(x^n)/(e^x)の極限

(x^n)/(e^x)の極限

以下を証明する $$ \begin{eqnarray} \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^n}{e^x}&=&0 \end{eqnarray} $$ まず\(e^x\)のマクローリン展開から\(e^x\)より小さい値を考える． $$ \begin{eqnarray} \\e^x &=&\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2019/07/blog-post.html}{\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}} \\&=&\sum_{k=0}^{\infty}f_k(x) \;\cdots\;f_k(x)=\frac{x^k}{k!} \\&\gt&\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\;\cdots\;いくつものf_kを足し合わせたe^xの方が特定のf_k(例えばk=n+1)だけより大きい \end{eqnarray} $$ 上記値の逆数をとる． $$ \begin{eqnarray} \\\frac{1}{e^x}&\lt&\frac{(n+1)!}{x^{n+1}} \;\cdots\;逆数なので大小関係が反対になる \end{eqnarray} $$ 両辺にx^nを掛け，証明したい式の形にする． $$ \begin{eqnarray} \\x^n\frac{1}{e^x}&\lt&x^n\frac{(n+1)!}{x^{n+1}} \;\cdots\;両辺にx^nを掛ける \\&\lt&\frac{(n+1)!}{x} \;\cdots\;\frac{x^n}{x^{n+1}}=\frac{1}{x} \end{eqnarray} $$ 両辺の極限をとることで\(\frac{x^n}{e^x}\)の極限の値が0より小さいことがわかる． $$ \begin{eqnarray} \\\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^n}{e^x}&\lt&\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{(n+1)!}{x}&=&0 \end{eqnarray} $$ また，\(0\leq x\)において\(0\leq x^n\)及び\(0\lt e^x\)となるので\(\frac{x^n}{e^x}\)が0以上であることがわかる．
以上から次の関係（不等式）を得る． $$ \begin{eqnarray} 0&\leq& \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^n}{e^x} &\lt&\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{(n+1)!}{x} &=&0 \end{eqnarray} $$ これより“はさみうちの原理”から極限の値が0であることが証明された． $$ \begin{eqnarray} \\\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^n}{e^x}&=&0 \end{eqnarray} $$