事象の発生する回数についての確率密度分布 (ポアソン分布)

単位時間当たりの事象の発生確率を\(\lambda\)とし，t時間の間にk回事象が発生する確率を考える． tまでをn等分した時間を\(\Delta t=\frac{t}{n}\)として二項分布により以下のように表すことができる． $$ \begin{eqnarray} p(k;\lambda,\Delta t)&=& _nC_k \left(\lambda\Delta t\right)^k \left(1-\left(\lambda\Delta t\right)\right)^{\left(n-k\right)}\\ \end{eqnarray} $$ 二項分布からポアソン分布を導いた時と同様に\(\lambda\)を\(\lambda \Delta t\)として計算を進めると以下のようになる． $$ \begin{eqnarray} p(k;\lambda,\Delta t) &=&_nC_k\left(\lambda\Delta t\right)^k\left(1-\left(\lambda\Delta t\right)\right)^{\left(n-k\right)}\\ &=&\frac{n!}{k!(n-k)!}\left(\lambda\Delta t\right)^k\left(1-\left(\lambda\Delta t\right)\right)^{\left(n-k\right)}\\ &=&\frac{1}{k!}\left\{n(n-1)\cdots(n-k+1)\right\}\left(\lambda\Delta t\right)^k\left(1-\left(\lambda\Delta t\right)\right)^{\left(n-k\right)}\\ &=&\frac{1}{k!}\left\{1(1-\frac{1}{n})\cdots(1-\frac{k-1}{n})\;n^k\right\}\left(\lambda\Delta t\right)^k\left(1-\left(\lambda\Delta t\right)\right)^{\left(n-k\right)}\\ &=&\frac{1}{k!}\left\{1(1-\frac{1}{n})\cdots(1-\frac{k-1}{n})\right\}\left(n\lambda\Delta t\right)^k\left(1-\left(\lambda\Delta t\right)\right)^{\left(n-k\right)}\\ &=&\frac{1}{k!}\left\{1(1-\frac{1}{n})\cdots(1-\frac{k-1}{n})\right\}\left(n\lambda\frac{t}{n}\right)^k\left(1-\left(\lambda\frac{t}{n}\right)\right)^{n}\left(1-\left(\lambda\frac{t}{n}\right)\right)^{-k} \;\cdots\;\Delta t=\frac{t}{n}\\ &=&\frac{1}{k!}\left\{1(1-\frac{1}{n})\cdots(1-\frac{k-1}{n})\right\}\left(\lambda t\right)^k\left(1-\left(\frac{\lambda t}{n}\right)\right)^{n}\left(1-\left(\frac{\lambda t}{n}\right)\right)^{-k}\\ &=&\frac{1}{k!}\left\{1(1-\frac{1}{n})\cdots(1-\frac{k-1}{n})\right\}\left(\lambda t\right)^k \left(1+\frac{1}{\frac{-n}{\lambda t}}\right)^{n} \left(1-\left(\frac{\lambda t}{n}\right)\right)^{-k} \\ &=&\frac{1}{k!}\left\{1(1-\frac{1}{n})\cdots(1-\frac{k-1}{n})\right\}\left(\lambda t\right)^k \left\{\left(1+\frac{1}{\frac{-n}{\lambda t}}\right)^{\frac{-n}{\lambda t}\frac{-\lambda t}{n}}\right\}^{n} \left(1-\left(\frac{\lambda t}{n}\right)\right)^{-k} \\ &=&\frac{1}{k!}\left\{1(1-\frac{1}{n})\cdots(1-\frac{k-1}{n})\right\}\left(\lambda t\right)^k \left\{\left(1+\frac{1}{\frac{-n}{\lambda t}}\right)^{\frac{-n}{\lambda t}}\right\}^ {\frac{-\lambda t}{n}n} \left(1-\left(\frac{\lambda t}{n}\right)\right)^{-k} \\ &=&\frac{1}{k!}\left\{1(1-\frac{1}{n})\cdots(1-\frac{k-1}{n})\right\}\left(\lambda t\right)^k \left\{\left(1+\frac{1}{\frac{-n}{\lambda t}}\right)^{\frac{-n}{\lambda t}}\right\}^ {-\lambda t} \left(1-\left(\frac{\lambda t}{n}\right)\right)^{-k} \\ \end{eqnarray} $$ ここでnを\(\infty\)に極限をとるとnを分母にもつ分数は0へ収束することや，収束数列によるネイピア数の定義により以下のようになる． $$ \begin{eqnarray} &&\lim_{n\to\infty}\frac{1}{k!}\left\{1(1-\frac{1}{n})\cdots(1-\frac{k-1}{n})\right\}\left(\lambda t\right)^k \left\{\left(1+\frac{1}{\frac{-n}{\lambda t}}\right)^{\frac{-n}{\lambda t}}\right\}^ {-\lambda t} \left(1-\left(\frac{\lambda t}{n}\right)\right)^{-k}\\ &=&\frac{1}{k!}\left\{1(1-0)\cdots(1-0)\right\}\left(\lambda t\right)^k \mathrm{e}^{-\lambda t} \left(1-0\right)^{-k}\\ &=&\frac{1}{k!}\left(\lambda t\right)^k\mathrm{e}^{-\lambda t}\\ &=&\frac{\left(\lambda t\right)^k}{k!}\mathrm{e}^{-\lambda t}\\ \end{eqnarray} $$