定積分を用いた凾数同士の被積分凾数

定積分を用いた凾数同士の被積分凾数

$$\begin{array}{rcl}F(x)& =& {\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t\cdots \mathrm{定}\mathrm{積}\mathrm{分}\mathrm{を}\mathrm{用}\mathrm{い}\mathrm{た}\mathrm{凾}\mathrm{数}\\ G(x)& =& {\int }_a^{x}g(t)\mathrm{d}t\\ \mathrm{た}\mathrm{だ}\mathrm{し},& & a\le x\le b\end{array}$$ とする．今，任意の$x$において($x$の取りえる範囲すべての$x$において) $$\begin{array}{rcl}F(x)& =& G(x)\end{array}$$ が成り立つなら(特定の積分範囲の定積分結果が等しいだけではないところに注意)， $$\begin{array}{rcl}{F}^{\prime }(x)& =& G^{\prime }(x)\end{array}$$ つまり $$\begin{array}{rcl}f(x)& =& g(x)\end{array}$$ が成り立つ．
よって $$\begin{array}{rcl}{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t& =& {\int }_a^{x}g(t)\mathrm{d}t\end{array}$$ ならば $$\begin{array}{r}\\ f(x)& =& g(x)\end{array}$$ であり，被積分凾数同士も等しい．