定積分を用いた凾数同士の被積分凾数

定積分を用いた凾数同士の被積分凾数

$$ \begin{eqnarray} F(x)&=&\int_a^x f(t)\mathrm{d}t\;\cdots\;定積分を用いた凾数 \\G(x)&=&\int_a^x g(t)\mathrm{d}t \\ただし,&&a\leq x \leq b \end{eqnarray} $$ とする．今，任意の\(x\)において(\(x\)の取りえる範囲すべての\(x\)において) $$ \begin{eqnarray} F(x)&=&G(x) \end{eqnarray} $$ が成り立つなら(特定の積分範囲の定積分結果が等しいだけではないところに注意)， $$ \begin{eqnarray} F^\prime(x)&=&G^\prime(x) \end{eqnarray} $$ つまり $$ \begin{eqnarray} f(x)&=&g(x) \end{eqnarray} $$ が成り立つ．
よって $$ \begin{eqnarray} \int_a^x f(t)\mathrm{d}t &=&\int_a^x g(t)\mathrm{d}t \end{eqnarray} $$ ならば $$ \begin{eqnarray} \\f(x)&=&g(x) \end{eqnarray} $$ であり，被積分凾数同士も等しい．