1/√(a-x)の積分
不定積分
$$
\begin{eqnarray}
\int \frac{1}{\sqrt{a-x}}\mathrm{d}x
&=&\int (a-x)^{-\frac{1}{2}}\mathrm{d}x
\\&=&\int u^{-\frac{1}{2}}(-1)\mathrm{d}u
\;\cdots\;u=a-x,\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=-1,\mathrm{d}x=-\mathrm{d}u
\\&=&-\int u^{-\frac{1}{2}}\mathrm{d}u
\;\cdots\;\int cf(x)\mathrm{d}x=c\int f(x)\mathrm{d}x
\\&=&-\frac{1}{-\frac{1}{2}+1}u^{-\frac{1}{2}+1}
\;\cdots\;\int x^a \mathrm{d}x=\frac{1}{a+1}x^{a+1}+C\;(C:積分定数)
\\&=&-\frac{1}{\frac{1}{2}}u^{\frac{1}{2}}
\\&=&-2u^{\frac{1}{2}}
\\&=&-2(a-x)^{\frac{1}{2}}\;\cdots\;u=a-x
\\&=&-2(a-x)^{\frac{1}{2}}+C\;\cdots\;C:積分定数
\\&=&-2\sqrt{a-x}+C
\end{eqnarray}
$$
定積分
$$
\begin{eqnarray}
\int_{0}^{a} \frac{1}{\sqrt{a-x}}\mathrm{d}x
&=&\left[-2\sqrt{a-x}\right]_{0}^{a}
\\&=&(-2\sqrt{a-a})-(-2\sqrt{a-0})
\\&=&0-(-2\sqrt{a})
\\&=&2\sqrt{a}
\\&=&2a^{\frac{1}{2}}
\end{eqnarray}
$$
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