事象の発生する回数についての確率密度分布 (ポアソン分布)

単位時間当たりの事象の発生確率を$\lambda$とし，t時間の間にk回事象が発生する確率を考える． tまでをn等分した時間を$\mathrm{\Delta }t=\frac{t}{n}$として二項分布により以下のように表すことができる． $$\begin{array}{rcl}p(k;\lambda ,\mathrm{\Delta }t)& =& {}_n{C}_k{\left(\lambda \mathrm{\Delta }t\right)}^k{(1-\left(\lambda \mathrm{\Delta }t\right))}^{(n-k)}\end{array}$$ 二項分布からポアソン分布を導いた時と同様に$\lambda$を$\lambda \mathrm{\Delta }t$として計算を進めると以下のようになる． $$\begin{array}{rcl}p(k;\lambda ,\mathrm{\Delta }t)& =& {}_n{C}_k{\left(\lambda \mathrm{\Delta }t\right)}^k{(1-\left(\lambda \mathrm{\Delta }t\right))}^{(n-k)}\\ & =& \frac{n!}{k!(n-k)!}{\left(\lambda \mathrm{\Delta }t\right)}^k{(1-\left(\lambda \mathrm{\Delta }t\right))}^{(n-k)}\\ & =& \frac{1}{k!}\{n(n-1)\cdots (n-k+1)\}{\left(\lambda \mathrm{\Delta }t\right)}^k{(1-\left(\lambda \mathrm{\Delta }t\right))}^{(n-k)}\\ & =& \frac{1}{k!}\{1(1-\frac{1}{n})\cdots (1-\frac{k-1}{n})n^k\}{\left(\lambda \mathrm{\Delta }t\right)}^k{(1-\left(\lambda \mathrm{\Delta }t\right))}^{(n-k)}\\ & =& \frac{1}{k!}\{1(1-\frac{1}{n})\cdots (1-\frac{k-1}{n})\}{\left(n\lambda \mathrm{\Delta }t\right)}^k{(1-\left(\lambda \mathrm{\Delta }t\right))}^{(n-k)}\\ & =& \frac{1}{k!}\{1(1-\frac{1}{n})\cdots (1-\frac{k-1}{n})\}{\left(n\lambda \frac{t}{n}\right)}^k{(1-\left(\lambda \frac{t}{n}\right))}^n{(1-\left(\lambda \frac{t}{n}\right))}^{-k}\cdots \mathrm{\Delta }t=\frac{t}{n}\\ & =& \frac{1}{k!}\{1(1-\frac{1}{n})\cdots (1-\frac{k-1}{n})\}{\left(\lambda t\right)}^k{(1-\left(\frac{\lambda t}{n}\right))}^n{(1-\left(\frac{\lambda t}{n}\right))}^{-k}\\ & =& \frac{1}{k!}\{1(1-\frac{1}{n})\cdots (1-\frac{k-1}{n})\}{\left(\lambda t\right)}^k{(1+\frac{1}{\frac{-n}{\lambda t}})}^n{(1-\left(\frac{\lambda t}{n}\right))}^{-k}\\ & =& \frac{1}{k!}\{1(1-\frac{1}{n})\cdots (1-\frac{k-1}{n})\}{\left(\lambda t\right)}^k{\left\{{(1+\frac{1}{\frac{-n}{\lambda t}})}^{\frac{-n}{\lambda t}\frac{-\lambda t}{n}}\right\}}^n{(1-\left(\frac{\lambda t}{n}\right))}^{-k}\\ & =& \frac{1}{k!}\{1(1-\frac{1}{n})\cdots (1-\frac{k-1}{n})\}{\left(\lambda t\right)}^k{\left\{{(1+\frac{1}{\frac{-n}{\lambda t}})}^{\frac{-n}{\lambda t}}\right\}}^{\frac{-\lambda t}{n}n}{(1-\left(\frac{\lambda t}{n}\right))}^{-k}\\ & =& \frac{1}{k!}\{1(1-\frac{1}{n})\cdots (1-\frac{k-1}{n})\}{\left(\lambda t\right)}^k{\left\{{(1+\frac{1}{\frac{-n}{\lambda t}})}^{\frac{-n}{\lambda t}}\right\}}^{-\lambda t}{(1-\left(\frac{\lambda t}{n}\right))}^{-k}\end{array}$$ ここでnを$\mathrm{\infty }$に極限をとるとnを分母にもつ分数は0へ収束することや，収束数列によるネイピア数の定義により以下のようになる． $$\begin{array}{rcl}& & \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{k!}\{1(1-\frac{1}{n})\cdots (1-\frac{k-1}{n})\}{\left(\lambda t\right)}^k{\left\{{(1+\frac{1}{\frac{-n}{\lambda t}})}^{\frac{-n}{\lambda t}}\right\}}^{-\lambda t}{(1-\left(\frac{\lambda t}{n}\right))}^{-k}\\ & =& \frac{1}{k!}\{1(1-0)\cdots (1-0)\}{\left(\lambda t\right)}^k{\mathrm{e}}^{-\lambda t}{(1-0)}^{-k}\\ & =& \frac{1}{k!}{\left(\lambda t\right)}^k{\mathrm{e}}^{-\lambda t}\\ & =& \frac{{\left(\lambda t\right)}^k}{k!}{\mathrm{e}}^{-\lambda t}\end{array}$$