(x^n)/(e^x)の極限

(x^n)/(e^x)の極限

以下を証明する $$\begin{array}{rcl}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^n}{e^x}& =& 0\end{array}$$ まず$e^x$のマクローリン展開から$e^x$より小さい値を考える． $$\begin{array}{r}\\ e^x& =& \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{k!}\\ & =& \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_k(x)\cdots f_k(x)=\frac{x^k}{k!}\\ & >& \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\cdots \mathrm{い}\mathrm{く}\mathrm{つ}\mathrm{も}\mathrm{の}{f}_k\mathrm{を}\mathrm{足}\mathrm{し}\mathrm{合}\mathrm{わ}\mathrm{せ}\mathrm{た}{e}^x\mathrm{の}\mathrm{方}\mathrm{が}\mathrm{特}\mathrm{定}\mathrm{の}{f}_k(\mathrm{例}\mathrm{え}\mathrm{ば}k=n+1)\mathrm{だ}\mathrm{け}\mathrm{よ}\mathrm{り}\mathrm{大}\mathrm{き}\mathrm{い}\end{array}$$ 上記値の逆数をとる． $$\begin{array}{r}\\ \frac{1}{e^x}& <& \frac{(n+1)!}{x^{n+1}}\cdots \mathrm{逆}\mathrm{数}\mathrm{な}\mathrm{の}\mathrm{で}\mathrm{大}\mathrm{小}\mathrm{関}\mathrm{係}\mathrm{が}\mathrm{反}\mathrm{対}\mathrm{に}\mathrm{な}\mathrm{る}\end{array}$$ 両辺にx^nを掛け，証明したい式の形にする． $$\begin{array}{r}\\ x^n\frac{1}{e^x}& <& x^n\frac{(n+1)!}{x^{n+1}}\cdots \mathrm{両}\mathrm{辺}\mathrm{に}{x}^n\mathrm{を}\mathrm{掛}\mathrm{け}\mathrm{る}\\ & <& \frac{(n+1)!}{x}\cdots \frac{x^n}{x^{n+1}}=\frac{1}{x}\end{array}$$ 両辺の極限をとることで$\frac{x^n}{e^x}$の極限の値が0より小さいことがわかる． $$\begin{array}{r}\\ \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^n}{e^x}& <& \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{(n+1)!}{x}& =& 0\end{array}$$ また，$0\le x$において$0\le x^n$及び$0<e^x$となるので$\frac{x^n}{e^x}$が0以上であることがわかる．
以上から次の関係（不等式）を得る． $$\begin{array}{rclrclr}0& \le & \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^n}{e^x}& <& \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{(n+1)!}{x}& =& 0\end{array}$$ これより“はさみうちの原理”から極限の値が0であることが証明された． $$\begin{array}{r}\\ \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^n}{e^x}& =& 0\end{array}$$