n回の事象が発生するまでの間隔の確率密度分布 (ガンマ分布)

$n$回の事象が発生するまでの間隔(時間)の確率$Y_n$について考える． $$\begin{array}{rcl}{F}_n(t)& =& P(Y_n\le t)\cdots F_n\mathrm{を}{Y}_n\mathrm{の}\mathrm{累}\mathrm{積}\mathrm{分}\mathrm{布}\mathrm{凾}\mathrm{数}(cumulativedistributionfunction,CDF)\mathrm{と}\mathrm{す}\mathrm{る}．(\mathrm{少}\mathrm{な}\mathrm{く}\mathrm{と}\mathrm{も}t\mathrm{ま}\mathrm{で}\mathrm{に}n\mathrm{回}\mathrm{の}\mathrm{事}\mathrm{象}\mathrm{が}\mathrm{発}\mathrm{生}\mathrm{し}\mathrm{て}\mathrm{い}\mathrm{る})\\ & =& P(X_t\ge n)\cdots n\mathrm{回}\mathrm{以}\mathrm{上}\mathrm{の}\mathrm{事}\mathrm{象}\mathrm{が}\mathrm{発}\mathrm{生}\mathrm{す}\mathrm{る}\mathrm{の}\mathrm{が}\mathrm{時}\mathrm{刻}t\mathrm{以}\mathrm{降}\mathrm{に}\mathrm{な}\mathrm{る}\mathrm{確}\mathrm{率}\mathrm{と}\mathrm{も}\mathrm{言}\mathrm{え}\mathrm{る}\\ & =& \sum _{x=n}^{\mathrm{\infty }}{P}_o(x;\lambda t)\cdots \mathrm{事}\mathrm{象}\mathrm{の}\mathrm{発}\mathrm{生}\mathrm{回}\mathrm{数}\mathrm{の}\mathrm{確}\mathrm{率}\mathrm{を}\lambda t\mathrm{を}\mathrm{パ}\mathrm{ラ}\mathrm{メ}\mathrm{ー}\mathrm{タ}\mathrm{と}\mathrm{す}\mathrm{る}\mathrm{ポ}\mathrm{ア}\mathrm{ソ}\mathrm{ン}\mathrm{分}\mathrm{布}\mathrm{と}\mathrm{す}\mathrm{る}．\mathrm{ポ}\mathrm{ア}\mathrm{ソ}\mathrm{ン}\mathrm{分}\mathrm{布}:P_o(x;\lambda )={\mathrm{e}}^{-\lambda }\frac{{\left(\lambda \right)}^x}{x!}\\ & =& \sum _{x=n}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-\lambda t}\frac{{\left(\lambda t\right)}^x}{x!}\cdots \mathrm{ポ}\mathrm{ア}\mathrm{ソ}\mathrm{ン}\mathrm{分}\mathrm{布}\mathrm{は}\mathrm{期}\mathrm{間}\mathrm{内}\mathrm{で}\mathrm{何}\mathrm{回}\mathrm{起}\mathrm{こ}\mathrm{る}\mathrm{か}？\mathrm{の}\mathrm{確}\mathrm{率}\mathrm{分}\mathrm{布}(\mathrm{指}\mathrm{数}\mathrm{分}\mathrm{布}\mathrm{は}\mathrm{次}\mathrm{の}\mathrm{発}\mathrm{生}\mathrm{ま}\mathrm{で}\mathrm{の}\mathrm{期}\mathrm{間}\mathrm{の}\mathrm{確}\mathrm{率}\mathrm{分}\mathrm{布})\\ & =& 1-\sum _{x=0}^{n-1}{\mathrm{e}}^{-\lambda t}\frac{{\left(\lambda t\right)}^x}{x!}\cdots \mathrm{時}\mathrm{刻}t\mathrm{ま}\mathrm{で}\mathrm{に}n\mathrm{回}\mathrm{未}\mathrm{満}\mathrm{の}\mathrm{事}\mathrm{象}\mathrm{し}\mathrm{か}\mathrm{発}\mathrm{生}\mathrm{し}\mathrm{な}\mathrm{い}\mathrm{場}\mathrm{合}\mathrm{の}\mathrm{余}\mathrm{事}\mathrm{象}\\ & =& 1-{\mathrm{e}}^{-\lambda t}\{\frac{{\left(\lambda t\right)}^0}{0!}+\frac{{\left(\lambda t\right)}^1}{1!}+\frac{{\left(\lambda t\right)}^2}{2!}+\cdots +\frac{{\left(\lambda t\right)}^{(n-2)}}{(n-2)!}+\frac{{\left(\lambda t\right)}^{(n-1)}}{(n-1)!}\}\\ & =& 1-{\mathrm{e}}^{-\lambda t}A\cdots A=\{\frac{{\left(\lambda t\right)}^0}{0!}+\frac{{\left(\lambda t\right)}^1}{1!}+\frac{{\left(\lambda t\right)}^2}{2!}+\cdots +\frac{{\left(\lambda t\right)}^{(n-2)}}{(n-2)!}+\frac{{\left(\lambda t\right)}^{(n-1)}}{(n-1)!}\}\\ Y_n=\frac{\partial F_n(t)}{\partial t}& =& 0-[({\mathrm{e}}^{-\lambda t}{)}^{\prime }A+{\mathrm{e}}^{-\lambda t}(A{)}^{\prime }]\cdots (fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }\cdots \mathrm{累}\mathrm{積}\mathrm{分}\mathrm{布}\mathrm{凾}\mathrm{数}\mathrm{の}\mathrm{微}\mathrm{分}\mathrm{は}\mathrm{確}\mathrm{率}\mathrm{密}\mathrm{度}\mathrm{凾}\mathrm{数}(probabilitydensityfunction、PDF)\\ ({\mathrm{e}}^{-\lambda t}{)}^{\prime }A& =& {\mathrm{e}}^{-\lambda t}(-\lambda )A\\ & =& {\mathrm{e}}^{-\lambda t}(-\lambda )\{\frac{{\left(\lambda t\right)}^0}{0!}+\frac{{\left(\lambda t\right)}^1}{1!}+\frac{{\left(\lambda t\right)}^2}{2!}+\cdots +\frac{{\left(\lambda t\right)}^{(n-2)}}{(n-2)!}+\frac{{\left(\lambda t\right)}^{(n-1)}}{(n-1)!}\}\\ & =& {\mathrm{e}}^{-\lambda t}\{-\frac{\lambda }{0!}-\frac{{\lambda }^{2}t}{1!}-\frac{{\lambda }^3{t}^2}{2!}-\cdots -\frac{{\lambda }^{(n-1)}{t}^{(n-2)}}{(n-2)!}-\frac{{\lambda }^n{t}^{(n-1)}}{(n-1)!}\}\\ \\ {\mathrm{e}}^{-\lambda t}(A{)}^{\prime }& =& {\mathrm{e}}^{-\lambda t}{\left(\{\frac{{\left(\lambda t\right)}^0}{0!}+\frac{{\left(\lambda t\right)}^1}{1!}+\frac{{\left(\lambda t\right)}^2}{2!}+\cdots +\frac{{\left(\lambda t\right)}^{(n-2)}}{(n-2)!}+\frac{{\left(\lambda t\right)}^{(n-1)}}{(n-1)!}\}\right)}^{\prime }\\ & =& {\mathrm{e}}^{-\lambda t}\{{\left(\frac{1}{0!}\right)}^{\prime }+{\left(\frac{\lambda t}{1!}\right)}^{\prime }+{\left(\frac{{\lambda }^2{t}^2}{2!}\right)}^{\prime }+\cdots +{\left(\frac{{\lambda }^{(n-2)}{t}^{(n-2)}}{(n-2)!}\right)}^{\prime }+{\left(\frac{{\lambda }^{(n-1)}{t}^{(n-1)}}{(n-1)!}\right)}^{\prime }\}\\ & =& {\mathrm{e}}^{-\lambda t}\{0+\frac{\lambda }{1!}+\frac{2{\lambda }^{2}t}{2!}+\cdots +\frac{(n-2){\lambda }^{(n-2)}{t}^{(n-3)}}{(n-2)!}+\frac{(n-1){\lambda }^{(n-1)}{t}^{(n-2)}}{(n-1)!}\}\\ & =& {\mathrm{e}}^{-\lambda t}\{\frac{\lambda }{1!}+\frac{{\lambda }^{2}t}{1!}+\cdots +\frac{{\lambda }^{(n-2)}{t}^{(n-3)}}{(n-3)!}+\frac{{\lambda }^{(n-1)}{t}^{(n-2)}}{(n-2)!}\}\cdots \frac{n}{n!}=\frac{n}{n\times (n-1)\times \cdots \times 1}=\frac{1}{(n-1)\times \cdots \times 1}=\frac{1}{(n-1)!}\\ ({\mathrm{e}}^{-\lambda t}{)}^{\prime }A+{\mathrm{e}}^{-\lambda t}(A{)}^{\prime }& =& {\mathrm{e}}^{-\lambda t}\{-\frac{{\lambda }^1}{0!}-\frac{{\lambda }^{2}t}{1!}-\frac{{\lambda }^3{t}^2}{2!}-\cdots -\frac{{\lambda }^{(n-1)}{t}^{(n-2)}}{(n-2)!}-\frac{{\lambda }^n{t}^{(n-1)}}{(n-1)!}\}+{\mathrm{e}}^{-\lambda t}\{\frac{\lambda }{1!}+\frac{{\lambda }^{2}t}{1!}+\cdots +\frac{{\lambda }^{(n-2)}{t}^{(n-3)}}{(n-3)!}+\frac{{\lambda }^{(n-1)}{t}^{(n-2)}}{(n-2)!}\}\\ & =& {\mathrm{e}}^{-\lambda t}\{(-\frac{\lambda }{0!}+\frac{\lambda }{1!})+(-\frac{{\lambda }^{2}t}{1!}+\frac{{\lambda }^{2}t}{1!})+\cdots +(-\frac{{\lambda }^{(n-1)}{t}^{(n-2)}}{(n-2)!}+\frac{{\lambda }^{(n-1)}{t}^{(n-2)}}{(n-2)!})-\frac{{\lambda }^n{t}^{(n-1)}}{(n-1)!}\}\\ & =& {\mathrm{e}}^{-\lambda t}\{-\frac{{\lambda }^n{t}^{(n-1)}}{(n-1)!}\}\\ Y_n=\frac{\partial F_n(t)}{\partial t}& =& -[({\mathrm{e}}^{-\lambda t}{)}^{\prime }A+{\mathrm{e}}^{-\lambda t}(A{)}^{\prime }]\\ & =& -\left[{\mathrm{e}}^{-\lambda t}\{-\frac{{\lambda }^n{t}^{(n-1)}}{(n-1)!}\}\right]\\ & =& {\mathrm{e}}^{-\lambda t}\frac{{\lambda }^n{t}^{(n-1)}}{(n-1)!}\\ & =& {\mathrm{e}}^{-\beta t}\frac{{\beta }^{\alpha }{t}^{(\alpha -1)}}{(\alpha -1)!}\cdots \alpha =n,\beta =\lambda \mathrm{と}\mathrm{す}\mathrm{る}.\\ & =& \frac{{\mathrm{e}}^{-\beta t}}{(\alpha -1)!}{\beta }^{\alpha }{t}^{(\alpha -1)}\\ & =& \frac{{\mathrm{e}}^{-\beta t}}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{\beta }^{\alpha }{t}^{(\alpha -1)}\cdots \mathrm{ガ}\mathrm{ン}\mathrm{マ}\mathrm{分}\mathrm{布},\mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!\end{array}$$ $\alpha =1$の時，指数分布となる(事象と事象の間隔の確率分布)． $$\begin{array}{rcl}\frac{{\mathrm{e}}^{-\beta t}}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{\beta }^{\alpha }{t}^{(\alpha -1)}& =& \frac{{\mathrm{e}}^{-\beta t}}{\mathrm{\Gamma }(1)}{\beta }^1{t}^{(1-1)}\cdots \alpha =1\\ & =& \frac{{\mathrm{e}}^{-\beta t}}{1}\beta t^{\left(0\right)}\cdots \mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!,\mathrm{\Gamma }(1)=(1-1)!=0!=1\\ & =& {\mathrm{e}}^{-\beta t}\beta \cdots t^0=1\\ & =& \lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}\cdots \beta =\lambda \end{array}$$