}{2} - 1} (x - y)^{- \frac{1}{2}} d y \dots A^{B} A^{C} = A^{B + C} \\ = & \frac{1}{2^{\frac{n}{2}} Γ (\frac{n}{2})} \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \sqrt{π}} \int_{0}^{\infty} e^{- \frac{x}{2}} y^{\frac{n}{2} - 1} (x - y)^{- \frac{1}{2}} d y \\ = & \frac{1}{2^{\frac{n}{2}} 2^{\frac{1}{2}} Γ (\frac{n}{2})} \frac{1}{\sqrt{π}} e^{- \frac{x}{2}} \int_{0}^{\infty} y^{\frac{n}{2} - 1} (x - y)^{- \frac{1}{2}} d y \dots \int c f (x) d x = c \int f (x) d x \\ = & \frac{1}{2^{\frac{n + 1}{2}} Γ (\frac{n}{2})} \frac{1}{\sqrt{π}} e^{- \frac{x}{2}} \int_{0}^{1} (x u)^{\frac{n}{2} - 1} (x - x u)^{- \frac{1}{2}} x d u \dots y = x u, \frac{d y}{d u} = x, x : 0 \to \infty, u : 0 \to 1 \\ = & \frac{1}{2^{\frac{n + 1}{2}} Γ (\frac{n}{2})} \frac{1}{\sqrt{π}} e^{- \frac{x}{2}} \int_{0}^{1} (x u)^{\frac{n}{2} - 1} {x (1 - u)}^{- \frac{1}{2}} x d u \\ = & \frac{1}{2^{\frac{n + 1}{2}} Γ (\frac{n}{2})} \frac{1}{\sqrt{π}} e^{- \frac{x}{2}} \int_{0}^{1} x^{\frac{n}{2} - 1} u^{\frac{n}{2} - 1} x^{- \frac{1}{2}} (1 - u)^{- \frac{1}{2}} x d u \dots (A B)^{C} = A^{C} B^{C} \\ = & \frac{1}{2^{\frac{n + 1}{2}} Γ (\frac{n}{2})} \frac{1}{\sqrt{π}} e^{- \frac{x}{2}} x^{\frac{n}{2} - 1} x^{- \frac{1}{2}} x \int_{0}^{1} u^{\frac{n}{2} - 1} (1 - u)^{- \frac{1}{2}} d u \dots \int c f (x) d x = c \int f (x) d x \\ = & \frac{1}{2^{\frac{n + 1}{2}} Γ (\frac{n}{2})} \frac{1}{\sqrt{π}} e^{- \frac{x}{2}} x^{\frac{n}{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1} \int_{0}^{1} u^{\frac{n}{2} - 1} (1 - u)^{- \frac{1}{2}} d u \dots A^{B} A^{C} = A^{B + C} \\ = & \frac{1}{2^{\frac{n + 1}{2}} Γ (\frac{n}{2})} \frac{1}{\sqrt{π}} e^{- \frac{x}{2}} x^{\frac{n + 1}{2} - 1} \int_{0}^{1} u^{\frac{n}{2} - 1} (1 - u)^{- \frac{1}{2}} d u \\ = & \frac{1}{2^{\frac{n + 1}{2}} Γ (\frac{n}{2})} \frac{1}{\sqrt{π}} e^{- \frac{x}{2}} x^{\frac{n + 1}{2} - 1} B (\frac{n}{2} - 1, - \frac{1}{2}) \dots B (p, q) = \int_{0}^{1} x^{p} (1 - x)^{q} d x \\ = & \frac{1}{2^{\frac{n + 1}{2}} Γ (\frac{n}{2})} \frac{1}{\sqrt{π}} e^{- \frac{x}{2}} x^{\frac{n + 1}{2} - 1} \frac{(\frac{n}{2} - 1)! (- \frac{1}{2})!}{(\frac{n}{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1)!} \dots B (p, q) = \frac{p! q!}{(p + q + 1)!} \\ = & \frac{1}{2^{\frac{n + 1}{2}} Γ (\frac{n}{2})} \frac{1}{\sqrt{π}} e^{- \frac{x}{2}} x^{\frac{n + 1}{2} - 1} \frac{(\frac{n}{2} - 1)! (- \frac{1}{2} + 1 - 1)!}{(\frac{n}{2} + \frac{1}{2} - 1)!} \\ = & \frac{1}{2^{\frac{n + 1}{2}} Γ (\frac{n}{2})} \frac{1}{\sqrt{π}} e^{- \frac{x}{2}} x^{\frac{n + 1}{2} - 1} \frac{(\frac{n}{2} - 1)! (\frac{1}{2} - 1)!}{(\frac{n + 1}{2} - 1)!} \\ = & \frac{1}{2^{\frac{n + 1}{2}} Γ (\frac{n}{2})} \frac{1}{\sqrt{π}} e^{- \frac{x}{2}} x^{\frac{n + 1}{2} - 1} \frac{Γ (\frac{n}{2}) Γ (\frac{1}{2})}{Γ (\frac{n + 1}{2})} \dots Γ (n) = (n - 1)! \\ = & \frac{1}{2^{\frac{n + 1}{2}} Γ (\frac{n}{2})} \frac{1}{\sqrt{π}} e^{- \frac{x}{2}} x^{\frac{n + 1}{2} - 1} \frac{Γ (\frac{n}{2}) Γ (\frac{1}{2})}{Γ (\frac{n + 1}{2})} \\ = & \frac{1}{2^{\frac{n + 1}{2}}} \frac{1}{\sqrt{π}} e^{- \frac{x}{2}} x^{\frac{n + 1}{2} - 1} \frac{Γ (\frac{1}{2})}{Γ (\frac{n + 1}{2})} \\ = & \frac{1}{2^{\frac{n + 1}{2}}} \frac{1}{\sqrt{π}} e^{- \frac{x}{2}} x^{\frac{n + 1}{2} - 1} \frac{\sqrt{π}}{Γ (\frac{n + 1}{2})} \dots Γ (\frac{1}{2}) = \sqrt{π} \\ = & \frac{1}{2^{\frac{n + 1}{2}} Γ (\frac{n + 1}{2})} e^{- \frac{x}{2}} x^{\frac{n + 1}{2} - 1} \end{array}

任意の

n (n \geq 1)

において上記式が成り立つことを証明できた．
以上により

χ^{2}

分布の確率密度凾数が導出された．

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